Components of Vectors MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Components of Vectors - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है, \(\vec a=\vec b\times \vec c\)

⇒ \(\vec a\), \(\vec c\) पर लंबवत है

⇒ \(\vec{\mathrm{a}} \cdot \vec{\mathrm{c}}\) = 0

∴ \(|\overrightarrow{\mathrm{c}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{c}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{a}}|^2-2 \overline{\mathrm{a}} \cdot \overline{\mathrm{c}}\)

= \(|\overrightarrow{\mathrm{c}}|^2+4-0\)

अब, \(\overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}\)

⇒ \(|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=|\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}|\)

⇒ \(2=3|\overrightarrow{\mathbf{c}}| \sin \alpha\)

⇒ \(|\overrightarrow{\mathrm{c}}|=\frac{2}{3} \operatorname{cosec} \alpha \quad \alpha\in\left[0,\frac{\pi}{3}\right]\)

⇒ \(|\overrightarrow{\mathrm{c}}|_{\min }=\frac{2}{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} \quad \operatorname{cosec} \alpha \in\left[\frac{2}{\sqrt{3}}, \infty\right)\)

⇒ \(27|\overrightarrow{\mathrm{c}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}|_{\min }^2=27\left(\frac{16}{27}+4\right)=124\)

∴ \(\rm 27|\vec c-\vec a|^2\) का न्यूनतम मान 124 है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

संकल्पना:

सदिश का परिमाण सदिश की लंबाई होती है। सदिश p का परिमाण इस प्रकार निरूपित किया जाता है \(∣ \overrightarrow{p}∣ = \sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

\(\overrightarrow{p}\) की दिशा में इकाई सदिश \(\hat p=\frac{1}{∣ p∣ }\overrightarrow{p}\) है। 

गणना:

कथन I: दोनों सदिशों का योग i + j + k  है। 

माना \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) इसके मान की गणना करने पर, हमारे पास है,

\(\overrightarrow{c}=(2i-j+2k)+(-i+j-k)\)

= i + k

कथन I गलत है।

कथन II: यदि, \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) तो  \(\mid \overrightarrow{c}\mid \) = √2

\(\overrightarrow{c}=i+k\)

\(∣ \overrightarrow{c}∣ = \sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{1+0+1} =\sqrt2 \)

कथन II सही है।

कथन III: \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) की दिशा में इकाई सदिश , \(\frac{i}{\sqrt 2 }+\frac{k}{\sqrt 2 }\) है। 

हम जानते हैं कि \(\overrightarrow{c}\) की दिशा में इकाई सदिश \(\hat c=\frac{1}{∣ c∣ }\overrightarrow{c}\) है। 

इसलिए, \(\hat c=\frac{1}{\sqrt 2 }{(i+k)}\)

\(\hat c=\frac{i}{\sqrt 2 }+\frac{k}{\sqrt 2 }\)

कथन III सही है।

∴ कथन II और III सही हैं।

संकल्पना:

सदिश का परिमाण सदिश की लंबाई होती है। सदिश p का परिमाण इस प्रकार निरूपित किया जाता है \(∣ \overrightarrow{p}∣ = \sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

\(\overrightarrow{p}\) की दिशा में इकाई सदिश \(\hat p=\frac{1}{∣ p∣ }\overrightarrow{p}\) है। 

गणना:

कथन I: दोनों सदिशों का योग i + j + k  है। 

माना \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) इसके मान की गणना करने पर, हमारे पास है,

\(\overrightarrow{c}=(2i-j+2k)+(-i+j-k)\)

= i + k

कथन I गलत है।

कथन II: यदि, \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) तो  \(\mid \overrightarrow{c}\mid \) = √2

\(\overrightarrow{c}=i+k\)

\(∣ \overrightarrow{c}∣ = \sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{1+0+1} =\sqrt2 \)

कथन II सही है।

कथन III: \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) की दिशा में इकाई सदिश , \(\frac{i}{\sqrt 2 }+\frac{k}{\sqrt 2 }\) है। 

हम जानते हैं कि \(\overrightarrow{c}\) की दिशा में इकाई सदिश \(\hat c=\frac{1}{∣ c∣ }\overrightarrow{c}\) है। 

इसलिए, \(\hat c=\frac{1}{\sqrt 2 }{(i+k)}\)

\(\hat c=\frac{i}{\sqrt 2 }+\frac{k}{\sqrt 2 }\)

कथन III सही है।

∴ कथन II और III सही हैं।

संकल्पना:

योग का सदिश नियम:

व्याख्या:

योग का त्रिभुज नियम लागू करने पर,

\(⇒ \overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CA}\)      -----(1)

\(⇒ \overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CB}\)      --------(2)

(1) और (2) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं,

⇒ \(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CB}\)

⇒ \(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}+(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})\)

चूंकि, \(\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{CB}\)

⇒ \(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}\)   

∴ \(\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PB}\)

गणना:

\(\vec{u} = 3\hat{i} - \hat{j}, \quad \vec{v} = 2\hat{i} + \hat{j} - \lambda \hat{k}\)

\(\Rightarrow \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} = \cos \theta\)

\(\Rightarrow \frac{5}{\sqrt{10} \sqrt{5 + \lambda^2}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{7}}\)

\(\Rightarrow \lambda^2 = 9 \quad \Rightarrow \lambda = 3 \quad (\because \lambda > 0)\)

\(\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2\)

\(\Rightarrow |\vec{v}|^2 = |\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2 + 2 \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2\)

\(\Rightarrow 14 = |\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2 + 0 \quad (\because \vec{v}_1 \perp \vec{v}_2)\)

\(\Rightarrow |\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2 = 14\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

दिया गया है, \(\vec a=\vec b\times \vec c\)

⇒ \(\vec a\), \(\vec c\) पर लंबवत है

⇒ \(\vec{\mathrm{a}} \cdot \vec{\mathrm{c}}\) = 0

∴ \(|\overrightarrow{\mathrm{c}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{c}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{a}}|^2-2 \overline{\mathrm{a}} \cdot \overline{\mathrm{c}}\)

= \(|\overrightarrow{\mathrm{c}}|^2+4-0\)

अब, \(\overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}\)

⇒ \(|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=|\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}|\)

⇒ \(2=3|\overrightarrow{\mathbf{c}}| \sin \alpha\)

⇒ \(|\overrightarrow{\mathrm{c}}|=\frac{2}{3} \operatorname{cosec} \alpha \quad \alpha\in\left[0,\frac{\pi}{3}\right]\)

⇒ \(|\overrightarrow{\mathrm{c}}|_{\min }=\frac{2}{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} \quad \operatorname{cosec} \alpha \in\left[\frac{2}{\sqrt{3}}, \infty\right)\)

⇒ \(27|\overrightarrow{\mathrm{c}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}|_{\min }^2=27\left(\frac{16}{27}+4\right)=124\)

∴ \(\rm 27|\vec c-\vec a|^2\) का न्यूनतम मान 124 है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।