Scalar and Vector Product MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Scalar and Vector Product - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

बिंदु A, B और C के स्थिति सदिश क्रमशः \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) और \( \vec{c} \) हैं, और \( \vec{c} = \cos^2 \theta \, \vec{a} + \sin^2 \theta \, \vec{b} \) है। 

जिसका मान ज्ञात करना है वह व्यंजक है: \( (\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{b} \times \vec{c}) + (\vec{c} \times \vec{a}) \).

सबसे पहले, समीकरण में \( \vec{c} \) को प्रतिस्थापित करने पर:

\( (\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{b} \times (\cos^2 \theta \, \vec{a} + \sin^2 \theta \, \vec{b})) + (\cos^2 \theta \, \vec{a} + \sin^2 \theta \, \vec{b}) \times \vec{a} \).

सदिश गुणनफल के वितरण गुण का उपयोग करने पर:

\( (\vec{a} \times \vec{b}) + \left[ (\vec{b} \times \cos^2 \theta \, \vec{a}) + (\vec{b} \times \sin^2 \theta \, \vec{b}) \right] + \left[ (\cos^2 \theta \, \vec{a} \times \vec{a}) + (\sin^2 \theta \, \vec{b} \times \vec{a}) \right] \).

चूँकि \( \vec{b} \times \vec{b} = 0 \) और \( \vec{a} \times \vec{a} = 0 \), हमारे पास निम्न शेष है:

\( (\vec{a} \times \vec{b}) + \cos^2 \theta \, (\vec{b} \times \vec{a}) + \sin^2 \theta \, (- \vec{a} \times \vec{b}) \).

व्यंजक में \( \vec{b} \times \vec{a} = - (\vec{a} \times \vec{b}) \) को प्रतिस्थापित करने पर:

\( (\vec{a} \times \vec{b}) + \cos^2 \theta \, (- \vec{a} \times \vec{b}) + \sin^2 \theta \, (- \vec{a} \times \vec{b}) \).

\( \vec{a} \times \vec{b} \) को बाहर निकालने पर:

\( \vec{a} \times \vec{b} \left[ 1 - \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \right] \).

चूँकि \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \), व्यंजक बन जाता है:

\( \vec{a} \times \vec{b} [1 - 1] = 0 \).

∴ अंतिम परिणाम \( \vec{0} \) है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

दिया गया है,

\( \cos^2(\alpha) + \cos^2(\beta) + \cos^2(\gamma) = 1 \)

सर्वसमिका \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \) का उपयोग करते हुए, हम प्रतिस्थापित करते हैं:

\( (1 - \sin^2(\alpha)) + (1 - \sin^2(\beta)) + (1 - \sin^2(\gamma)) = 1 \)

समीकरण को सरल करने पर:

\( 3 - (\sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + \sin^2(\gamma)) = 1 \)

साइन पदों को अलग करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:

\( \sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + \sin^2(\gamma) = 2 \)

अब, अदिश गुणनफल की गणना करने पर:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + \sin^2(\gamma) = 2 \)

∴  \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) का मान 2 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

सदिश \(\vec{P} \times \vec{Q} = \left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & \sqrt{3} & 2.5 \end{array}\right| = \sqrt{3} \frac{\hat{i}}{2} + \frac{\hat{j}}{2} - \sqrt{3} \hat{k}\) है।

⇒ \(\frac{\vec{P} \times \vec{Q}}{|\vec{P} \times \vec{Q}|} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{3} \frac{\hat{i}}{2} + \frac{\hat{j}}{2} - \sqrt{3} \hat{k} \right)\)

⇒ \(\frac{1}{4} (\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j} - 2\sqrt{3} \hat{k})\)

⇒ x = 4

गणना:

\(\overrightarrow{\mathrm{b}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{a}} \times(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \hat{\mathrm{j}})\)

⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{b}}=\lambda(-2 \hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})\)

⇒ \(|\overrightarrow{\mathrm{b}}|=|\overrightarrow{\mathrm{a}}| \quad \therefore \sqrt{6}=\sqrt{12}|\lambda| \Rightarrow \lambda= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\left(\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}} \text { rejected } \because \overrightarrow{\mathrm{b}} \text { makes acute angle with y axis }\right)\)

⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{b}}=-\sqrt{2}(-\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})\)

⇒ \(\frac{(3 \vec{a}+\sqrt{2 b}) \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|}=3 \sqrt{2}\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

\(\rm (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}=\frac{\vec{b}-\vec{c}}{2}\)

⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=\frac{1}{2}, \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{~b}}=\frac{1}{2}\)

∴ \(\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{~d}}=\frac{1}{2}\)

⇒ \(\rm (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{c} \times \vec{d})=\vec{a} \cdot(\vec{b} \times(\vec{c} \times \vec{d}))\)

= \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot((\overrightarrow{\mathrm{~b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{~d}}) \overrightarrow{\mathrm{c}}-(\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}) \overrightarrow{\mathrm{d}})\)

= \((\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}})(\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{~d}})=\frac{1}{4}\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

संकल्पना:

दो सदिशों के बिंदु गुणनफल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\({\rm{\vec A}}{\rm{.\vec B = }}\left| {\rm{A}} \right|{\rm{ \times }}\left| {\rm{B}} \right|{\rm{ \times cos}}\;{\rm{\theta }}\)

दो सदिशों के अन्योन्य/सदिश गुणनफल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\({\rm{\vec A \times \vec B = }}\left| {\rm{A}} \right|{\rm{ \times }}\left| {\rm{B}} \right|{\rm{ \times sin}}\;{\rm{\theta }} \times \rm \hat{n}\)

जहां θ, \({\rm{\vec A}}\;{\rm{and}}\;{\rm{\vec B}}\) बीच का कोण है

गणना:

ज्ञात करना है: \(\rm \vec{a} \times \vec{a}\) का मान

यहाँ उनके बीच का कोण 0° है

\({\rm{\vec a \times \vec a = }}\left| {\rm{a}} \right|{\rm{ \times }}\left| {\rm{a}} \right|{\rm{ \times sin}}\;{\rm{0 }} \times \rm \hat{n}=0\)

धारणा:

यदि \(\vec a = {a_1}\hat i + {a_2}\hat j + {a_3}\hat k\;and\;\vec b = {b_1}\hat i + {b_2}\hat j + {b_3}\hat k\) तो \(\vec a \cdot \;\vec b = \left| {\vec a} \right| \times \left| {\vec b} \right|\cos \theta\)

गणना:

दिया हुआ: \(\vec a = 2\hat i - 6\hat j - 3\hat k\) और \(\vec b = 4\hat i + 3\hat j - \hat k\)

\(\left| {\vec a} \right| = 7,\;\left| {\vec b} \right| = \sqrt {26} \;and\;\vec a \cdot \;\vec b = - 7\)

\(\Rightarrow \;\cos \theta = \frac{{\vec a \cdot \;\vec b}}{{\left| {\vec a} \right| \times \left| {\vec b} \right|}} = \frac{{ - \;7}}{{7 \times \sqrt {26} }} = - \frac{1}{{\sqrt {26} }}\)

\( \Rightarrow \;{\sin ^2}\theta = 1 - {\cos ^2}\theta = 1 - \frac{1}{{26}} = \frac{{25}}{{26}}\)

दिए गए दो सदिश समानांतर है, इसलिए इन दो सदिश का सदिश गुणनखंड शून्य होगा।

\(\vec a\parallel \vec b \Leftrightarrow \vec a \times \vec b = \vec 0\)

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat i}&{\hat j}&{\hat k}\\ 1&\lambda &3\\ 3&2&9 \end{array}} \right| = 0\)

\(= \left( {9\lambda - 6} \right)\hat i - \left( {9 - 9} \right)\hat j + \left({2 - 3\lambda} \right)\hat k = \vec 0\)

⇒ 9λ – 6 = 0 और 2 - 3λ = 0

दिया गया:

\(\rm\vec u = \hat i \times ( \vec a \times \hat i) + \hat j \times ( \vec a \times \hat j) + \hat k \times ( \vec a \times \hat k)\)

संकल्पना:

î × î  = ĵ × ĵ = k̂ × k̂  = 0 

î × ĵ = k̂ , ĵ × k̂ = î , k̂ × î = ĵ 

गणना

माना a = mî + nĵ +lk̂ 

ज्ञात करने के लिए:

\(\rm\vec u = \hat i \times ( \vec a \times \hat i) + \hat j \times ( \vec a \times \hat j) + \hat k \times ( \vec a \times \hat k)\)

\(\vec u \) = î  × (mî + nĵ +lk̂  × î) + ĵ ×  (mî + nĵ +lk̂  × ĵ) + k̂ × (mî + nĵ +lk̂)

\(\vec u \) = î  × (-nk̂ + lĵ) + ĵ × (mk̂ -lî  ) + k̂ × (-mĵ + nî) 

 \(\vec u \)  = nĵ  + lk̂ + mî +  lk̂ + mî + nĵ 

 \(\vec u \) = 2(mî + nĵ +lk̂ ) = 2\(\vec a \)

संकल्पना:

\(\text { Let } \overrightarrow{\mathrm{a}}=\mathrm{a}_{1} \overrightarrow{\mathrm{i}}+\mathrm{b}_{1} \overrightarrow{\mathrm{j}}+\mathrm{c}_{1} \overrightarrow{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\mathrm{a}_{2} \overrightarrow{\mathrm{i}}+\mathrm{b}_{2} \overrightarrow{\mathrm{j}}+\mathrm{c}_{2} \overrightarrow{\mathrm{k}} \text { and } \overrightarrow{\mathrm{c}}=\mathrm{a}_{3} \overrightarrow{\mathrm{i}}+\mathrm{b}_{3} \overrightarrow{\mathrm{j}}+\mathrm{c}_{3} \overrightarrow{\mathrm{k}} \text { be the three vectors }\)

समतलता के लिए स्थिति: 

​\( \overrightarrow{\mathbf{a}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}) = 0\)​

\(\Rightarrow \left|\begin{array}{lll} \rm a_{1} & \mathrm{b}_{1} & \mathrm{c}_{1} \\ \mathrm{a}_{2} & \mathrm{b}_{2} & \mathrm{c}_{2} \\ \mathrm{a}_{3} & \mathrm{b}_{3} & \mathrm{c}_{3} \end{array}\right|=0 \)

गणना:

यहाँ, \(\rm \hat i-\hat j+\hat k, 2\hat i+\hat j-\hat k, \hat i\lambda-\hat j+\hat k \lambda \) समतलीय हैं। 

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ λ & -1 & λ \end{array}\right|=0\end{array}\)

1(λ - 1) + 1(2λ + λ) + 1(-2 - λ) = 0

λ - 1 + 2λ + λ + -2 - λ = 0

3λ - 3 = 0

λ = 1

अतः विकल्प (4) सही है। 

अवधारणा:

माना कि दो सदिश \({\rm{\vec a}}\) और \({\rm{\vec b}}\) हैं

\(\rm \vec a \cdot \;\vec b = \left| {\vec a} \right| × \left| {\vec b} \right| × \cos θ \)

 \(\rm \vec a × \;\vec b = \;\;\left| {\vec a} \right| × \left| {\vec b} \right| × \sin θ × \;\hat n,\;where\;\hat n\), \(\rm \vec a\;and\;\vec b\)दोनों के लिए लंबवत इकाई सदिश है 

गणना:

दिया हुआ: \(\rm \left| {\vec a} \right| = 3,\;\left| {\vec b} \right| = 4\;and \;\rm \vec a \cdot \;\vec b = 6\)

जैसा कि हम जानते हैं, \(\rm \vec a \cdot \;\vec b = \left| {\vec a} \right| × \left| {\vec b} \right| × \cos θ \)

⇒ 6 = 3 × 4 × cos θ 

⇒ cos θ = \(\frac {6} {12} = \frac 1 2\)

∴ θ = 60° 

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि \(\rm \vec a\;and\;\vec b\) दो सदिश हैं तो

\(\rm \vec a × \;\vec b = \;\;\left| {\vec a} \right| × \left| {\vec b} \right| × \sin θ × \;\hat n\)

\(\rm \left| {\vec a × \;\vec b} \right| = \left| {\vec a} \right| × \left| {\vec b} \right| × \left| {\sin θ } \right| × \left| {\hat n} \right| = \;\left| {\vec a} \right| × \left| {\vec b} \right| × \sin θ \)      (∵ एक इकाई सदिश का परिमाण एक है)

\(\rm \left| {\vec a × \;\vec b} \right|\) = 3 × 4 × sin 60° 

\(\rm ∴ \rm \left| {\vec a × \;\vec b} \right| = 3 × 4 × \frac{\sqrt 3}{2} = 6\sqrt 3\)

संकल्पना:

\(\rm \left(\vec a + \vec b\right) \cdot \left(\vec a - \vec b\right) = \left|\vec a\right|^2-\left|\vec b\right|^2\)

यदि \(\rm \vec u\) एक इकाई सदिश है तो \(\rm \left|\vec u\right|=1\) है। 

गणना:

यह दिया गया है कि

\((\rm \vec x + \rm 2\vec a) \cdot (\rm \vec x - \rm 2\vec a) = 12\).

⇒ \(\rm \left|\vec x\right|^2 - 4\left|\vec a\right|^2 = 12\)

चूँकि \(\rm \vec a\) एक इकाई सदिश है, इसलिए हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ \(\rm \left|\vec x\right|^2 - 4= 12\)

⇒ \(\rm \left|\vec x\right|^2 =16\)

⇒ \(|\rm \vec x |\) = 4

धारणा:

• इकाई वेक्टर: एक वेक्टर जिसका परिमाण एक है।

माना कि \(\vec a = x\;\vec i + y\;\vec j + z\;\vec k\)

a के वेक्टर का परिमाण = \(\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \)

इकाई वेक्टर = \(\hat a = \frac{{\vec a}}{{\left| {\vec a} \right|}}\)

• माना कि \(\vec a\) और \(\vec b\) दो वेक्टर हैं तो वेक्टर \(\vec c\) दोनों के लिए लम्बवत 

\(\vec a = {a_1}\vec i + {b_1}\vec j + {c_1}\vec k\) and \(\vec b = {a_2}\vec i + {b_2}\vec j + {c_2}\vec k\)

\(\therefore \vec c = \vec a \times \vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\vec i}&{\vec j}&{\vec k\;}\\ {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|\)

• यदि \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right]\) तब A का सारणिक निम्न द्वारा दिया जाता है:

|A| = a₁₁ × {(a₂₂ × a₃₃) - (a₂₃ × a₃₂)} - a₁₂ × {(a₂₁ × a₃₃) - (a₂₃ × a₃₁)} + a₁₃ × {(a₂₁ × a₃₂) - (a₂₂ × a₃₁)}

गणना:

माना कि वेक्टर \(\vec a = 2{\rm{\hat i}} - {\rm{\hat j}} + {\rm{\hat k}}\) और \([\vec b = 3{\rm{\hat i}} - 4{\rm{\hat j}} - {\rm{\hat k}}\) और वेक्टर \(\vec c\), \(\vec a\) और \(\vec b\) दोनों के लिए लंबवत हैं

\(\therefore \vec c = \vec a \times \vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\vec i}&{\vec j}&{\vec k\;}\\ 2&{ - 1}&1\\ 3&{ - 4}&{ - 1} \end{array}} \right|\)

\(= \vec i\;\left( {1 + 4} \right) - \vec j\;\left( { - 2 - 3} \right) + \vec k\left( { - 8 + 3} \right)\)

\(= 5\vec i + 5\vec j - 5\vec k\)

इकाई वेक्टर = \(\hat c = \frac{{\vec c}}{{\left| c \right|}} = \frac{{5\overrightarrow {i} + 5\overrightarrow {j\;} - \;5\vec k}}{{\sqrt {{5^2} + {5^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{{5\overrightarrow {i} + 5\overrightarrow {j} - 5\vec k}}{{5\sqrt 3 }} = \frac{{\overrightarrow {i} + \overrightarrow {j} - \vec k}}{{\sqrt 3 }}\)

अवधारणा: 

\(\rm \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0\)

\(\rm \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} \)

गणना:

दिया गया है

\(\rm = \left( {2\vec a - 3\vec b} \right) \times \left( {2\vec a + 3\vec b} \right)\)

\(\rm = 2\overrightarrow{a} \times 2\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{a} \times 3\overrightarrow{b} - 3\overrightarrow{b} \times 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} \times 3\overrightarrow{b}\)

\(\rm = 0 + 2\overrightarrow{a} \times 3\overrightarrow{b} - 3\overrightarrow{b} \times 2\overrightarrow{a} - 0\)

\(\rm = 6 \: (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) + 6\: (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} )\)

\(\rm = 12\: (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \)

Additional Information

अदिश गुणनफल के गुण

\(\rm \overrightarrow{a}.\overrightarrow{a} = \left |\overrightarrow{a} \right |^{2}\)

\(\rm \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}\) (अदिश गुणनफल विनिमेय है)

\(\rm \overrightarrow{a}.\overrightarrow{0} = 0\)

\(\rm \overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{a} . \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} . \overrightarrow{c}\) (जोड़ के ऊपर अदिश गुणनफल का वितरण)

पारस्परिक रूप से लंबवत सदिश के लिए ऑर्थोगोनल निर्देशांक के संदर्भ में, यह देखा जाता है कि \(\rm \overrightarrow{i}. \overrightarrow{i} = \overrightarrow{j}. \overrightarrow{j} = \overrightarrow{k} . \overrightarrow{k} =1\)

सदिश गुणनफल के गुण

धारणा:

डॉट गुणनफल: इसे आंतरिक गुणनफल या स्केलर गुणनफल भी कहा जाता है

• माना कि \(\vec a\;{\rm{and\;}}\vec b\) दो वेक्टर हैं तो दो वेक्टर का डॉट गुणनफल: \(\vec a.\;\vec b = \;\left| {\bf{a}} \right|\left| {\bf{b}} \right|\;{\bf{cos}}\;{\bf{\theta }}\) जहाँ, |\(\vec a\)| = a और |\(\vec b\)| वेक्टर का परिमाण = वेक्टर b और θ का परिमाण a और b के बीच का कोण है
• \(\vec i.\vec i = \vec j.\vec j = \vec k.\vec k = 1{\rm{\;and\;}}\overrightarrow {\;i} .\vec j = \vec j.\vec i = \vec i.\vec k = \vec k.\vec i = \vec j.\vec k = \vec k.\vec j = 0\)

गणना:

माना कि \(\vec a = \vec i,\vec b = \vec j,\vec c = \vec k\)

\(\therefore \left( {{\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}} + {\rm{\vec c}}} \right).{\rm{\vec a}} = \left| {{\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}} + {\rm{\vec c}}} \right|\left| {{\rm{\vec a}}} \right|\cos \theta \)

\(\Rightarrow \left( {{\rm{\vec i}} + \vec j + {\rm{\vec k}}} \right).{\rm{\vec i}} = \left| {{\rm{\vec i}} + \vec j + {\rm{\vec k}}} \right|\left| {{\rm{\vec i}}} \right|\cos \theta \)

⇒ 1 + 0 + 0 = √3 × 1 × cos θ

⇒ cos θ = 1/√3