Boltzmann Distribution MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Boltzmann Distribution - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

सही उत्तर विकल्प 1 है।

संकल्पना:-

बोल्ट्ज़मान वितरण और ऊष्मागतिक साम्यावस्था:

सांख्यिकीय ऊष्मागतिकी में, किसी निकाय में विभिन्न ऊर्जा स्तरों के बीच कणों का वितरण बोल्ट्ज़मान वितरण द्वारा नियंत्रित होता है। यह वितरण किसी दिए गए तापमान पर किसी विशेष ऊर्जा स्तर में कण को खोजने की प्रायिकता का वर्णन करता है। जब किसी निकाय में ऊष्मा दी जाती है जबकि कोई कार्य नहीं किया जाता है, तो निकाय की आंतरिक ऊर्जा बढ़ जाती है, जिससे ऊर्जा स्तरों के बीच कणों के वितरण में परिवर्तन होता है।

व्याख्या:-

अवस्था I, मूल अवस्था में 15 कणों की व्यवस्था को इंगित करती है। गर्म करने पर कण उत्तेजित होने लगते हैं लेकिन कोई कार्य नहीं किया जाता है जो केवल अवस्था II में संभव है क्योंकि निकाय की कुल ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

निष्कर्ष:-

15 कणों को अवस्था I में दिखाए गए अनुसार 4 स्तरों में वितरित किया गया है। निकाय को ऊष्मा दी जाती है और कोई कार्य नहीं किया जाता है। अंतिम अवस्था अवस्था II है।

उत्तर है5.5 γh / kT

संप्रत्यय:

न्यूनतम ऊर्जा स्तर में कुल जनसंख्या N=1/q e^yhBo/2KbT​

उत्तेजित अवस्था में कुल जनसंख्या N^'=1/q e^-yhB'o/2KbT

व्याख्या:

दोनों ही मामलों में विभाजन फलन q=1

N^'/N का अनुपात = e^{-yh(B_o-B'_o)/2k_bT}

N'/N= e^yh/2k_bT

दोनों ओर ln लेने पर

ln(N'/N)= 5.5 yh/2K_bT

निष्कर्ष:

उत्तेजित अवस्था और निम्नतम ऊर्जा अवस्था के अनुपात को लेकर, हम पाएंगे कि अनुपात 5.5 γh / kT है।

उत्तर है H2

संप्रत्यय:-

घूर्णी विभाजन फलन (q_rot​) के लिए गणितीय गणना।

qrot​ का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

q_rot​=8π²IkT / h2​

जड़त्व आघूर्ण (" id="MathJax-Element-413-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> I) द्रव्यमानों (m1​ और m2​) और बंध लंबाई (" id="MathJax-Element-414-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> r) से सूत्र द्वारा संबंधित है:" id="MathJax-Element-415-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> I=μr²" id="MathJax-Element-416-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">

• μ अपचयित द्रव्यमान है, जो (m1​⋅m2​​ / m1​+m2​) द्वारा दिया गया है

व्याख्या:-

qrot​ \(\propto \frac{1}{B} \)

\(B \propto \frac{1}{I}\)

\(q_{rot} \propto I\)

चूँकि H₂ का द्रव्यमान सबसे छोटा है
इसलिए, H₂ के लिए q_rot का मान सबसे छोटा है

निष्कर्ष:-

इसलिए, अणु के लिए घूर्णी विभाजन फलन का मान सबसे छोटा होने की उम्मीद है H₂

संप्रत्यय:

→ दो-स्तरीय निकाय के लिए, जिसका उत्तेजित अवस्था द्विगुणित है, विभाजन फलन दिया गया है:

\(\frac{n_{i}}{N}=\frac{g_{i}e^{-E_{a}/KT}}{\Sigma g_{i}e^{-E_{a}/KT}}\)

\(\frac{n_{i}}{N}=\frac{g_{i}e^{-E_{a}/KT}}{g_{0}e^{-E_{a}/KT}+g_{1}e^{-E_{a}/KT}}\)

जहाँ k बोल्ट्ज़मान नियतांक है और T तापमान है।

उत्तेजित अवस्था में अणुओं का अंश दिया गया है:

\(f_{excited}=\frac{(2e^{(-\varepsilon /KT)})}{(1+2e)e^{(-\varepsilon /KT)}}\)

व्याख्या:

→ T → ∞ पर, हमारे पास \(\frac{1}{T}→ o\) है, जिसका अर्थ है कि हर, अंश से बहुत बड़ा हो जाता है। इसलिए,

\(e^{\frac{-1}{T}}= e^{0} = 1\), जिसके कारण घातीय पद 0 हो जाएगा।

\(\frac{n_{i}}{N}=\frac{2e^{-E/KT}}{1e^{0}+2e^{-Z/KT}}\)

जब T → ∞

\(\frac{n_{i}}{N}=\frac{2}{1+2}=\frac{2}{3}\)

→ g_{उत्तेजित} = 2. मूल अवस्था अनिर्गुणित है, इसलिए g_कुल = 2 (उत्तेजित अवस्था की अनिर्गुणता) + 1 (मूल अवस्था की अनिर्गुणता) = 3.

निष्कर्ष:
इसलिए, जैसे ही T → ∞, उत्तेजित अवस्था में अणुओं का अंश 2/3 के करीब पहुँच जाता है।

अवधारणा:-

• एंट्रॉपी (S) एक अवस्था फलन है और एक प्रणाली का व्यापक गुण है क्योंकि तापमान में दिए गए परिवर्तन के लिए dq के परिमाण द्रव्यमान पर निर्भर करती है।  
• अब, \(\Omega\) वाली प्रणाली के लिए अभिविन्यास की संख्या दी गई है ,

S = kb ln \(\Omega\)

व्याख्या:-

• एक पासे के लिए जिसके सभी छह फलक समान प्रायिकता वाले हों , संभावित अभिविन्यासों की संख्या होगी,

\(\Omega\) = 6

• इस प्रकार, एक पासे से युग्म एंट्रॉपी जिसके सभी छह फलक शीर्ष पर होने की समान संभावना रखते हैं

​S = kb ln 6

निष्कर्ष:-

• अतः विकल्प 4 सही है।

संप्रत्यय:

→ दो-स्तरीय निकाय के लिए, जिसका उत्तेजित अवस्था द्विगुणित है, विभाजन फलन दिया गया है:

\(\frac{n_{i}}{N}=\frac{g_{i}e^{-E_{a}/KT}}{\Sigma g_{i}e^{-E_{a}/KT}}\)

\(\frac{n_{i}}{N}=\frac{g_{i}e^{-E_{a}/KT}}{g_{0}e^{-E_{a}/KT}+g_{1}e^{-E_{a}/KT}}\)

जहाँ k बोल्ट्ज़मान नियतांक है और T तापमान है।

उत्तेजित अवस्था में अणुओं का अंश दिया गया है:

\(f_{excited}=\frac{(2e^{(-\varepsilon /KT)})}{(1+2e)e^{(-\varepsilon /KT)}}\)

व्याख्या:

→ T → ∞ पर, हमारे पास \(\frac{1}{T}→ o\) है, जिसका अर्थ है कि हर, अंश से बहुत बड़ा हो जाता है। इसलिए,

\(e^{\frac{-1}{T}}= e^{0} = 1\), जिसके कारण घातीय पद 0 हो जाएगा।

\(\frac{n_{i}}{N}=\frac{2e^{-E/KT}}{1e^{0}+2e^{-Z/KT}}\)

जब T → ∞

\(\frac{n_{i}}{N}=\frac{2}{1+2}=\frac{2}{3}\)

→ g_{उत्तेजित} = 2. मूल अवस्था अनिर्गुणित है, इसलिए g_कुल = 2 (उत्तेजित अवस्था की अनिर्गुणता) + 1 (मूल अवस्था की अनिर्गुणता) = 3.

निष्कर्ष:
इसलिए, जैसे ही T → ∞, उत्तेजित अवस्था में अणुओं का अंश 2/3 के करीब पहुँच जाता है।

संप्रत्यय:

→ मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान बंटन समान लेकिन अलग-अलग कणों के बीच ऊर्जा की मात्रा के बंटन से संबंधित है।

→ यह विभिन्न ऊर्जाओं वाले सिस्टम में अवस्थाओं के बंटन की प्रायिकता को दर्शाता है। एक विशेष स्थिति आणविक वेगों का मैक्सवेल वितरण नियम है।

व्याख्या:

विभाजन फलन Q के पदों में एक सिस्टम की आंतरिक ऊर्जा U के लिए व्यंजक, हम विभाजन फलन की परिभाषा से शुरू करते हैं:

Q = Σ exp(-E_i/k_B T)

यहाँ, E_i i_th ऊर्जा स्तर की ऊर्जा है, k_B बोल्ट्ज़मान नियतांक है, और T तापमान है।

आंतरिक ऊर्जा U इस प्रकार दी गई है:

U = Σ E_i exp(-E_i/k_B T) / Σ exp(-E_i/k_B T)

Q = Σ exp(-Ei/k_B T)

यहाँ, E_i i_th ऊर्जा स्तर की ऊर्जा है, k_B बोल्ट्ज़मान नियतांक है, और T तापमान है।

आंतरिक ऊर्जा U इस प्रकार दी गई है:

U = Σ E_i exp(-E_i/k_B T) / Σ exp(-E_i/k_B T)

Nk_B T² (∂ ln Q/∂ T) _V = U

इसलिए, ऊर्जा के बोल्ट्ज़मान वितरण का पालन करने वाले सिस्टम की आंतरिक ऊर्जा U के लिए अंतिम व्यंजक है:

U = Nk_B T² (∂ ln Q/∂ T) _V

हम तापमान T के संबंध में विभाजन फलन ln Q के प्राकृतिक लघुगणक का अवकलज ले सकते हैं, जबकि कणों की संख्या N स्थिर रखते हैं:

(∂ ln Q/∂ T) N = (∂/∂ T) ln Σ exp(-E_i/k_B T) = - Σ E_i exp(-E_i/k_B T) / (k_B T² Σ exp(-E_i/k_B T))

फिर हम इस व्यंजक को k_B T² N से गुणा करके प्राप्त कर सकते हैं:

U = k_B T² N (∂ ln Q/∂ T) _N

इसलिए, ऊर्जा के बोल्ट्ज़मान वितरण का पालन करने वाले सिस्टम की आंतरिक ऊर्जा U के लिए अंतिम व्यंजक है:

U = k_B T² (∂ ln Q/∂ T) _N

यह व्यंजक सिस्टम की आंतरिक ऊर्जा को विभाजन फलन Q और इसके तापमान व्युत्पन्न से संबंधित करता है, जो आणविक ऊर्जा स्तरों के बीच ऊर्जा के वितरण के बारे में जानकारी प्रदान करते हैं।

निष्कर्ष:
U = kB T2 (∂ ln Q/∂ T) N सही विकल्प है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

संकल्पना:-

बोल्ट्ज़मान वितरण और ऊष्मागतिक साम्यावस्था:

सांख्यिकीय ऊष्मागतिकी में, किसी निकाय में विभिन्न ऊर्जा स्तरों के बीच कणों का वितरण बोल्ट्ज़मान वितरण द्वारा नियंत्रित होता है। यह वितरण किसी दिए गए तापमान पर किसी विशेष ऊर्जा स्तर में कण को खोजने की प्रायिकता का वर्णन करता है। जब किसी निकाय में ऊष्मा दी जाती है जबकि कोई कार्य नहीं किया जाता है, तो निकाय की आंतरिक ऊर्जा बढ़ जाती है, जिससे ऊर्जा स्तरों के बीच कणों के वितरण में परिवर्तन होता है।

व्याख्या:-

अवस्था I, मूल अवस्था में 15 कणों की व्यवस्था को इंगित करती है। गर्म करने पर कण उत्तेजित होने लगते हैं लेकिन कोई कार्य नहीं किया जाता है जो केवल अवस्था II में संभव है क्योंकि निकाय की कुल ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

निष्कर्ष:-

15 कणों को अवस्था I में दिखाए गए अनुसार 4 स्तरों में वितरित किया गया है। निकाय को ऊष्मा दी जाती है और कोई कार्य नहीं किया जाता है। अंतिम अवस्था अवस्था II है।

उत्तर है5.5 γh / kT

संप्रत्यय:

न्यूनतम ऊर्जा स्तर में कुल जनसंख्या N=1/q e^yhBo/2KbT​

उत्तेजित अवस्था में कुल जनसंख्या N^'=1/q e^-yhB'o/2KbT

व्याख्या:

दोनों ही मामलों में विभाजन फलन q=1

N^'/N का अनुपात = e^{-yh(B_o-B'_o)/2k_bT}

N'/N= e^yh/2k_bT

दोनों ओर ln लेने पर

ln(N'/N)= 5.5 yh/2K_bT

निष्कर्ष:

उत्तेजित अवस्था और निम्नतम ऊर्जा अवस्था के अनुपात को लेकर, हम पाएंगे कि अनुपात 5.5 γh / kT है।

उत्तर है H2

संप्रत्यय:-

घूर्णी विभाजन फलन (q_rot​) के लिए गणितीय गणना।

qrot​ का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

q_rot​=8π²IkT / h2​

जड़त्व आघूर्ण (" id="MathJax-Element-413-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> I) द्रव्यमानों (m1​ और m2​) और बंध लंबाई (" id="MathJax-Element-414-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> r) से सूत्र द्वारा संबंधित है:" id="MathJax-Element-415-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> I=μr²" id="MathJax-Element-416-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">

• μ अपचयित द्रव्यमान है, जो (m1​⋅m2​​ / m1​+m2​) द्वारा दिया गया है

व्याख्या:-

qrot​ \(\propto \frac{1}{B} \)

\(B \propto \frac{1}{I}\)

\(q_{rot} \propto I\)

चूँकि H₂ का द्रव्यमान सबसे छोटा है
इसलिए, H₂ के लिए q_rot का मान सबसे छोटा है

निष्कर्ष:-

इसलिए, अणु के लिए घूर्णी विभाजन फलन का मान सबसे छोटा होने की उम्मीद है H₂

संप्रत्यय:

→ दो-स्तरीय निकाय के लिए, जिसका उत्तेजित अवस्था द्विगुणित है, विभाजन फलन दिया गया है:

\(\frac{n_{i}}{N}=\frac{g_{i}e^{-E_{a}/KT}}{\Sigma g_{i}e^{-E_{a}/KT}}\)

\(\frac{n_{i}}{N}=\frac{g_{i}e^{-E_{a}/KT}}{g_{0}e^{-E_{a}/KT}+g_{1}e^{-E_{a}/KT}}\)

जहाँ k बोल्ट्ज़मान नियतांक है और T तापमान है।

उत्तेजित अवस्था में अणुओं का अंश दिया गया है:

\(f_{excited}=\frac{(2e^{(-\varepsilon /KT)})}{(1+2e)e^{(-\varepsilon /KT)}}\)

व्याख्या:

→ T → ∞ पर, हमारे पास \(\frac{1}{T}→ o\) है, जिसका अर्थ है कि हर, अंश से बहुत बड़ा हो जाता है। इसलिए,

\(e^{\frac{-1}{T}}= e^{0} = 1\), जिसके कारण घातीय पद 0 हो जाएगा।

\(\frac{n_{i}}{N}=\frac{2e^{-E/KT}}{1e^{0}+2e^{-Z/KT}}\)

जब T → ∞

\(\frac{n_{i}}{N}=\frac{2}{1+2}=\frac{2}{3}\)

→ g_{उत्तेजित} = 2. मूल अवस्था अनिर्गुणित है, इसलिए g_कुल = 2 (उत्तेजित अवस्था की अनिर्गुणता) + 1 (मूल अवस्था की अनिर्गुणता) = 3.

निष्कर्ष:
इसलिए, जैसे ही T → ∞, उत्तेजित अवस्था में अणुओं का अंश 2/3 के करीब पहुँच जाता है।

अवधारणा:-

• एंट्रॉपी (S) एक अवस्था फलन है और एक प्रणाली का व्यापक गुण है क्योंकि तापमान में दिए गए परिवर्तन के लिए dq के परिमाण द्रव्यमान पर निर्भर करती है।  
• अब, \(\Omega\) वाली प्रणाली के लिए अभिविन्यास की संख्या दी गई है ,

S = kb ln \(\Omega\)

व्याख्या:-

• एक पासे के लिए जिसके सभी छह फलक समान प्रायिकता वाले हों , संभावित अभिविन्यासों की संख्या होगी,

\(\Omega\) = 6

• इस प्रकार, एक पासे से युग्म एंट्रॉपी जिसके सभी छह फलक शीर्ष पर होने की समान संभावना रखते हैं

​S = kb ln 6

निष्कर्ष:-

• अतः विकल्प 4 सही है।