Complex Number & Representation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Complex Number & Representation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jun 30, 2025
Latest Complex Number & Representation MCQ Objective Questions
Complex Number & Representation Question 1:
एक सम्मिश्र संख्या a के लिए जिसके लिए 0 < |a| < 1 है, निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Number & Representation Question 1 Detailed Solution
संप्रत्यय:
दिया गया है, \(0 < |a| < 1 \) और \(z\) एक सम्मिश्र संख्या है।
हमें यह पता लगाना है कि कौन सा कथन सत्य है।
विकल्प 1: इसका तात्पर्य है कि एक सम्मिश्र संख्या \(z\) के लिए, यदि \(|z| \) 1 से कम है, तो \(1 - \bar{a}z\) का मापांक \(|z-a|\) से कम है। सत्यापित करने के लिए
यदि यह सत्य है, तो हम z और a के लिए विशिष्ट उदाहरणों का प्रयास कर सकते हैं इस शर्त के तहत कि |z| < 1 और \(0 < |a| < 1 \).
मान लीजिए \(z = \frac{1}{2}\) और \(a = \frac{1}{3} \) सबसे पहले, मापांकों की जाँच करें:
\(|z| = \frac{1}{2} < 1 , |a| = \frac{1}{3} < 1 .\)
यह शर्त \(0 < |a| < 1 \) और |z| < 1 को संतुष्ट करता है।
\(|1 - \bar{a}z| = |1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}| = |1 - \frac{1}{6}| = \frac{5}{6} .\)
\(|z - a| = \left|\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right| = \left|\frac{3}{6} - \frac{2}{6}\right| = \frac{1}{6} .\)
\(|1 - \bar{a}z| = \frac{5}{6} \quad \text{और} \quad |z - a| = \frac{1}{6}.\)
स्पष्ट रूप से, \(|1 - \bar{a}z| > |z - a|\) , इसलिए यह असमानता इस उदाहरण के लिए मान्य नहीं है।
कथन गलत है क्योंकि हमें एक प्रति उदाहरण मिला जहाँ |\(1 - \bar{a}z\)| |z - a| से कम नहीं है।
विकल्प 2: इसका तात्पर्य है कि यदि \( z - a\) का मापांक 1 - \(\bar{a}z \) के बराबर है, तो \(|z| \) = 1 है। यह सममितीय प्रतिबंध सम्मिश्र समतल में दूरियों से संबंधित प्रतीत होता है। इकाई वृत्त पर बिंदुओं के लिए (अर्थात, |z| = 1),
यह सत्य है क्योंकि z का मापांक इस समीकरण को संतुष्ट करेगा। इसलिए, यह कथन सत्य है।
विकल्प 3: इसका तात्पर्य है कि इकाई वृत्त पर एक बिंदु के लिए (अर्थात, |z| = 1), z - a का मापांक |1 - \(\bar{a}z \) | से कम है।
इसे सत्यापित करने के लिए, हम z और a के लिए विशिष्ट उदाहरणों का प्रयास करेंगे इस शर्त के तहत कि |z| = 1 और \(0 < |a| < 1 \)।
मान लीजिए z = 1 (चूँकि |z| = 1) और \(a = \frac{1}{2} \)
\(|z - a| = |1 - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}.\)
चूँकि z = 1 और \(\bar{a} = \frac{1}{2}\) (क्योंकि a वास्तविक है), \(a = \frac{1}{2} .\)
\(|1 - \bar{a}z| = |1 - \frac{1}{2} \times 1| = |1 - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}.\)
\(|z - a| = \frac{1}{2} \quad \text{और} \quad |1 - \bar{a}z| = \frac{1}{2}.\)
इसलिए, असमिका \(|z - a| < |1 - \bar{a}z| \) इस उदाहरण में मान्य नहीं है क्योंकि दोनों पक्ष बराबर हैं।
इसलिए, कथन सत्य नहीं है।
विकल्प 4: यह सुझाव देता है कि यदि 1 - \(\bar{a}z \) का मापांक \(z-a\) से कम है, तो z इकाई वृत्त के अंदर है।
\(\text{If } |1 - \bar{a}z| < |z - a|, \text{ then } |z| < 1.\)
माना कि \( z = \frac{1}{2}\) और \(a = \frac{1}{3} \) है।
चूँकि \(a = \frac{1}{3} \) है, हमारे पास \(\bar{a} = \frac{1}{3} \) है (क्योंकि \(a\) वास्तविक है)।
\(|1 - \bar{a}z| = |1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}| = |1 - \frac{1}{6}| = \frac{5}{6}.\)
\(|z - a| = \left|\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right| = \left|\frac{3}{6} - \frac{2}{6}\right| = \frac{1}{6}.\)
इस स्थिति में, \(|1 - \bar{a}z| = \frac{5}{6}\) और \(|z - a| = \left|\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right| = \left|\frac{3}{6} - \frac{2}{6}\right| = \frac{1}{6}\)
स्पष्ट रूप से, \(|1 - \bar{a}z| > |z - a| \) है, इसलिए शर्त \(|1 - \bar{a}z| < |z - a| \) इस उदाहरण के लिए मान्य नहीं है,
और इसलिए यह कथन को सत्यापित नहीं करता है।
कथन मान्य नहीं प्रतीत होता है।
विकल्प 2) सही है।
Complex Number & Representation Question 2:
z ∈ ℂ के वास्तविक तथा अधिकल्पित भागों को क्रमश: Re (z) तथा Im(z) मान लें। डोमेन Ω = {z ∈ ℂ : Re(z) > |Im(z)|} लें तथा fn(z) = log zn, मानें जहां n ∈ [1, 2, 3, 4} और जहां log : ℂ \ (-∞, 0] → ℂ लघुगणक (logarithm) की मुख्य शाखा की परिभाषा है। तब निम्न में से कौन से सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Number & Representation Question 2 Detailed Solution
Complex Number & Representation Question 3:
यदि किसी सम्मिश्र संख्या z = x + iy, x, y ∈ ℝ के लिए \(\left|e^{e^z}\right|=1\) हो, तो निम्न में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Number & Representation Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
\(\left|e^{e^z}\right|=1\) जहाँ, z = x + iy
⇒ \(\left|e^{e^{x+iy}}\right|=1\)
⇒ \(\left|e^{e^x\cos y+ie^x\sin y}\right|=1\)
⇒ \(e^{e^x\cos y+ie^x\sin y}=e^{2n\pi i}\)
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,
excos y = 0 ⇒ cos y = 0 ⇒ y = (2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\) (कुछ पूर्णांक n के लिए)
अतः विकल्प (2) सही है।
Complex Number & Representation Question 4:
यदि मैप T ∶ C → 𝕄2(ℝ) को निम्न से दिखाएं
T(z) = T(x + iy) = \(\begin{bmatrix} \rm x&y\\\ \rm -y &x \end{bmatrix}\)
तब निम्न में से कौन-सा कथन असत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Number & Representation Question 4 Detailed Solution
Complex Number & Representation Question 5:
धनात्मक वास्तविक संख्या c नियत करें।
मानें सभी z ∈ \(\mathbb{C}\) बिंदुओं का बिन्दुपथ इस प्रकार है कि
\(\left|\frac{z-i}{z+i}\right|=c\)
निम्न में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Number & Representation Question 5 Detailed Solution
Top Complex Number & Representation MCQ Objective Questions
एक सम्मिश्र संख्या a के लिए जिसके लिए 0 < |a| < 1 है, निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Number & Representation Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
दिया गया है, \(0 < |a| < 1 \) और \(z\) एक सम्मिश्र संख्या है।
हमें यह पता लगाना है कि कौन सा कथन सत्य है।
विकल्प 1: इसका तात्पर्य है कि एक सम्मिश्र संख्या \(z\) के लिए, यदि \(|z| \) 1 से कम है, तो \(1 - \bar{a}z\) का मापांक \(|z-a|\) से कम है। सत्यापित करने के लिए
यदि यह सत्य है, तो हम z और a के लिए विशिष्ट उदाहरणों का प्रयास कर सकते हैं इस शर्त के तहत कि |z| < 1 और \(0 < |a| < 1 \).
मान लीजिए \(z = \frac{1}{2}\) और \(a = \frac{1}{3} \) सबसे पहले, मापांकों की जाँच करें:
\(|z| = \frac{1}{2} < 1 , |a| = \frac{1}{3} < 1 .\)
यह शर्त \(0 < |a| < 1 \) और |z| < 1 को संतुष्ट करता है।
\(|1 - \bar{a}z| = |1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}| = |1 - \frac{1}{6}| = \frac{5}{6} .\)
\(|z - a| = \left|\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right| = \left|\frac{3}{6} - \frac{2}{6}\right| = \frac{1}{6} .\)
\(|1 - \bar{a}z| = \frac{5}{6} \quad \text{और} \quad |z - a| = \frac{1}{6}.\)
स्पष्ट रूप से, \(|1 - \bar{a}z| > |z - a|\) , इसलिए यह असमानता इस उदाहरण के लिए मान्य नहीं है।
कथन गलत है क्योंकि हमें एक प्रति उदाहरण मिला जहाँ |\(1 - \bar{a}z\)| |z - a| से कम नहीं है।
विकल्प 2: इसका तात्पर्य है कि यदि \( z - a\) का मापांक 1 - \(\bar{a}z \) के बराबर है, तो \(|z| \) = 1 है। यह सममितीय प्रतिबंध सम्मिश्र समतल में दूरियों से संबंधित प्रतीत होता है। इकाई वृत्त पर बिंदुओं के लिए (अर्थात, |z| = 1),
यह सत्य है क्योंकि z का मापांक इस समीकरण को संतुष्ट करेगा। इसलिए, यह कथन सत्य है।
विकल्प 3: इसका तात्पर्य है कि इकाई वृत्त पर एक बिंदु के लिए (अर्थात, |z| = 1), z - a का मापांक |1 - \(\bar{a}z \) | से कम है।
इसे सत्यापित करने के लिए, हम z और a के लिए विशिष्ट उदाहरणों का प्रयास करेंगे इस शर्त के तहत कि |z| = 1 और \(0 < |a| < 1 \)।
मान लीजिए z = 1 (चूँकि |z| = 1) और \(a = \frac{1}{2} \)
\(|z - a| = |1 - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}.\)
चूँकि z = 1 और \(\bar{a} = \frac{1}{2}\) (क्योंकि a वास्तविक है), \(a = \frac{1}{2} .\)
\(|1 - \bar{a}z| = |1 - \frac{1}{2} \times 1| = |1 - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}.\)
\(|z - a| = \frac{1}{2} \quad \text{और} \quad |1 - \bar{a}z| = \frac{1}{2}.\)
इसलिए, असमिका \(|z - a| < |1 - \bar{a}z| \) इस उदाहरण में मान्य नहीं है क्योंकि दोनों पक्ष बराबर हैं।
इसलिए, कथन सत्य नहीं है।
विकल्प 4: यह सुझाव देता है कि यदि 1 - \(\bar{a}z \) का मापांक \(z-a\) से कम है, तो z इकाई वृत्त के अंदर है।
\(\text{If } |1 - \bar{a}z| < |z - a|, \text{ then } |z| < 1.\)
माना कि \( z = \frac{1}{2}\) और \(a = \frac{1}{3} \) है।
चूँकि \(a = \frac{1}{3} \) है, हमारे पास \(\bar{a} = \frac{1}{3} \) है (क्योंकि \(a\) वास्तविक है)।
\(|1 - \bar{a}z| = |1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}| = |1 - \frac{1}{6}| = \frac{5}{6}.\)
\(|z - a| = \left|\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right| = \left|\frac{3}{6} - \frac{2}{6}\right| = \frac{1}{6}.\)
इस स्थिति में, \(|1 - \bar{a}z| = \frac{5}{6}\) और \(|z - a| = \left|\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right| = \left|\frac{3}{6} - \frac{2}{6}\right| = \frac{1}{6}\)
स्पष्ट रूप से, \(|1 - \bar{a}z| > |z - a| \) है, इसलिए शर्त \(|1 - \bar{a}z| < |z - a| \) इस उदाहरण के लिए मान्य नहीं है,
और इसलिए यह कथन को सत्यापित नहीं करता है।
कथन मान्य नहीं प्रतीत होता है।
विकल्प 2) सही है।
Complex Number & Representation Question 7:
यदि किसी सम्मिश्र संख्या z = x + iy, x, y ∈ ℝ के लिए \(\left|e^{e^z}\right|=1\) हो, तो निम्न में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Number & Representation Question 7 Detailed Solution
व्याख्या:
\(\left|e^{e^z}\right|=1\) जहाँ, z = x + iy
⇒ \(\left|e^{e^{x+iy}}\right|=1\)
⇒ \(\left|e^{e^x\cos y+ie^x\sin y}\right|=1\)
⇒ \(e^{e^x\cos y+ie^x\sin y}=e^{2n\pi i}\)
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,
excos y = 0 ⇒ cos y = 0 ⇒ y = (2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\) (कुछ पूर्णांक n के लिए)
अतः विकल्प (2) सही है।
Complex Number & Representation Question 8:
यदि मैप T ∶ C → 𝕄2(ℝ) को निम्न से दिखाएं
T(z) = T(x + iy) = \(\begin{bmatrix} \rm x&y\\\ \rm -y &x \end{bmatrix}\)
तब निम्न में से कौन-सा कथन असत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Number & Representation Question 8 Detailed Solution
Complex Number & Representation Question 9:
एक सम्मिश्र संख्या a के लिए जिसके लिए 0 < |a| < 1 है, निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Number & Representation Question 9 Detailed Solution
संप्रत्यय:
दिया गया है, \(0 < |a| < 1 \) और \(z\) एक सम्मिश्र संख्या है।
हमें यह पता लगाना है कि कौन सा कथन सत्य है।
विकल्प 1: इसका तात्पर्य है कि एक सम्मिश्र संख्या \(z\) के लिए, यदि \(|z| \) 1 से कम है, तो \(1 - \bar{a}z\) का मापांक \(|z-a|\) से कम है। सत्यापित करने के लिए
यदि यह सत्य है, तो हम z और a के लिए विशिष्ट उदाहरणों का प्रयास कर सकते हैं इस शर्त के तहत कि |z| < 1 और \(0 < |a| < 1 \).
मान लीजिए \(z = \frac{1}{2}\) और \(a = \frac{1}{3} \) सबसे पहले, मापांकों की जाँच करें:
\(|z| = \frac{1}{2} < 1 , |a| = \frac{1}{3} < 1 .\)
यह शर्त \(0 < |a| < 1 \) और |z| < 1 को संतुष्ट करता है।
\(|1 - \bar{a}z| = |1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}| = |1 - \frac{1}{6}| = \frac{5}{6} .\)
\(|z - a| = \left|\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right| = \left|\frac{3}{6} - \frac{2}{6}\right| = \frac{1}{6} .\)
\(|1 - \bar{a}z| = \frac{5}{6} \quad \text{और} \quad |z - a| = \frac{1}{6}.\)
स्पष्ट रूप से, \(|1 - \bar{a}z| > |z - a|\) , इसलिए यह असमानता इस उदाहरण के लिए मान्य नहीं है।
कथन गलत है क्योंकि हमें एक प्रति उदाहरण मिला जहाँ |\(1 - \bar{a}z\)| |z - a| से कम नहीं है।
विकल्प 2: इसका तात्पर्य है कि यदि \( z - a\) का मापांक 1 - \(\bar{a}z \) के बराबर है, तो \(|z| \) = 1 है। यह सममितीय प्रतिबंध सम्मिश्र समतल में दूरियों से संबंधित प्रतीत होता है। इकाई वृत्त पर बिंदुओं के लिए (अर्थात, |z| = 1),
यह सत्य है क्योंकि z का मापांक इस समीकरण को संतुष्ट करेगा। इसलिए, यह कथन सत्य है।
विकल्प 3: इसका तात्पर्य है कि इकाई वृत्त पर एक बिंदु के लिए (अर्थात, |z| = 1), z - a का मापांक |1 - \(\bar{a}z \) | से कम है।
इसे सत्यापित करने के लिए, हम z और a के लिए विशिष्ट उदाहरणों का प्रयास करेंगे इस शर्त के तहत कि |z| = 1 और \(0 < |a| < 1 \)।
मान लीजिए z = 1 (चूँकि |z| = 1) और \(a = \frac{1}{2} \)
\(|z - a| = |1 - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}.\)
चूँकि z = 1 और \(\bar{a} = \frac{1}{2}\) (क्योंकि a वास्तविक है), \(a = \frac{1}{2} .\)
\(|1 - \bar{a}z| = |1 - \frac{1}{2} \times 1| = |1 - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}.\)
\(|z - a| = \frac{1}{2} \quad \text{और} \quad |1 - \bar{a}z| = \frac{1}{2}.\)
इसलिए, असमिका \(|z - a| < |1 - \bar{a}z| \) इस उदाहरण में मान्य नहीं है क्योंकि दोनों पक्ष बराबर हैं।
इसलिए, कथन सत्य नहीं है।
विकल्प 4: यह सुझाव देता है कि यदि 1 - \(\bar{a}z \) का मापांक \(z-a\) से कम है, तो z इकाई वृत्त के अंदर है।
\(\text{If } |1 - \bar{a}z| < |z - a|, \text{ then } |z| < 1.\)
माना कि \( z = \frac{1}{2}\) और \(a = \frac{1}{3} \) है।
चूँकि \(a = \frac{1}{3} \) है, हमारे पास \(\bar{a} = \frac{1}{3} \) है (क्योंकि \(a\) वास्तविक है)।
\(|1 - \bar{a}z| = |1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}| = |1 - \frac{1}{6}| = \frac{5}{6}.\)
\(|z - a| = \left|\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right| = \left|\frac{3}{6} - \frac{2}{6}\right| = \frac{1}{6}.\)
इस स्थिति में, \(|1 - \bar{a}z| = \frac{5}{6}\) और \(|z - a| = \left|\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right| = \left|\frac{3}{6} - \frac{2}{6}\right| = \frac{1}{6}\)
स्पष्ट रूप से, \(|1 - \bar{a}z| > |z - a| \) है, इसलिए शर्त \(|1 - \bar{a}z| < |z - a| \) इस उदाहरण के लिए मान्य नहीं है,
और इसलिए यह कथन को सत्यापित नहीं करता है।
कथन मान्य नहीं प्रतीत होता है।
विकल्प 2) सही है।
Complex Number & Representation Question 10:
धनात्मक वास्तविक संख्या c नियत करें।
मानें सभी z ∈ \(\mathbb{C}\) बिंदुओं का बिन्दुपथ इस प्रकार है कि
\(\left|\frac{z-i}{z+i}\right|=c\)
निम्न में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Number & Representation Question 10 Detailed Solution
Complex Number & Representation Question 11:
समुच्चय S ∶ = {exp(2πiθ) ∶ θ एक परिमेय संख्या है प्रत्येक z ∈ S हेतु समुच्चय {zn! ∶ n एक धनात्मक पूर्णांक है} हैं:-
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Number & Representation Question 11 Detailed Solution
Complex Number & Representation Question 12:
z ∈ ℂ के वास्तविक तथा अधिकल्पित भागों को क्रमश: Re (z) तथा Im(z) मान लें। डोमेन Ω = {z ∈ ℂ : Re(z) > |Im(z)|} लें तथा fn(z) = log zn, मानें जहां n ∈ [1, 2, 3, 4} और जहां log : ℂ \ (-∞, 0] → ℂ लघुगणक (logarithm) की मुख्य शाखा की परिभाषा है। तब निम्न में से कौन से सही हैं?