Bilinear Forms,Quadratic Forms MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Bilinear Forms,Quadratic Forms - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

Q(x, y, z) = 2y2 + 2yz + 4z2.

आव्यूह रूप है

A =

अभिलाक्षणिक समीकरण

= 0

⇒ - λ{(2 - λ)(4 - λ) - 1} = 0

⇒ λ(λ² - 6λ + 7) = 0

⇒ λ = 0, 3 - √2, 3 + √2

इसलिए, आइगेन मान 0, 3 - √2, 3 + √2 हैं। 

det(A) = 0

A व्युत्क्रमणीय नहीं है। 

वास्तविक सममित 3 × 3 आव्यूह A जो सभी x, y, z ∈ ℝ के लिए Q(x, y, z) = [x y z] A को संतुष्ट करता है, व्युत्क्रमणीय नहीं है।

(4) सत्य है। 

सभी आइगेन मान धनात्मक और शून्य हैं

इसलिए, A धनात्मक अर्धनिश्चित है।

इसलिए, सभी u के लिए Q(u) ≥ 0 और u ≠ 0 का अस्तित्व इस प्रकार है कि Q(u) = 0 है। 

(2) सत्य है।

संप्रत्यय:

कोटि n के एक वर्ग आव्यूह A जिसके सभी अवयव समान (मान लीजिए a) हैं, का अभिलक्षणिक बहुपद और न्यूनतम बहुपद क्रमशः C_A(x) = x^n-1(x - Trace(A)) और m_A(x) = x(x - Trace(A)) होते हैं।

व्याख्या:

𝔽 अभिलक्षणिक 5 का एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र है।

A, 𝔽 पर एक 5 × 5 आव्यूह है जिसकी सभी प्रविष्टियाँ 1 हैं।

तब Trace(A) = 5

इसलिए, C_A(x) = x⁴(x - 5) और m_A(x) = x(x - 5)

इसलिए, जॉर्डन विहित रूप है

अब, चूँकि प्रविष्टियाँ 𝔽 से हैं जिसका अभिलक्षणिक 5 है, इसलिए

जॉर्डन विहित रूप निम्न है

J =

विकल्प (4) सही है।

संप्रत्यय:

द्विघाती रूप: चरों (या ) में एक द्विघाती रूप में जैसे पद होते हैं। द्विघाती रूप

अक्सर वक्रों या सतहों (जैसे, दीर्घवृत्त या अतिपरवलय) का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

2. द्विघाती रूपों की सांतत्यता: द्विघाती रूप सतत फलन हैं, जिसका अर्थ है कि वे

इनपुट के आधार पर मानों की एक श्रेणी ले सकते हैं। चूँकि वे वर्गाकार पदों और क्रॉस उत्पादों के योग हैं, वे

धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य आउटपुट उत्पन्न कर सकते हैं।

3. द्विघाती रूपों का संयोजन: दो द्विघाती रूपों का योग या अंतर अभी भी एक द्विघाती रूप है।

ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक द्विघाती रूप में व्यक्तिगत पद या तो वर्गाकार पद हैं या क्रॉस पद हैं, जो संयोजन होने पर

द्विघाती संरचना को बनाए रखते हैं।

व्याख्या:

विकल्प 1: एक द्विघाती रूप एक बहुपद है जहाँ प्रत्येक पद की घात दो होती है। यह देखते हुए कि दोनों और

द्विघाती रूप हैं, अंतर भी एक द्विघाती रूप होगा क्योंकि यह द्विघाती

पदों का योग बना रहता है। इसलिए, यह कथन सत्य है।

विकल्प 2: यह कथन निहित करता है कि कुछ के लिए, का मान 5 है। चूँकि द्विघाती रूप चुने गए विशिष्ट चरों के आधार पर कोई भी वास्तविक

मान ले सकते हैं (यह मानते हुए कि यह एक अपभ्रष्ट रूप नहीं है), का मान 5 होना संभव है।

इसलिए, यह कथन सत्य है।

विकल्प 3: यह कथन दावा करता है कि मान -5 नहीं ले सकता है। हालाँकि, एक द्विघाती रूप अपने चरों के आधार पर कोई भी वास्तविक मान ले सकता है।

इसलिए, यह कथन असत्य है।

विकल्प 4: चूँकि , ऐसे सदिशों का निर्माण करना संभव है जिससे q

किसी भी वास्तविक संख्या के बराबर हो, क्योंकि दोनों और कोई भी वास्तविक मान ले सकते हैं।

इसलिए, यह कथन सत्य है।

सही उत्तर विकल्प 1, विकल्प 2 और विकल्प 4 हैं।

संप्रत्यय:

द्विघाती रूप का शून्य:

गणितीय रूप से, एक द्विघाती रूप इस रूप का एक व्यंजक है:

जहाँ स्थिरांक हैं और चर हैं। द्विघाती रूप के शून्य चरों के वे मान हैं

जो बनाते हैं।

व्याख्या:

विकल्प 1:

यह वर्गों का योग है। चूँकि के किसी भी शून्येतर मान के लिए सभी पद धनात्मक हैं

यह द्विघाती रूप शून्य नहीं हो सकता जब तक कि न हो। इसलिए, इस रूप का (0, 0, 0) के अलावा कोई शून्य नहीं है।

विकल्प 2:

इसमें आड़ा पद शामिल है। हमें यह जांचना होगा कि क्या इस रूप के शून्य होने के कोई तुच्छ (nontrivial) हल हैं। हालाँकि, वर्ग पद प्रमुख हैं, और अकेला आड़ा पद

संपूर्ण व्यंजक को शून्य तक कम करने की संभावना नहीं है जब तक कि न हो। इस प्रकार, कोई तुच्छ शून्य मौजूद नहीं है।

विकल्प 3: :

इसमें दो आड़े पद और हैं। आड़े पदों के साथ भी, वर्ग पद

धनात्मक हैं, और व्यंजक को शून्य तक कम करने के लिए अभी भी की आवश्यकता होगी। इसलिए, कोई तुच्छ शून्य अपेक्षित नहीं है।

विकल्प 4:

यह अलग है क्योंकि इसमें धनात्मक और ऋणात्मक दोनों वर्ग पद हैं। विशेष रूप से,

का एक ऋणात्मक गुणांक है, जो धनात्मक और ऋणात्मक पदों के बीच निरसन की अनुमति दे सकता है।

शून्येतर मानों के कुछ संयोजन के लिए समीकरण को संतुष्ट करना संभव है।

उदाहरण के लिए, और लें। तब, नहीं है, लेकिन है। भी एक हल है।

इस प्रकार, विकल्प 4) सही है।

अवधारणा -

(1) यदि a, M का आइगेन मान है, तब Mn का आइगेन मान an है।

(2) यदि आव्यूह के सभी आइगेन मान भिन्न हैं तब आव्यूह विकर्णीय होगा।

स्पष्टीकरण -

दिया गया है - 

अब दिए गए आव्यूह के लिए अभिलाक्षणिक समीकरण है -

⇒ | M - λ I | = 0

⇒ 

⇒ -λ (4 - λ ) + 3 = 0 ⇒ λ² - 4λ + 3 = 0

अब इस समीकरण को हल करने पर, हमें आव्यूह का आइगेन मान प्राप्त होता है-

 ⇒ λ2 - 3λ - λ  + 3 = 0  ⇒ (λ -3)(λ -1) = 0  ⇒ λ = 1, 3 

इसलिए, M का आइगेन मान 1 और 3 है।

अब दिए गए कथनों को हल करने पर -

(P) 𝑀8 + 𝑀12 विकर्णीय है।

अब 𝑀8 + 𝑀12 के आइगेन मान   

अतः 𝑀8 + 𝑀12 के दोनों आइगेन मान भिन्न है, इसलिए, 𝑀8 + 𝑀12  विकर्णीय है।

(𝑄) 𝑀7 + 𝑀9 विकर्णीय है।

अब 𝑀7 + 𝑀9 के आइगेन मान  

अतः 𝑀7 + 𝑀9 के दोनों आइगेन मान भिन्न है, इसलिए 𝑀7 + 𝑀9 विकर्णीय है।

अतः विकल्प (4) सत्य है।

अवधारणा:

एक द्विघात रूप अपभ्रष्ट होता है यदि कम से कम एक आइगेन मान 0 है।

व्याख्या:

B = और S = .

इसलिए द्विघात रूप Q(x, y, z) = x² + y² -2z² + 2xy है

अब, Q(a, b, c) = 0

⇒ a2 + b2 -2c2 + 2ab = 0....(i)

(1): xy-तल पर, z = 0 इसलिए c = 0

इसलिए (i) का तात्पर्य है

a 2 + b2 + 2ab = 0 ⇒ (a + b)² = 0 ⇒ a + b = 0

अर्थात, x + y = 0, जो एक रेखा है

इसलिए विकल्प (1) सत्य है

(2) xz-तल पर, y = 0 इसलिए b = 0

इसलिए (i) का तात्पर्य है

a2 - 2c2 = 0 ⇒ x2 - 2z2 = 0 जो दीर्घवृत्त का समीकरण नहीं है

इसलिए विकल्प (2) असत्य है

(3): (i) ⇒ a2 + b2 -2c2 + 2ab = 0

⇒ (a + b)² = 2c²

⇒ a + b = ± √2c

इसलिए S दो समतलों का संघ है।

विकल्प (3) सत्य है

(4): B =

B के आइगेन मान -2, 2, 0 हैं

इसलिए Q एक अपभ्रष्ट द्विघात रूप है।

विकल्प (4) सत्य है।

अवधारणा:

(i) Q ∶ R 2 → R को धनात्मक निश्चित कहा जाता है यदि Q(x, y) > 0 ∀ (x, y) ≠ (0, 0)

(ii) एक सममित आव्यूह धनात्मक निश्चित है ⇔ इसके सभी अभिलक्षणिक मान धनात्मक हैं।

स्पष्टीकरण:

(1) Q(1, -1) = -1 0, इसलिए कोई धनात्मक निश्चितता नहीं है।

(3) Q(x, -x) = x ² - 2x ² + x ² = 0 0, इसलिए कोई धनात्मक निश्चितता नहीं है।

(4) Q(x, -x) = x ² - x ² = 0 0, इसलिए कोई धनात्मक निश्चितता नहीं है।

इसलिए, विकल्प (1), (3), (4) गलत हैं और विकल्प (2) सत्य है।

Alternate Method

(1). Q(x, y) = xy के लिए मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व है,

तो det (A) = -¼

इसलिए, यह सभी अभिलक्षणिक मान धनात्मक नहीं हो सकते हैं।

∵ det (A) = λ ₁ λ 2 )

विकल्प (1) गलत है।

(2)  तब chA(x) = x 2 - 2x +

इसलिए, A के अभिलक्षणिक मान, x 2 - 2x + = 0 हैं।

⇒ A के सभी अभिलक्षणिक मान धनात्मक हैं।

⇒ द्विघात रूप धनात्मक निश्चित है.

विकल्प (2) सत्य है

(3) तो det (A) = 0

⇒ A का एक अभिलक्षणिक मान शून्य है और दूसरा 2 है ।

⇒ सभी अभिलक्षणिक मान धनात्मक नहीं हैं।

⇒   Q(x, y) धनात्मक निश्चित नहीं है।

विकल्प (3) गलत है।

(4) तो det (A) = -1 / 4

⇒सभी अभिलक्षणिक मान धनात्मक नहीं हो सकते हैं।

⇒ Q(x, y) धनात्मक निश्चित नहीं है।

विकल्प (4) गलत है।

संप्रत्यय:

द्विघाती रूप का शून्य:

गणितीय रूप से, एक द्विघाती रूप इस रूप का एक व्यंजक है:

जहाँ स्थिरांक हैं और चर हैं। द्विघाती रूप के शून्य चरों के वे मान हैं

जो बनाते हैं।

व्याख्या:

विकल्प 1:

यह वर्गों का योग है। चूँकि के किसी भी शून्येतर मान के लिए सभी पद धनात्मक हैं

यह द्विघाती रूप शून्य नहीं हो सकता जब तक कि न हो। इसलिए, इस रूप का (0, 0, 0) के अलावा कोई शून्य नहीं है।

विकल्प 2:

इसमें आड़ा पद शामिल है। हमें यह जांचना होगा कि क्या इस रूप के शून्य होने के कोई तुच्छ (nontrivial) हल हैं। हालाँकि, वर्ग पद प्रमुख हैं, और अकेला आड़ा पद

संपूर्ण व्यंजक को शून्य तक कम करने की संभावना नहीं है जब तक कि न हो। इस प्रकार, कोई तुच्छ शून्य मौजूद नहीं है।

विकल्प 3: :

इसमें दो आड़े पद और हैं। आड़े पदों के साथ भी, वर्ग पद

धनात्मक हैं, और व्यंजक को शून्य तक कम करने के लिए अभी भी की आवश्यकता होगी। इसलिए, कोई तुच्छ शून्य अपेक्षित नहीं है।

विकल्प 4:

यह अलग है क्योंकि इसमें धनात्मक और ऋणात्मक दोनों वर्ग पद हैं। विशेष रूप से,

का एक ऋणात्मक गुणांक है, जो धनात्मक और ऋणात्मक पदों के बीच निरसन की अनुमति दे सकता है।

शून्येतर मानों के कुछ संयोजन के लिए समीकरण को संतुष्ट करना संभव है।

उदाहरण के लिए, और लें। तब, नहीं है, लेकिन है। भी एक हल है।

इस प्रकार, विकल्प 4) सही है।

अवधारणा:

यदि〈u , v〉= 0 है तो दो सदिश u और v लंबवत हैं। 

व्याख्या:

द्विरेखीय रूप〈 , 〉 : V × V → ℝ निम्नानुसार दर्शाया जाता है:

(1): ax + b, x + c लंबवत हैं यदि

〈ax + b, x + c〉 = 0

⇒ = 0

⇒ = 0

⇒ c =

अब, यदि हम a = 2 और b = -1 लेते हैं, तो c = ∞

इसलिए, ऐसी कोई वास्तविक संख्या c नहीं है कि सदिश ax + b, x + c ∈ V एक दूसरे के लंबवत हों।

(1) गलत है। 

(2): x + b, x + c लंबवत हैं यदि

〈x + b, x + c〉 = 0

⇒ = 0

⇒ = 0

⇒ c =

b = -1/2 के लिए c नहीं है। 

इसलिए, कोई वास्तविक संख्या c नहीं है जैसे कि सदिश x + b, x + c ∈ V एक दूसरे के लंबवत हों।

(2) असत्य है। 

(4): b, x + c लंबवत हैं यदि

⟨b, x + c⟩ = 0

⇒  = 0 

⇒  = 0

चूँकि b ≠ 0

⇒ c = -1/2

इसलिए, हमें एक अद्वितीय c नहीं प्राप्त हो रहा है।

(4) असत्य है। 

(3): ax + b, x + c ∈ V एक दूसरे के लंबवत हैं, यदि

c =

इसलिए, सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं c के लिए, इस प्रकार की अनंत वास्तविक संख्याएँ a, b हैं कि सदिश ax + b, x + c ∈ V एक दूसरे के लंबवत हैं।

अतः (3) सही है। 

अवधारणा -

(1) यदि a, M का आइगेन मान है, तब Mn का आइगेन मान an है।

(2) यदि आव्यूह के सभी आइगेन मान भिन्न हैं तब आव्यूह विकर्णीय होगा।

स्पष्टीकरण -

दिया गया है - 

अब दिए गए आव्यूह के लिए अभिलाक्षणिक समीकरण है -

⇒ | M - λ I | = 0

⇒ 

⇒ -λ (4 - λ ) + 3 = 0 ⇒ λ² - 4λ + 3 = 0

अब इस समीकरण को हल करने पर, हमें आव्यूह का आइगेन मान प्राप्त होता है-

 ⇒ λ2 - 3λ - λ  + 3 = 0  ⇒ (λ -3)(λ -1) = 0  ⇒ λ = 1, 3 

इसलिए, M का आइगेन मान 1 और 3 है।

अब दिए गए कथनों को हल करने पर -

(P) 𝑀8 + 𝑀12 विकर्णीय है।

अब 𝑀8 + 𝑀12 के आइगेन मान   

अतः 𝑀8 + 𝑀12 के दोनों आइगेन मान भिन्न है, इसलिए, 𝑀8 + 𝑀12  विकर्णीय है।

(𝑄) 𝑀7 + 𝑀9 विकर्णीय है।

अब 𝑀7 + 𝑀9 के आइगेन मान  

अतः 𝑀7 + 𝑀9 के दोनों आइगेन मान भिन्न है, इसलिए 𝑀7 + 𝑀9 विकर्णीय है।

अतः विकल्प (4) सत्य है।

स्पष्टीकरण:

(-, -), ℝ2 एक ऐसा सममित द्विरेखीय रूप है जिसमें गैर-शून्य v, w ∈ ℝ2 उपस्थित है जहाँ (v, v) > 0 > (w, w) और (v, w) = 0 है।

माना f((x₁, x₂), (y1, y2)) = x1y1 - x2y2

साथ ही, माना v = (1, 0) और w = (0, 1)

तब f(v, v) = f((1, 0), (1, 0)) = 1 - 0 = 1 > 0

f(w, w) = f((0, 1), (0, 1)) = 0 - 1 = -1

f(v, w) = f((1, 0), (0, 1)) = 1 - 1 = 0

इसलिए, यहाँ A = 

A² =  =  ≠ 0

(1) असत्य है।

रैंक (A) = 2

(2), (3) असत्य हैं।

माना u = (1/2, 1/2) ≠ 0  तब f((1/2, 1/2), (1/2, 1/2)) = 1/4 - 1/4 = 0

इसमें u ∈ ℝ2, u ≠ 0 उपस्थित है जहाँ (u, u) = 0 है।

(4) सत्य है।

अवधारणा:

एक द्विघात रूप अपभ्रष्ट होता है यदि कम से कम एक आइगेन मान 0 है।

व्याख्या:

B = और S = .

इसलिए द्विघात रूप Q(x, y, z) = x² + y² -2z² + 2xy है

अब, Q(a, b, c) = 0

⇒ a2 + b2 -2c2 + 2ab = 0....(i)

(1): xy-तल पर, z = 0 इसलिए c = 0

इसलिए (i) का तात्पर्य है

a 2 + b2 + 2ab = 0 ⇒ (a + b)² = 0 ⇒ a + b = 0

अर्थात, x + y = 0, जो एक रेखा है

इसलिए विकल्प (1) सत्य है

(2) xz-तल पर, y = 0 इसलिए b = 0

इसलिए (i) का तात्पर्य है

a2 - 2c2 = 0 ⇒ x2 - 2z2 = 0 जो दीर्घवृत्त का समीकरण नहीं है

इसलिए विकल्प (2) असत्य है

(3): (i) ⇒ a2 + b2 -2c2 + 2ab = 0

⇒ (a + b)² = 2c²

⇒ a + b = ± √2c

इसलिए S दो समतलों का संघ है।

विकल्प (3) सत्य है

(4): B =

B के आइगेन मान -2, 2, 0 हैं

इसलिए Q एक अपभ्रष्ट द्विघात रूप है।

विकल्प (4) सत्य है।