परवलय y² = 4kx और इसके नाभिलंब (लैटस रैक्टम) द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल 24 वर्ग इकाई है, जहाँ k > 0 है । k का मान क्या है?

गणना

परवलय का समीकरण y2 = 4kx      ------(1)

मान लीजिए O शीर्ष है, S फोकस है, और LL' परवलय का नाभी लम्ब है।

नाभी लम्ब का समीकरण x = k है।

साथ ही, यहाँ परवलय x−अक्ष के सापेक्ष सममित है।

आवश्यक क्षेत्रफल, A = 2 (OSL का क्षेत्रफल)

⇒ आवश्यक क्षेत्रफल, A = 2 \(\displaystyle \int_0^ky\ dx\)

⇒ A = 2 \(\displaystyle \int_0^k2√ k\ √ x\ dx\)

⇒ A = 2.2√k \(\displaystyle \int_0^k \ x^{\frac{1}{2}} dx\)

⇒ A = 4√k  \(\displaystyle \ \left [ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_0^k \)

⇒ A = \(\displaystyle \frac{8}{3}\ √ k\ [k^\frac{3}{2}-0^\frac{3}{2}]\)

⇒ A = \(\displaystyle \frac{8}{3}\ k^2\)

चूँकि दिए गए परवलय का क्षेत्रफल 24 है।

⇒ 24 = \(\displaystyle \frac{8}{3}\ k^2\)

⇒ k = ± 3

k > 0, k = 3 के मान के रूप में।

∴  k का मान 3 है।