Types of Vectors MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Types of Vectors - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

सदिश \(\vec{a},\vec{b} ,(\vec{a}\times\vec{b})\) मात्रक सदिश हैं।

चूँकि \(\vec a\) और \(\vec{b}\) मात्रक सदिश हैं, हम जानते हैं:

\( |\vec{a}| = 1 \quad \text{और} \quad |\vec{b}| = 1 \).

सदिश गुणनफल \(( \vec{a} \times \vec{b} )\) का परिमाण इस प्रकार दिया गया है:

\( |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = 1 \times 1 \times \sin \theta = \sin \theta \).

चूँकि \( ( |\vec{a} \times \vec{b}| = 1 \) है, हमारे पास है:

\( \sin \theta = 1 \), इसलिए \(\theta = 90^\circ \), जिसका अर्थ है कि \(\vec a \) और \( \vec{b} \) लंबवत हैं।

अदिश गुणनफल \( ( \vec{a} \cdot \vec{b} )\) है:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = 1 \times 1 \times \cos 90^\circ = 0 \).

∴ \(( \vec{a} \cdot \vec{b} ) \) का मान 0 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

हल:

\( \text{Let } \vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k} \)

\( a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1 \)

\( \vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}, \quad \vec{c} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}, \quad \vec{d} = \hat{k} \)

\( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{d}}{|\vec{d}|} \)

परिमाणों की गणना करने पर:

\( |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3 \)

\( |\vec{c}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3 \)

\( |\vec{d}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \)

समान प्रक्षेप स्थापित करने पर:

\( \frac{2a_1 - a_2 + 2a_3}{3} = \frac{a_1 + 2a_2 - 2a_3}{3} = \frac{a_3}{1} \)

पहली समिका से:

\( 2a_1 - a_2 + 2a_3 = 3a_3 \implies 2a_1 - a_2 = a_3 \)

दूसरी समिका से:

\( a_1 + 2a_2 - 2a_3 = 3a_3 \implies a_1 + 2a_2 = 5a_3 \)

हल करने पर,

\( a_1 = \frac{7}{\sqrt{155}}, \quad a_2 = \frac{9}{\sqrt{155}}, \quad a_3 = \frac{5}{\sqrt{155}} \)

∴ \(\frac{1}{\sqrt{155}} (7\hat{i} + 9\hat{j} + 5\hat{k})\) के अनुदिश एक मात्रक सदिश। 

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

संकल्पना:

यदि \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) एक-दूसरे के समानांतर दो सदिश हैं, तो \({\rm\vec{a} = λ \vec{b}}\) या \(\rm \vec{a} × \vec{b} =0\) है। 

गणना:

दिया गया है:

 \(\rm \vec{i} - a\vec{j} + 5\vec{k}\) और \(\rm 3\vec{i} - 6\vec{j} + b\vec{k}\) समानांतर सदिश हैं,

इसलिए, \(\rm \vec{i} - a\vec{j} + 5\vec{k}= λ (\rm 3\vec{i} - 6\vec{j} + b\vec{k})\)

 \(\rm \vec{i},\vec{j} \;and\; \vec{k}\)के गुणांक को बराबर करने पर 

⇒ 1 = 3λ, ∴ λ = 1/3            

⇒ -a = -6λ 

⇒ 5 = bλ                 .... (1)

समीकरण (1) में λ का मान रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

5 = b × (1/3)

अतः b = 15

धारणा:

संरेखीय वेक्टर की स्थितियां:

• स्थिति वेक्टर \(\vec a,\;\vec b\;and\;\vec c\) के साथ तीन बिंदु संरेखीय हैं यदि और केवल यदि वेक्टर \(\left( {\vec a - \vec b} \right)\) और \(\left( {\vec a\; - \vec c} \right)\) समानांतर हैं। ⇔\(\left( {\vec a - \vec b} \right) = \lambda \left( {\vec a\; - \vec c} \right)\)
• यदि बिंदु (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) और (x3, y3, z3) संरेखीय हैं तो \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}\\ {{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}\\ {{x_3}}&{{y_3}}&{{z_3}} \end{array}} \right| = 0\)

समाधान:

हम जानते हैं कि, यदि  (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) और (x3, y3, z3) अंक समरेख हो तो

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}\\ {{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}\\ {{x_3}}&{{y_3}}&{{z_3}} \end{array}} \right| = 0\)

 दिया हुआ  \(\widehat i + 2\widehat j + 3\widehat k\), \(λ \widehat i + 4\widehat j + 7\widehat k\), \(- 3\widehat i - 2\widehat j - 5\widehat k\)  समरेख है

∴ \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { 1}&{ 2}&3\\ λ&4&7\\ -3&-2&-5 \end{array}} \right| = 0\)

⇒ 1 (-20 + 14) – (2) (-5λ + 21) + 3 (-2λ + 12) = 0

⇒ -6 + 10λ – 42 - 6λ + 36  = 0

⇒ 4λ = 12

∴ λ = 3

संकल्पना:

यदि बिंदुओं के किसी दो युग्मों का ढलान समान है, तो तीन या तीन से अधिक बिंदुओं को संरेखीय कहा जाता है। 

यहाँ, \(\rm 5\hat i-2\hat j, 8\hat i-3\hat j, a\hat i-12\hat j \)

माना कि, A = (5, -2), B = (8, -3), C = (a, -12) है। 

अब, AB का ढलान = BC का ढलान = AC का ढलान ....(∵ बिंदु संरेखीय हैं।)

 \(\rm \frac{-3-(-2)}{8-5}=\frac{-12-(-3)}{a-8}\\ ⇒ \frac{-1}{3}=\frac{-9}{a-8}\)

⇒ a - 8= 27

⇒ a = 27 + 8 = 35

अतः विकल्प (4) सही है। 

संकल्पना:

दो सदिश \(\vec m \ and \ \vec n \) के संरेखीय होने के लिए​ \(\vec m\; = \;λ \vec n\) है, जहाँ λ अदिश है। 

गणना:

दिया गया है कि, सदिश\(4\hat i + \hat j - 3\hat k\) & \(p\hat i + q\hat j - 2\hat k\)संरेखीय हैं।

चूँकि दो सदिश \(\vec m \ and \ \vec n \) संरेखीय हैं, तो \(\vec m\; = \;λ \vec n\) है, जहाँ λ अदिश है।

⇒ \(4\hat i + \hat j - 3\hat k\;\ = λ × (\;p\hat i + q\hat j - 2\hat k)\)

⇒ \(4\hat i + 1\hat j - 3\hat k\;\ = λ p \hat i + λq \hat j - 2λ \hat k\)

⇒ λp = 4,  λq = 1 और -2λ = -3

⇒  λ = 3/2

इसलिए, λp = 4 और λq = 1 में λ = 3/2 रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ (3/2)p = 4 और (3/2)q = 1

⇒ p = 8/3 और q  = 2/3

∴  \(\frac{8}{3}, \frac{2}{3}\) सही उत्तर है।

संकल्पना:

यदि \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) एक-दूसरे के समानांतर दो सदिश हैं, तो \({\rm\vec{a} = λ \vec{b}}\) या \(\rm \vec{a} × \vec{b} =0\) है। 

गणना:

दिया गया है:

 \(\rm \vec{i} - a\vec{j} + 5\vec{k}\) और \(\rm 3\vec{i} - 6\vec{j} + b\vec{k}\) समानांतर सदिश हैं,

इसलिए, \(\rm \vec{i} - a\vec{j} + 5\vec{k}= λ (\rm 3\vec{i} - 6\vec{j} + b\vec{k})\)

 \(\rm \vec{i},\vec{j} \;and\; \vec{k}\)के गुणांक को बराबर करने पर 

⇒ 1 = 3λ, ∴ λ = 1/3            

⇒ -a = -6λ 

⇒ 5 = bλ                 .... (1)

समीकरण (1) में λ का मान रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

5 = b × (1/3)

अतः b = 15

संकल्पना:

यदि \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) एक-दूसरे के समानांतर दो सदिश हैं, तो \({\rm\vec{a} = λ \vec{b}}\) या \(\rm \vec{a} × \vec{b} =0\) है। 

गणना:

दिया गया है:

 \(\rm x\vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}\) और \(\rm 2\vec{i} - 4\vec{j} + y\vec{k}\) समानांतर सदिश हैं,

इसलिए, \(\rm x\vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k} = λ (\rm 2\vec{i} - 4\vec{j} + y\vec{k})\)

 \(\rm \vec{i},\vec{i} \;and\; \vec{k}\)के गुणांक को बराबर करने पर 

⇒ x = 2λ                    .... (1)

⇒ -2 = -4λ 

∴ λ = 1/2

समीकरण (1) में λ का मान रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

x = 2 × (1/2)

अतः x = 1

संकल्पना:

सदिश \(\rm \vec{z}\) की दिशा में इकाई सदिश को \(\hat z = \rm \frac{\vec{z}}{|z|}\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दिया गया है: \(\rm \vec{a}= 3i -4j\)

⇒ सदिश \(\rm \vec{a}\) की दिशा में इकाई सदिश को \(\hat a = \rm \frac{\vec{a}}{|a|}\) द्वारा ज्ञात किया गया है।

⇒  \(\rm \hat{a} = \rm \frac{3i-4j}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \rm \frac{3\hat i-4\hat j}{5}\)

सदिश \(\rm \vec{a}\) की दिशा में एक सदिश को \(10 \ \hat a\) द्वारा ज्ञात किया गया है जिसमें परिमाण 10 है। 

⇒ \(10 \ \hat a = 6\hat i - 8 \hat j\)

अतः विकल्प 2 सही है। 

उपयोग की गई अवधारणा:

a, b, और c सदिश समतलीय हैं जब \([\vec{a}, \vec{b},\vec{c}] = 0\)

गणना:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {2}&{-1}&{1}\\ {1}&{2}&{-3}\\ {3}&{a}&{5} \end{array}} \right| = 0\)

⇒ 2(10 + 3a) + 1(5 + 9) + 1(a - 6) = 0

⇒ 20 + 6a + 14 + a - 6 = 0

⇒ 7a = - 28

∴ a = - 4

∴ सदिश 2î - ĵ + k̂, î + 2ĵ - 3k̂ और 3î + aĵ + 5k̂ समतलीय हैं जब a = - 4

अवधारणा :

यदि सदिश \(\vec a\;and\;\vec b\) लंबवत हैं तो \(\vec a \cdot \;\vec b = 0\)

गणना :

दिया हुआ: \(3\hat i + \hat j - 2\hat k\) और \(\hat i + \lambda \hat j - 3\hat k\) लंबवत हैं

\(\Rightarrow \vec a \cdot \;\vec b = \left( {3\hat i + \hat j - 2\hat k} \right) \cdot \left( {\hat i + \lambda \hat j -3\hat k} \right) = \; 3 + \lambda + 6 = 9 + \lambda\)

∵ \(\hat i + \lambda \hat j - 3\hat k\) और \(\hat i + \lambda \hat j - 3\hat k\) लंबवत हैं

⇒ λ + 9 = 0

⇒ λ = - 9

इसलिए, विकल्प A सही उत्तर है।

व्याख्या:

दिया गया है, λî + 2λĵ + 2λk̂ ​एक इकाई सदिश है।

∴ \(\left|λ \hat{i} +2λ \hat{j}+2λ \hat{k}\right|=1\)

⇒ \(\sqrt{λ ^{2}+(2λ )^{2}+(2λ )^{2}}=1\)

⇒ \(\sqrt{λ ^{2}+4λ ^{2}+4λ ^{2}}=1\)

⇒ \(\sqrt{9λ ^{2}}=1\)

⇒ 3λ = 1

⇒ \(\lambda=\frac{1}{3} \)

संकल्पना:

माना कि \(\rm \vec{a}\) और \(\rm \vec{b}\) दो सदिश हैं, तो सदिश \(\rm \vec{c}\), \(\rm \vec{a}\) और \(\rm \vec{b}\) दोनों के लंबवत है। 

\(\begin{array}{l} \vec{a}=x_{1} \hat{i}+y_{1} \hat{j}+z_{1} \hat{k}\\ \vec{b}=x_{2} \hat{i}+y_{2} \hat{j}+z_{2} \hat{k} \\ ​​\vec{c}=\vec{a} × \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & j & \hat{k} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array}\right| \end{array}\)

गणना:

यहाँ, \({\rm{\vec a}} = - {\rm{\hat i}} + {\rm{\hat j}} + {\rm{\hat k}}\) और \({\rm{\vec b}} = {\rm{\hat i}} - {\rm{\hat j}} + {\rm{\hat k\;}}\)

दोनों के लंबवत सदिश  \(\rm \vec{a} \times \vec{b}\)होगा। 

\(\begin{aligned} \vec{a} \times \vec{b} &=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right| \\ &=\hat{i}(1+1)-\hat{j} (-1-1)+\hat{k}(1-1) \\ &=2 \hat{i}+2 \hat{j} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} |\vec{a} \times \vec{b}| =\sqrt{(2)^{2}+(2)^{2}} =\sqrt{8} =2 \sqrt{2}\\ \end{aligned} \)

\(\text {Unit vector} =\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}\\ =\frac{2 \hat{i}+2 \hat{j}}{2 \sqrt{2}} \\ =\frac{i+\hat{j}}{\sqrt{2}}\)

 अतः विकल्प (1) सही है।