Equation of Circle MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Equation of Circle - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

वृत्त का समीकरण है

\(x^{2} + y^{2} + 2x + 2y + 1 = 0\)

पूर्ण वर्ग बनाकर पुनः लिखें:

\((x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 1\)

∴ केंद्र = (-1, -1), त्रिज्या r = 1

इस वृत्त में अंकित वर्ग के लिए, जिसकी भुजाएँ अक्षों के समांतर हैं, इसका विकर्ण वृत्त के व्यास = 2 के बराबर है। यदि वर्ग की भुजा की लंबाई a है, तो

\(a\sqrt{2} = 2 \;\Longrightarrow\; a = \sqrt{2}.\)

प्रत्येक शीर्ष दोनों अक्षों के साथ केंद्र से आधी भुजा \(= \tfrac{a}{2} = \tfrac{1}{\sqrt{2}} \) पर स्थित है। चूँकि केंद्र (-1, -1) है, चार शीर्ष हैं

\(\displaystyle \bigl(-1 \pm \tfrac{1}{\sqrt{2}},\; -1 \pm \tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr).\)

इनमें से एक शीर्ष है

\(\bigl(-1 + \tfrac{1}{\sqrt{2}},\; -1 - \tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr).\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है। 

गणना:

दिया गया है कि वृत्त के दो व्यास रेखाओं x + y = 0 और x - y = 0 के अनुदिश हैं। वृत्त का केंद्र इनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर है।

हमारे पास है,

\(x - y = 0 \;\Longrightarrow\; x = y.\)

x + y = 0 में प्रतिस्थापित करने पर:

\(x + x = 0 \;\Longrightarrow\; 2x = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0,\; y = 0.\)

इस प्रकार, केंद्र (0, 0) है।

साथ ही त्रिज्या,

\(r = \frac{10}{2} = 5.\)

(0,0) केंद्र और त्रिज्या 5 वाले वृत्त का समीकरण निम्नवत है:

\(x^{2} + y^{2} = 5^{2} = 25.\)

अतः सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

एम _{पीक्यू} · एम _{क्यूआर} = –1

\(⇒ \frac{10-2}{9+3} \times \frac{10-4}{9-\alpha}=-1 ⇒ \alpha=13 \)

\(\mathrm{m}_{0 \mathrm{P}} \cdot \mathrm{m}_{\mathrm{QS}}=-1 ⇒ \mathrm{m}_{\mathrm{QS}}=-\frac{4}{7} \)

क्यूएस का समीकरण

\(\rm y-10=-\frac{4}{7}(x-9)\)

⇒ 4x + 7y = 106 ….(1)

m _0R · m _RS = –1 ⇒ m _RS = – 8

आरएस का समीकरण

वाई – 4 = –8(x–13)

⇒ 8x + y = 108 ….(2)

समीकरण (1) और (2) को हल करना

⇒ \(\mathrm{x}_{1}=\frac{25}{2} \mathrm{y}_{1}=8\)

S(x ₁ , y ₁ ) 2x – ky = 1 पर स्थित है

⇒ 25 – 8k = 1

⇒ 8k = 24

⇒ के = 3

अतः सही उत्तर 3 है।

गणना:

m₁m₂ = - 1 इसलिए समकोण समीकरण वृत्त है

⇒ (x - 4) (x - 0) + (y - 6) (y - 0) = 0

⇒ x² + y² - 4x - 6y = 0

⇒ (k,3k) इस पर स्थित है इसलिए

⇒ k² + 9k² - 4k - 18k = 0

⇒ 10k² - 22k = 0

⇒ k = 0, \(\frac{11}{5}\)

k = 0 संभव नहीं है इसलिए k = \(\frac{11}{5}\)

इसलिए r = \(\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\)

इसलिए 10k + r² = \(\text { 10. } \frac{11}{5}+(\sqrt{13})^{2}=35\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

व्याख्या:

दिया गया है

वृत्त का समीकरण है

(x2 - 4x + 3) + (y2 - 6y + 8) = 0

⇒ (x - 3) (x - 1) + (y - 4) (y - 2)= 0

इसलिए व्यास के संभावित सिरे (3, 4), (3, 2), (1, 4) और (1, 2) हैं।

इसके अलावा, त्रिज्या = √2

केंद्र = (2,3)

इसलिए व्यास के आवश्यक जोड़े के सिरे हैं (I) (1, 2) और (3, 4) और (II) (1, 4) और (3, 2).

∴ विकल्प (a) सही है।

दिया है 

केंद्र बिंदु (1, -2) हैं

त्रिज्या = 4सेमी

प्रयुक्त सूत्र 

(x -a)2 + (y - b)2 = r2

जहाँ, a और b केंद्र पर बिंदु हैं

r = त्रिज्या

x और y वृत्त पर कोई बिंदु हैं

गणना

सूत्र में a, b और r का मान रखने पर 

(x-1)2 + (y + 2)2  = 16

⇒ x2 + 1 - 2x + y2 + 4 + 4y = 16

⇒ x2 + y2 - 2x + 4y = 11

अवधारणा:

यदि(x1, y1) और (x2, y2) एक वृत्त के व्यास के अंतिम बिंदु हैं तो ऐसे वृत्त का समीकरण है (x – x1) ⋅ (x – x2) + (y – y1) (y – y2) = 0

गणना:

दिया गया: एक वृत्त के व्यास के अंतिम बिंदु A (3, 2) और B (2, 5)हैं।

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि(x1, y1) और (x2, y2) एक वृत्त के व्यास के अंतिम बिंदु हैं तो ऐसे वृत्त का समीकरण है (x – x1) ⋅ (x – x2) + (y – y1) (y – y2) = 0

यहां, x1 = 3, y1 = 2, x2 = 2 और y2 = 5

⇒ (x - 3) ⋅ (x - 2) + (y - 2) ⋅ (y - 5) = 0

⇒ x2 + y2 - 5x - 7y + 16 = 0

तो, आवश्यक वृत्त का समीकरण है: x2 + y2 - 5x - 7y + 16 = 0

इसलिए विकल्प C सही उत्तर है।

अवधारणा:

O(a, b) पर केंद्र और त्रिज्या r वाले एक वृत्त का समीकरण इसके द्वारा दिया गया है: (x - a)2 + (y - b)2 = r2

गणना:

दिए गए केंद्र और त्रिज्या वाले वृत्त के समीकरण के सूत्र का उपयोग करके हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:

(x - 2)2 + (y + 3)2 = 52

⇒ (x2 - 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) = 25

⇒ x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0

संकल्पना:

(h, k) पर केंद्र और त्रिज्या 'r' वाले वृत्त का समीकरण निम्न है

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

गणना:

हम जानते हैं कि (h, k) पर केंद्र और त्रिज्या 'r' वाले वृत्त का समीकरण निम्न है

(x - h)² + (y - k)² = r²

यहाँ, केंद्र (h, k) = (2, - 3) और त्रिज्या r = 5 इकाई। 

इसलिए, (2, - 3) पर केंद्र और त्रिज्या 5 इकाई वाले एक वृत्त का समीकरण निम्न है 

(x - 2)2 + (y + 3)2 = 52

⇒\(\rm x^2 - 4x + 4 + y^2 +6y +9 = 25\)

⇒\(\rm x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 \)

अतः (2, - 3) पर केंद्र और त्रिज्या 5 इकाई वाले एक वृत्त का समीकरण \(\rm x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 \) है। 

अवधारणा :

(h, k) पर केंद्र और त्रिज्या r इकाइयों के साथ वृत्त का समीकरण इसके द्वारा दिया गया है: (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

गणना :

यहां, हमें एक वृत्त का समीकरण ज्ञात करना है जिसका केंद्र (2, - 1) है और जो बिंदु (3, 6) से होकर गुजरता है

माना कि आवश्यक वृत्त की त्रिज्या r इकाइयाँ है

जैसा कि हम जानते हैं कि, (h, k) पर केंद्र और त्रिज्या r इकाइयों के साथ वृत्त का समीकरण इसके द्वारा दिया गया है: (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

यहाँ, हमारे पास h = 2 और k = - 1 है

⇒ (x - 2) ² + (y + 1) ² = r ² ------------- (1)

∵ वृत्त बिंदु (3, 6) से गुजरता है

तो, x = 3 और y = 6 समीकरण (1) को संतुष्ट करेगा

⇒ (3 - 2)2 + (6 + 1)2 = r2

⇒ r2 = 50

तो, आवश्यक वृत्त का समीकरण (x - 2) 2 + (y + 1) 2 = 50 है

⇒ x ² + y ² - 4x + 2y - 45 = 0

तो, वृत्त का आवश्यक समीकरण x 2 + y 2 - 4x + 2y - 45 = 0 है

इसलिए, विकल्प D सही उत्तर है।

संकल्पना:

केंद्र (h, k) और त्रिज्या r वाले वृत्त का समीकरण (x – h)² + (y – k)² = r² है।

गणना

यहां, वृत्त दोनों अक्षों को स्पर्श करता है। माना यह (a, 0) और (0, a) पर स्पर्श करते हैं, इसलिए केंद्र (a, a) होगा

अब, त्रिज्या = a = 5

तो, केंद्र = (5, 5) और त्रिज्या = 5

अब, केंद्र (5, 5) और त्रिज्या 5 वाले वृत्त का समीकरण

(x - 5)² + (y - 5)² = 5²

⇒ x2 + 25 - 10x + y2 + 25 - 10y = 25

⇒ x² + y² - 10x - 10y + 25 = 0

इसलिए, विकल्प (2) सही है।

संकल्पना:

एक वृत्त का मानक समीकरण:

\(\rm (x-h)^2+(y-k)^2=R^2\)

जहाँ केंद्र (h, k) और त्रिज्या R है। 

सूचना: व्यासों का प्रतिच्छेदन वृत्त का केंद्र है। 

वृत्त पर एक बिंदु और केंद्र के बीच की दूरी वृत्त की त्रिज्या है। 

2 बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) के बीच की दूरी निम्न है:

D = \(\rm \sqrt{(y_2-y_1)^2 + (x_2 -x_1)^2}\)

रेखा ax + by + c = 0 से एक बिंदु (x₁, y₁)  की लंबवत दूरी

D = \(\rm \left|ax_1+by_1+c\over\sqrt{a^2+b^2}\right|\)

गणना:

दिया गया है वृत्त x और y अक्ष दोनों को स्पर्श करता है अर्थात् x और y अक्ष वृत्त की स्पर्श रेखाएं हैं। 

x - अक्ष का समीकरण y = 0 है। 

त्रिज्या स्पर्श रेखा (y = 0) से केंद्र (-2, -2) की लंबवत दूरी है। 

त्रिज्या r = \(\rm \left|ax_1+by_1+c\over\sqrt{a^2+b^2}\right|\)

⇒ r = \(\rm \left|0\times(-2)+1\times(-2)+0\over\sqrt{0^2+1^2}\right|\)

⇒ r = |-2| = 2

केंद्र (-2, -2) और त्रिज्या r = 2 वाले वृत्त का समीकरण निम्न है:

\(\rm (x-h)^2+(y-k)^2=R^2\)

⇒ (x-(-2))² + (y-(-2))² = 2² 

⇒ x² + y² + 4x + 4y + 8 = 4

⇒ x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0

संकल्पना:

एक वृत्त के समीकरण का सामान्य रूप निम्न है:

x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0

वृत्त का केंद्र (-g, -f) है।

वृत्त की त्रिज्या \(\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\) है।

गणना:

हमारे पास x2 + y2  - 4x - 4y + 4 = 0 है

इसकी तुलना वृत्त के सामान्य समीकरण से करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

g = -2, f = -2 और c = 4

∴ वृत्त की त्रिज्या = \(\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\)

\(⇒ \sqrt{(-2)^{2}+(-2)^{2}-4}\)

\(⇒ \sqrt{4+4-4}\)

⇒ 2

अत: वृत्त की त्रिज्या 2 है।

संकल्पना:

केंद्र (h, k) और त्रिज्या r वाले वृत्त का समीकरण निम्न है

 (x – h) ² + (y – k) ² = r²  

गणना:

दिया गया है, वृत्त का केंद्र ( 3, 2) और त्रिज्या 7 इकाई है।

हम जानते हैं कि, वृत्त का समीकरण (x – h) 2 + (y – k) 2 = r2 है। 

( x - 3 )² + ( y - 2 )² = 7² 

⇒ x²+ 9 - 6x + y²+ 4 - 4y = 49 

⇒ x² + y²- 6x - 4y - 36 = 0

∴ सही विकल्प 2 है। 

संकल्पना:

यदि वृत्त का केंद्र (h, k) है और यह वृत्त पर स्वेच्छ बिंदु P (x, y) से होकर गुजरता है, तो वृत्त की त्रिज्या,

| CP | = r = \(\rm \sqrt{\left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}}\)  

केंद्र (h, k) और त्रिज्या r वाले वृत्त का समीकरण निम्न है 

(x – h) 2 + (y – k) 2 = r2   

गणना:

माना कि C (2, -3) दिए गए वृत्त का केंद्र है और माना कि यह बिंदु P (3, 4) से होकर गुजरता है। तो वृत्त की त्रिज्या

| CP | = r = \(\rm \sqrt{\left ( 3-2 \right )^{2}+\left ( 4+3 \right )^{2}}\) = \(\sqrt{50}\) 

∴ वृत्त का आवश्यक समीकरण निम्न है,

( x - 2 )2 + ( y + 3 )2 =  ( \(\sqrt{50}\) )² 

⇒ x² + y² - 4x + 6y - 37 = 0 

सही विकल्प 4 है।