दो सदिशों \(\rm \vec a\) और \(\rm \vec b\) का योग सदिश \(\rm \vec c\) है जैसे कि \(\rm \left|\vec a \right|=\left|\vec b \right|=\left|\vec c \right|=2\) है। तब \(\rm \vec a -\vec b\) का परिमाण किसके बराबर होगा?

संकल्पना:

दो सदिशों \(\rm \vec A\) और \(\rm \vec B\) के अन्योन्य गुणनफल को \(\rm \vec A.\vec B=\rm \left|\vec A\right|\rm \left|\vec B\right|\cos \theta\) से परिभाषित किया जाता है जहां \(\rm \left|\vec A\right|\) सदिश \(\rm \vec A\) का परिमाण है।

\(\rm \vec A.\vec A=\rm \left|\vec A\right|^2\)

गणना:

हमें दिया गया है कि "दो सदिशों \(\rm \vec a\) और \(\rm \vec b\) का योग एक सदिश \(\rm \vec c\) है"। 

⇒ \(\rm \vec a +\vec b=\vec c\)

खुद के साथ दोनों पक्षों का बिंदु गुणनफल लेकर परिमाण अभी भी बराबर होंगे:

⇒ \(\rm \left(\vec a +\vec b\right).\left(\vec a +\vec b\right)=\left(\vec c\right).\left(\vec c\right)\)

⇒ \(\rm \left|\vec a\right|^2+\left|\vec b\right|^2+2\vec a.\vec b=\left|\vec c\right|^2\)

चूंकि \(\rm \left|\vec a \right|=\left|\vec b \right|=\left|\vec c \right|=2\), हमें मिला:

⇒ \(\rm 2^2+2^2+2\vec a.\vec b=2^2\)

⇒ \(\rm 4+4+2\vec a.\vec b=4\)

⇒ \(\rm 2\vec a.\vec b=-4\)

अब, \(\rm \rm \left|\vec a-\vec b\right|^2=\left(\vec a -\vec b\right).\left(\vec a -\vec b\right)\)

= \(\rm \left|\vec a\right|^2+\left|\vec b\right|^2-2\vec a.\vec b\)

= 4 + 4 - (-4)

= 12

⇒ \(\rm \rm \left|\vec a-\vec b\right|=\sqrt{12}=2\sqrt3\)