Algebra MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Algebra - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 4, 2025
Latest Algebra MCQ Objective Questions
Algebra Question 1:
मान लीजिए G एक समूह है जिसका तत्समक अवयव e है। मान लीजिए H एक आबेलियन गैर-तुच्छ उचित उपसमूह है जिसका गुण यह है कि सभी g / ∉ H के लिए H ∩ gHg−1 = {e}
यदि K =
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
H, G का एक आबेलियन अतुच्छ उचित उपसमूह है जिसमे यह गुण है कि सभी g / ∉ H के लिए H ∩ gHg−1 = {e}
K =
H, K में प्रसामान्य है, क्योंकि K, H को केन्द्रीकृत करता है
विकल्प (1): K, H का उचित उपसमूह है।
चूँकि,
इसके बजाय, K या तो H के बराबर है या इससे कड़ा बड़ा है।
विकल्प (1) सही नहीं है।
विकल्प (2): H, K का उचित उपसमूह है।
K, H के बराबर हो सकता है क्योंकि H का केन्द्रीकृत करने वाला केवल स्वयं H ही हो सकता है, समूह संरचना पर निर्भर करता है।
विकल्प (3): K = H
चूँकि
H के बाहर कोई भी अवयव H के सभी अवयवों के साथ क्रमविनिमेय नहीं हो सकता है।
इसलिए, G में H का केन्द्रीकृत करने वाला ठीक H है, जिसका अर्थ है K = H
विकल्प (4): कोई ऐसा आबेली उपसमूह
चूँकि K = H, और H आबेली और पृथक है (H के बाहर कोई भी अवयव H के सभी अवयवों के साथ क्रमविनिमेय नहीं है),
ऐसा कोई बड़ा आबेली उपसमूह L मौजूद नहीं हो सकता है जिसमें K एक उचित उपसमूह के रूप में हो।
इसलिए विकल्प (3) और विकल्प (4) सही हैं।
Algebra Question 2:
निम्नलिखित में से कौन सा वलय एक समाकलन डोमेन है?
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 2 Detailed Solution
अवधारणा:
एक समाकलन डोमेन एक इकाई युक्त क्रमविनिमेय वलय है जिसका कोई शून्य विभाजक नहीं होता।
स्पष्टीकरण:
(1): ℝ[x] एकता 1 के साथ एक विनिमेय वलय है।
मान लीजिए f(x), g(x) ∈ ℝ[x], यदि f(x)g(x) = 0 तो या तो f(x) = 0 या g(x) = 0.
अतः ℝ[x] एक पूर्णांकीय डोमेन है।
(1) सत्य है.
(2): मान लीजिए f(x), g(x) ∈ C 1 [0, 1] द्वारा परिभाषित
f(x) =
और g(x) =
तब f(x) ⋅ g(x) = 0 यद्यपि f(x) ≠ 0, g(x) ≠ 0
इसलिए, C 1 [0, 1] का कोई शून्य विभाजक नहीं है और इसलिए यह पूर्णांक डोमेन नहीं है।
(2) गलत है.
(3): मान लीजिए A, B ∈ M n (ℝ) तो सामान्यतः AB ≠ BA.
अतः यह परिवर्तनीय नहीं है।
इसलिए M n (ℝ) पूर्णांक डोमेन नहीं है।
(3) गलत है.
Algebra Question 3:
ℚ[x] बहुपद वलय पर विचार करें। x2 + 5 द्वारा जनित ℚ[x] का आदर्श है:
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 3 Detailed Solution
अवधारणा:
अभाज्य आदर्श: एक आदर्श I ⊆ R अभाज्य होता है यदि R/I एक पूर्णांकीय प्रांत (शून्य भाजक नहीं है) है। अर्थात्, किसी भी f(x), g(x) ∈ R के लिए, यदि f(x)g(x) ∈ I, तो या तो f(x) ∈ I या g(x) ∈ Iहोगा।
अधिकतम आदर्श: एक आदर्श I ⊆ R अधिकतम होता है यदि R/I एक क्षेत्र (प्रत्येक शून्येतर अवयव का एक गुणात्मक प्रतिलोम है) है। एक अधिकतम आदर्श हमेशा अभाज्य होता है, लेकिन इसका विलोम आवश्यक रूप से सत्य नहीं होता है।
अकार्यक्षमता: ℚ[x] में एक बहुपद f(x) अकार्यक्षम है यदि इसे ℚ में गुणांकों वाले अचर बहुपदों में गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है।
व्याख्या:
x2 + 5 का ℚ में कोई मूल नहीं है क्योंकि x2 + 5 = 0 ⇒ x = ± √5i ∉ ℚ।
इसलिए x2 + 5, ℚ[x] में अकार्यक्षम है।
ℚ[x] में, एक अकार्यक्षम बहुपद द्वारा जनित एक आदर्श हमेशा अभाज्य होता है क्योंकि ℚ[x]/(x2 + 5) में कोई शून्य भाजक नहीं है।
इसलिए, आदर्श x2 + 5 एक अभाज्य आदर्श है।
अब, चूँकि x2 + 5, ℚ[x] में अकार्यक्षम है, इसलिए ℚ[x]/(x2 + 5) एक क्षेत्र बनाता है।
इसलिए, आदर्श x2 + 5 एक अधिकतम आदर्श है।
(3) सत्य है।
Algebra Question 4:
माना G कोटि 660 का एक समूह है, तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन G के बारे में हमेशा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 4 Detailed Solution
व्याख्या:
G की कोटि:
विकल्प 1:
सिल्लो 5-उपसमूह के लिए,
एक अद्वितीय सिल्लो 5-उपसमूह की गारंटी नहीं है, इसलिए यह प्रसामान्य नहीं हो सकता है।
विकल्प (1) गलत है।
विकल्प 2:
सिल्लो 11-उपसमूह के लिए,
⇒
सिल्लो की प्रमेयों द्वारा,
इसलिए विकल्प (2) सही है।
विकल्प 3:
कोटि 110 का एक उपसमूह मौजूद होगा यदि सिल्लो 5-उपसमूह और सिल्लो 11-उपसमूह हैं जो संयोजित होते हैं।
हालांकि, इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि ऐसा उपसमूह मौजूद है, क्योंकि यह समूह संरचना और सिल्लो उपसमूहों की प्रसामान्यता पर निर्भर करता है।
विकल्प (3) गलत है।
विकल्प 4:
कोटि 660 के सभी समूह चक्रीय नहीं होते हैं।
उदाहरण के लिए, G एक अन्बेली समूह हो सकता है जैसे
इस प्रकार, G आवश्यक रूप से
विकल्प (4) गलत है।
इसलिए विकल्प (2) सही उत्तर है।
Algebra Question 5:
माना कि G कोटि 660 का एक सरल समूह है। G के कोटि 11 के उपसमूहों की संख्या क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 5 Detailed Solution
व्याख्या:
o(G) = 660 = 22 × 3 × 5 × 11.
11-सिलो उपसमूहों की संख्या है
n11 = (1 + 11k) / (22 × 3 × 5), k = 0, 1, 2, ...
= (1 + 11k)/60, k = 0, 1, 2, ...
= 1, 12
चूँकि G सरल है, इसलिए सिलो 11-उपसमूह अद्वितीय नहीं हो सकते है।
इसलिए, n11 ≠ 1
अतः 11-सिलो उपसमूहों की संख्या 12 है।
(4) सही है।
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वलय ℤ/105ℤ में, समीकरण x2 = 1 के हलों की संख्या है:
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
यदि xn = 1 है तो o(x), n को विभाजित करता है।
स्पष्टीकरण:
ℤ/105ℤ ≅ ℤ105
105 = 3 × 5 × 7
So
दिया गया है कि x2 = 1 अतः o(x), 2 को विभाजित करता है। अतःo(x) = 1 या 2
क्रम 1 और 2 के ℤ2 का तत्व 2 है।
क्रम 1 और 2 के ℤ4 का तत्व 2 है।
क्रम 1 और 2 के ℤ6 का तत्व 2 है।
अतः ऐसे तत्वों की कुल संख्या = 2 × 2 × 2 = 8
विकल्प (4) सही है।
मानें कि p अभाज्य संख्या है। G को ऐसा समूह मानें कि प्रत्येक g ∈ G के लिए एक ऐसा n ∈ ℕ है कि gpn = 1 है। निम्न वक्तव्यों में से कौन सा असत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
(i) सिलो का पहला प्रमेय: मान लीजिए G एक परिमित समूह है और मान लीजिए कि p एक अभाज्य समूह है। यदि pk |G| को विभाजित करता है, तो G के पास क्रम pk का कम से कम एक उपसमूह है।
(ii) यदि f o(G) = pn है तो सभी 0 ≤ r ≤ n के लिए क्रम pr का कम से कम n - 1 सामान्य उपसमूह मौजूद है
स्पष्टीकरण:
(1): दिया गया है |G| = p6 इसलिए p4, p6 को विभाजित करता है। फिर सिलो के पहले प्रमेय के अनुसार, एक उपसमूह H ⊂ G मौजूद है जिससे |H| = p4
इसलिए H का सूचकांक = p6/ p4 = p2
विकल्प (1) सत्य है।
(2): |G| = p6तो परिणाम के अनुसार (ii) G में कम से कम पाँच सामान्य उपसमूह हैं।
विकल्प (2) सत्य है और विकल्प (4) असत्य है।
(3): यदि हम (P
विकल्प (3) सत्य है।
निम्न में से कौन-सी समीकरण कोटि (order) 10 के किसी समूह का क्लास समीकरण (class equation) हो सकती है?
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
यदि G इस प्रकार का समूह है कि o(G) = 2p है जहाँ p विषम अभाज्य है, तो G ≅
(ii) यदि o(G) = n है, जहाँ G एबेलियन समूह है तो G का वर्ग समीकरण n = 1 + 1 + ... + 1 (n बार) है।
व्याख्या:
दिया गया है: o(G) = 10 = 2.5
इसलिए यहाँ p = 5 जो विषम अभाज्य है।
यहाँ G ≅
यदि G ≅
यदि G ≅
इसलिए इस स्थिति में कोटि 10 के समूह का वर्ग समीकरण निम्नलिखित है:
10 = 1 + 2 + 2 + 5
अतः विकल्प (1) सही है।
n ≥ 1 के लिए, माना कि Sn, n प्रतीकों पर सभी क्रमचयों के समूह को दर्शाता है। निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFहल - Sn, n प्रतीकों पर सभी क्रमचयों के समूह को दर्शाता है।
इसलिए, विकल्प 1 गलत है
इसलिए, विकल्प 2) और विकल्प 3) भी गलत है
इसलिए, सही विकल्प (विकल्प 4) है।
X को अरिक्त समुच्चय मानें तथा P(X) को X के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय मानें। P(X) पर दो प्रचालन (ऑपरेशन) ⋆ तथा Δ निम्नवत परिभाषित करें:
A, B ∈ P(X) के लिए A ⋆ B = A ∩ B; AΔB = (A ∪ B)\(A ∩ B).
निम्न कथनों में से कौन-सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
मान लीजिये संक्रिया, Δ अर्थात, A, B ∈ P(X) ⇒ A Δ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) इसके लिए,
(i) संवृत: माना A, B ∈ P(x) तब A Δ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) ∈ P(X)
इसलिए, P(x) Δ के अंतर्गत संवृत है।
(ii) साहचर्यता: माना A, B, C ∈ P(x), तब (A Δ B) ΔC = ([(A ∪ B) \ (A ∩ B))] ∪ C) \[([A ∪ B) \ ((A ∩ B))] ∩ C)
A Δ (B Δ C) = (A ∪[(B ∪ C) | (B∩C)]) \ (A∩[(B∪C) | (B∩C)])
आकृतियों से आप देख सकते हैं,
(A Δ B) ΔC = A Δ (B Δ C)
(iii) तत्समक:
AΔϕ = (A ∪ ϕ) \ (A ∩ ϕ) = A \ ϕ = A
इसलिए, ϕ ∈ P(x) ऐसा है कि A Δ ϕ = A
(iv) प्रतिलोम:
A Δ A = (A ∪ A) \ (A ∩ A) = A \ A = ϕ
इसलिए, A ∈ P(x) के लिए, A-1 = A.
∴ P(x) Δ के अंतर्गत समूह है।
अब * संक्रिया के लिए, A * B = A ∩ B, A, B ∈ P(x)
मान लीजिये x = {1, 2, 3} तब P(x) = {ϕ, x, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}
यहाँ, यदि हम लेते हैं, e = x
(∵ x ∩ A = A, A ∈ P(x))
लेकिन e = x के लिए, किसी भी A का प्रतिलोम, A ∈ P(x)
∵ A ∩ B ≠ x (किसी भी A, B ∈ P(x)A, B ≠ x के लिए)
इसलिए, P(x) (*) के अंतर्गत समूह नहीं है।
विकल्प (3) सही है।
निम्न कथनों में से कौन-सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
इस प्रकार की समस्याओं के लिए, उपयुक्त प्रति-उदाहरण लेकर दिए गए विकल्पों को त्यागने का प्रयास करें।
विकल्प (1) के लिए, मान लीजिए n = 16 तब
(n - 1)! + 3 = 15! + 3 = सम + विषम = विषम
⇒ कोई भी सम पूर्णांक इसे अर्थात (n - 1)! + 3 को विभाजित करता है।
⇒ विकल्प (1) असत्य है। (क्योंकि सभी के लिए सत्य नहीं है)
विकल्प (2) के लिए, n = 17 लीजिए, तब
∵ (n - 1)! = 16! , यहाँ n = 17 अभाज्य है इसलिए यह कभी भी 16! को विभाजित नहीं करेगा।
⇒ विकल्प (2) असत्य है।
विकल्प (4) के लिए, n = 16 लीजिए, तब n2 = 162 + n! + 1 = 16 ! + 1 यहाँ 162 सम है जबकि 16! + 1 विषम पूर्णांक है इसलिए 162 + 16! + 1 है।
⇒ विकल्प (4) असत्य है।
विकल्प (3) सत्य है [किसी भी n ≥ 16 सम पर विचार करें]
नोट: इस विकल्प के लिए प्रमाण बहुत लंबा है, इसलिए केवल उदाहरण से समझने का प्रयास करें।
∵ (p1 - 1) x p1 ⇒ ∃ कोई अन्य अभाज्य p2 ऐसा है कि (p1 - 1)|p2
लेकिन ∵ p2 भी एक अभाज्य है, इसलिए 1 को छोड़कर किसी भी पूर्णांक से विभाज्य नहीं है।
(एक अभाज्य गुणनखंड 2 है, तो n अधिकतम दो अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों के रूप में है अन्यथा एक।)
इस प्रकार, विकल्प (3) सत्य है।
वलय
निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
उच्चिष्ठ गुणजावली : वलय R में एक उच्चिष्ठ गुणजावली I एक ऐसी गुणजावली है जिसके लिए भागफल वलय R/I एक क्षेत्र है।
अभाज्य गुणजावली : वलय R में एक अभाज्य गुणजावली P एक ऐसी गुणजावली है कि यदि दो अवयवों का गुणनफल P में है, तो कम से कम एक अवयव P में होना चाहिए।
व्याख्या:
वलय में योग और गुणन इस प्रकार परिभाषित हैं:
विकल्प 1:
इस वलय में योग स्पष्ट रूप से क्रमविनिमेय है क्योंकि किसी भी वलय में बहुपदों का योग क्रमविनिमेय होता है।
अब गुणन पर विचार करें। मानक बहुपद वलयों में, गुणन तब तक क्रमविनिमेय होता है जब तक कि
गुणांक एक क्रमविनिमेय वलय (इस मामले में, पूर्णांक
चूँकि
(अर्थात,
इसलिए, कथन R क्रमविनिमेय नहीं है असत्य है।
विकल्प 2:
गुणजावली
हालाँकि, यह वर्णित R वलय में आवश्यक रूप से सत्य नहीं है, क्योंकि R/
(यह एक सरल वलय में कम हो सकता है, लेकिन क्षेत्र नहीं)।
विकल्प 3:
(X - 1, 2) कुछ बहुपद वलयों में, विशेष रूप से पूर्णांकों पर, एक मानक प्रकार की गुणजावली है। एक अभाज्य गुणजावली के लिए, यह शर्त होनी चाहिए कि अवयवों का गुणन गुणजावली के भीतर ही रहे।
विकल्प 4:
जबकि कुछ वलयों में यह एक क्षेत्र हो सकता है, इसे अधिक सत्यापन की आवश्यकता है।
इसलिए, विकल्प 3) सही है।
मानें कि φ(n) निम्न समुच्चय की 'गणनीयता' है
{a | 1 ≤ a ≤ n, (a, n) = 1} जहाँ (a, n) a तथा n के gcd को दर्शाता है। निम्न में से कौन-सा सत्य नहीं है?
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
ϕ:
ϕ (pn) = pn - pn-1
यदि gcd(m, n) = 1 है, तो ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) है।
व्याख्या:
ϕ(n) तालिका:
| n+1 | ϕ(n+1) | n | ϕ(n) |
| 5 | 4 | 4 | 2 |
| 7 | 6 | 6 | 2 |
| 11 | 10 | 10 | 4 |
| 13 | 12 | 12 | 4 |
| 17 | 16 | 16 | 8 |
| 19 | 18 | 18 | 6 |
| 23 | 22 | 22 | 10 |
| 29 | 28 | 28 | 12 |
| 31 | 30 | 30 | 8 |
ϕ(n) की तालिका से हम देख सकते हैं कि यदि हम n को 3 से बड़ी अभाज्य संख्या मानते हैं, तो ϕ(n) > ϕ(n+1) और यदि हम n + 1 को 3 से बड़ी अभाज्य संख्या मानते हैं, तो ϕ(n)
∴ विकल्प (1) और (2) सही हैं।
ϕ(n) तालिका:
| N | ϕ(N) | n | ϕ(n) |
| 6 | 2 | 7 | 6 |
| 6 | 2 | 8 | 4 |
| 6 | 2 | 9 | 6 |
| 6 | 2 | 10 | 4 |
| 6 | 2 | 11 | 10 |
| 6 | 2 | 12 | 4 |
| 6 | 2 | 13 | 12 |
| 6 | 2 | 14 | 6 |
| 6 | 2 | 15 | 8 |
इसलिए, यदि हम N = 6 लेते हैं, तो ∀ n > 6, हमारे पास ϕ(N)
इसलिए, विकल्प (3) सही है।
इसलिए, गलत विकल्प (4) है।
यदि R इकाई तत्व के साथ क्रमविनिमेय वलय है M, R की गुणजावली है और R/M परिमित समाकल डोमेन है तो _____।
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
यदि R एक क्रमविनिमेय वलय है तो,
ab = ba ∀ a,b ∈ R.
M, जो R की एक गुणजावली है, R की अधिकतम गुणजावली कहलाएगी,
1) यदि M ⊂ R, M ≠ R (R में कम से कम एक ऐसा तत्व है जो M से संबंधित नहीं है)
2) कोई गुणजावली 'N' नहीं होनी चाहिए, जैसे M ⊂ N ⊂ R. (M और R के बीच कोई गुणजावली नहीं है)
विश्लेषण:
R/M एक क्षेत्र है [∵ प्रत्येक परिमित अभिन्न डोमेन एक क्षेत्र है]
∴ R/M एकल के साथ एक वलय है
∴ 1 + M ≠ M
अर्थात, 1 ∉ M
अब, एक R से संबंधित है, लेकिन यह R से संबंधित नहीं है।
∴ M ≠ R.
मान लीजिए I, R की एक गुणजावली है
ऐसा है कि M ⊆ I ⊆ R
माना, M ≠ I
∃ a ∈ I, ऐसा है कि a ∉ M
∴ a + M ∉ M
अब, R/M एक क्षेत्र है।
∴ प्रत्येक, गैर-शून्य R/M प्रतिवर्ती है
∴ a + M व्युत्क्रमणीय है
∴ ∃ b + M ∈ R/M दिया गया है कि
(a + M) (b + M) = 1 + M
ab + M = 1 + M
ab – 1 ∈ M ⊆ I ---(1)
a ∈ I, b ∈ R
∴ ab ∈ I ---(2) (∵ I एक गुणजावली है)
(1) और (2) से हम लिख सकते हैं
ab – (ab – 1) ∈ I
∴ 1 ∈ I
अब, जैसे एकता गुणजावली से संबंधित है, इसलिए गुणजावली वलय बन जाता है
∴ I = R
∴ M, R का अधिकतम गुणजावली है
यदि R एकल के साथ एक क्रमविनिमेय वलय है तो प्रत्येक अधिकतम गुणजावली एक अभाज्य गुणजावली है।
ℤ/150ℤ से ℤ/90ℤ तक समूह समाकारिताओं की संख्या है:
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
यदि
व्याख्या:
150 का अभाज्य गुणनखंडन:
90 का अभाज्य गुणनखंडन:
अब, 150 और 90 का gcd उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की निम्नतम घातों का गुणनफल है:
इस प्रकार, विकल्प 1) सही है।