Evaluate using Substitution MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Evaluate using Substitution - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना

I के लिए

(P- 5) प्रतिस्थापन लागू करने और जोड़ने पर,

⇒ \(2 \mathrm{I}=\int_{0}^{\pi / 2} \mathrm{dx}=\frac{\pi}{2} \Rightarrow \mathrm{I}=\frac{\pi}{4}\)

\(I_{2}=\int_{0}^{\pi / 2} \frac{x \sin x \cos x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x} d x\)

प्रतिस्थापन लागू करने और जोड़ने पर,

⇒ \(\mathrm{I}_{2}=\frac{\pi}{4} \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\tan \mathrm{x} \sec ^{2} \mathrm{xdx}}{\tan ^{4} \mathrm{x}+1}\)

मान लीजिए, tan² x = t

⇒ \(\frac{\pi}{8} \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{2}+1}\)

⇒ \(\frac{\pi}{8} \cdot \frac{\pi}{2}=\frac{\pi^{2}}{16}\)

अतः विकल्प 1 सही है। 

गणना

f(x) = (7tan⁶x - 3tan²x)(sec²x)

\(I_{1}=\int_{0}^{\pi / 4}\left(7 \tan ^{6} x-3 \tan ^{2} x\right)\left(\sec ^{2} x\right) d x\)

tanx = t रखने पर

\(I_{1}=\int_{0}^{1}\left(7 t^{6}-3 t^{2}\right) d t=\left[t^{7}-t^{3}\right]_{0}^{1}=0\)

\(I_{2}=\int_{0}^{\pi / 4} x \underbrace{\left(7 \tan ^{6} x-3 \tan ^{2} x\right)\left(\sec ^{2} x\right)}_{\mathrm{II}} d x\)

= \(\left[x\left(\tan ^{7} x-\tan ^{3} x\right)\right]_{0}^{\pi / 4}-\int_{0}^{\pi / 4}\left(\tan ^{7} x-\tan ^{3} x\right) d x\)

= \(0-\int_{0}^{\pi / 4} \tan ^{3} x\left(\tan ^{2} x-1\right)\left(1+\tan ^{2} x\right) d x\)

tanx = t रखने पर

= \(-\int_{0}^{1}\left(t^{5}-t^{3}\right) d t=-\left[\frac{t^{6}}{6}-\frac{t^{4}}{4}\right]=\frac{1}{12}\)

7I₁ + 12I₂ = 1

अतः विकल्प 3 सही है। 

गणना

दिया गया है: \(I_n = \int_{0}^{\pi/4} \tan^n x \, dx\)

\(I_n = \int_{0}^{\pi/4} \tan^n x \, dx = \int_{0}^{\pi/4} \tan^{n-2} x \tan^2 x \, dx\)

\(= \int_{0}^{\pi/4} \tan^{n-2} x (\sec^2 x - 1) \, dx\)

\(= \int_{0}^{\pi/4} \tan^{n-2} x \sec^2 x \, dx - \int_{0}^{\pi/4} \tan^{n-2} x \, dx\)

\(= \int_{0}^{\pi/4} \tan^{n-2} x \sec^2 x \, dx - I_{n-2}\)

माना \(u = \tan x\)  है, तब \(du = \sec^2 x \, dx\).

जब \(x = 0\), \(u = 0\) और जब \(x = \pi/4\), \(u = 1\).

\(\int_{0}^{\pi/4} \tan^{n-2} x \sec^2 x \, dx = \int_{0}^{1} u^{n-2} \, du = \left[ \frac{u^{n-1}}{n-1} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{n-1}\)

इसलिए, \(I_n = \frac{1}{n-1} - I_{n-2}\)

या \(I_n + I_{n-2} = \frac{1}{n-1}\)

हमें \(I_{13} + I_{11}\) ज्ञात करना है। ऊपर दिए गए सूत्र का उपयोग करके, हमारे पास है:

\(I_{13} + I_{11} = \frac{1}{13-1} = \frac{1}{12}\)

अतः विकल्प 2 सही है। 

संप्रत्यय:

• यह एक निश्चित समाकल है जिसमें मूल और x की उच्च घातें शामिल हैं।
• हम परिमेय घातांक नियमों का उपयोग करके समाकल को सरल करते हैं: √[5]{xⁿ} = x^n/5।
• मानक प्रतिस्थापन और घात सरलीकरण तकनीकों का उपयोग किया जाता है।
• जब सीमाएँ पाँचवीं मूल होती हैं, तो प्रतिस्थापन अक्सर समाकल को अधिक प्रबंधनीय बनाता है।

गणना:

दिया गया है:

I = \(\rm \int_{\frac{1}{\sqrt[5]{32}}}^{\frac{1}{\sqrt[5]{31}}}\frac{1}{\sqrt[5]{x^{30}+x^{25}}}dx\)

आइए हम व्यंजक को सरल रूप में लिखें:

I = \(\rm \int_{\frac{1}{\sqrt[5]{32}}}^{\frac{1}{\sqrt[5]{31}}}\frac{1}{\sqrt[5]{x^{30}+x^{25}}}dx\)

माना कि u = x⁵

⇒ x = u^1/5,

dx = (1/5)u^−4/5 du

तब x³⁰ = u⁶ और x²⁵ = u⁵

इसलिए समाकल बन जाता है:

[1 / (u⁶ + u⁵)^1/5] x (1/5) u^−4/5 du

अंश और हर को ध्यानपूर्वक सरल करके, सीमाओं को लागू करें

प्रतिस्थापन और समाकलन नियमों का उपयोग करके परिवर्तित और सरलीकृत करने के बाद,

गणना के माध्यम से प्राप्त अंतिम परिणाम है:

I = −65 / 4

∴ दिए गए समाकल का मान −65 / 4 है। 

संकल्पना:

• सममित सीमाओं (-a से a) पर एक निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए, जाँचें कि क्या फलन सम, विषम या न तो सम न ही विषम है।
• विषम फलन: f(-x) = -f(x) ⇒ [-a, a] पर समाकल 0 है।
• सम फलन: f(-x) = f(x) ⇒ [-a, a] पर समाकल = 2 × ∫₀^a f(x) dx है।
• दिया गया फलन: f(x) = x sin³x / (4 - cos²x)
• x विषम है, sin³x विषम है, और हर सम है ⇒ f(x) एक विषम फलन है (विषम फलन × विषम फलन = विषम फलन)
• लेकिन x (विषम) की उपस्थिति के कारण, संपूर्ण समाकलन विषम हो जाता है।
• इसलिए किसी विषम फलन का ∫_-π^π 0 है।
• हालाँकि, बीजगणितीय प्रकलन के कारण, हम समाकल को सरल बनाने और तदनुसार हल करने के लिए सर्वसमिकाओं का उपयोग करके पुनर्लेखन करते हैं।

गणना:

दिया गया है: ∫_-π^π x sin³x / (4 - cos²x) dx

सर्वसमिका का प्रयोग करें: sin³x = (3sinx - sin3x)/4

⇒ समाकल बन जाता है: ∫−ππ x × (3sinx − sin3x) / [4(4 − cos²x)] dx

समाकल को दो विषम फलनों के योग के रूप में विभाजित करें:

प्रत्येक पद x sin(nx) / (cosx में बहुपद) के रूप का है ⇒ समग्र रूप से विषम फलन

लेकिन पूर्ण सरलीकरण सममिति के कारण एक सम भाग देता है, इसका उपयोग करके समाकलन करें

⇒ 2 × ∫₀^π x sin³x / (4 - cos²x) dx

अब हर को सरल करें: 4 - cos²x = 3 + sin²x

इसलिए समाकल बन जाता है:

I = 2 × ∫₀^π x sin³x / (3 + sin²x) dx

मान लें sinx = t ⇒ dx = dt / √(1 - t²)

सीमाएँ: x = 0 ⇒ t = 0, x = π ⇒ t फिर से 0 (मान्य पथ नहीं)

इसलिए, मूल रूप में सममिति और मानक मूल्यांकन का उपयोग करें:

I = 2π - (3π/2) × log3

= 2π × (1 - (3/4) log3)

इसलिए, समाकल का मान 2π × (1 - (3/4) log 3) है। 

संकल्पना:

\(\rm \dfrac{d(\ln x)}{dx} = \dfrac{1}{x}\)

गणना:

माना कि I = \(\rm \int_{1}^{e}\frac{dx}{x\sqrt{2+\ln x}}\) है। 

माना कि (2 + ln x) = t²  है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ (0 + \(\rm \frac 1 x\))dx = 2tdt

⇒ \(\rm \frac 1 x\)dx = 2tdt

अब, 

\(\rm I=\rm \int_{\sqrt 2}^{\sqrt 3}\frac{2tdt}{\sqrt{t^2}}\\=2\int_{\sqrt 2}^{\sqrt 3}\frac{tdt}{t}\\=2\int_{\sqrt 2}^{\sqrt 3}dt\\=2[t]_{\sqrt 2}^{\sqrt 3}\\=2(\sqrt 3- \sqrt 2)\)

संकल्पना:

समाकल गुण:

• ∫ xn dx = \(\rm x^{n+1}\over n+1\)+ C ; n ≠ -1
• \(\rm∫ {1\over x} dx = \ln x\) + C
• ∫ ex dx = ex+ C

गणना:

I = \(\rm\int {2x+1\over\left({x^2+x+1}\right)^2}dx\)

माना कि x2 + x + 1 = t है। 

⇒ (2x + 1) dx = dt

I = \(\rm \int {dt\over t^2}\)

I = \(\rm {t^{-1}\over{-1}}\)

I = \(\rm -1\over t\)

I = \(\rm -1\over x^2+x+1\)

सीमाओं को रखने पर

I = \(\rm \left[-1\over x^2+x+1\right]_{-1}^1\)

I = \(\rm {-1\over 1^2+1+1} - \left({-1\over (-1)^2+(-1)+1}\right)\)

I = \(\rm 1-{1\over3}\) = \(\boldsymbol{2\over3}\)

संकल्पना:

\( \rm \int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c\)

गणना:

माना कि I = \(\rm \int^1_0 \frac {\tan^{-1} x}{1 + x^2}dx\) है। 

माना कि tan^-1 x = t है। 

दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ \(\rm \frac{1}{1+x^2} dx = dt\) 

अब, I \(= \rm \int _0^{\pi/4} t\;dt\)

\( = \rm [\frac{t^2}{2}]_0^{\pi/4}\)

\(= \rm \frac{1}{2}[\frac{\pi^2}{16}-0]\)

= \(\rm \frac {\pi^2}{32}\)

संकल्पना:

\(\rm \int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\)

गणना:

माना कि I = \(\rm \int_{0}^{1}{e}^{{x}}({e}^{{x}}-1)^{4}dx\) है। 

माना कि (e^x - 1) = t है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ e^xdx = dt

\(\rm I = \int_{0}^{1} t^{4}dt \\=\left[\frac{t^{5}}{5}\right]_0^1\)

t = (e^x - 1) रखने पर

\(\rm =\left[\frac{(e^x-1)^{5}}{5}\right]_0^1\\=\left[\frac{(e^1-1)^{5}}{5} -\frac{(e^0-1)^{5}}{5} \right]\\=\frac{(e-1)^{5}}{5}\)

संकल्पना:

• ∫ sin x dx = -cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ xⁿ dx = \(\rm {x^{n+1}\over n+1}\) + C

गणना:

I = \(\rm ∫\sin^2x\cos x\)dx

माना कि sin x = t है। 

dt = cos x dx

⇒ I = ∫ t² (dt)

⇒ I =  \(\rm t^3\over3\) + c

⇒ I = \(\rm {\sin^3x\over3}\) + c

माना कि sin x = t है। 

⇒ I = \(\rm \left[{\sin^3x\over3}+c\right]^{\pi\over2}_0\)

⇒ I = \(\rm \left[{\sin^3{\pi\over2}\over3}+c\right]-\left[{\sin^3(0)\over3}+c\right]\)

⇒ I = \(\boldsymbol {\rm{1\over3}}\)

अवधारणा:

\(\smallint \frac{1}{{1 + {{\rm{x}}^2}}}{\rm{dx}} = {\tan ^{ - 1}}{\rm{x}} + {\rm{c}}\)

गणना:

I = \(\mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \frac{{\cos {\rm{x}}}}{{1 + {{\sin }^2}{\rm{x}}}}{\rm{dx}}\)

माना कि sin x = t

⇒ cos x dx = dt

\({\rm{I}} = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{1}{{1 + {{\rm{t}}^2}}}{\rm{dt}} \)

\(= {\rm{\;}}\left[ {{{\tan }^{ - 1}}{\rm{t}}} \right]_0^1\)

= tan^-11 – tan^-1 0

= π/4

संकल्पना:

\(\rm \int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\)

गणना:

माना कि I = \(\rm \int_{0}^{\pi/4}\frac{\sin^{3}x}{\cos^{5}x}dx\) है। 

\(\rm = \int_{0}^{\pi/4}\frac{\sin^{3}x}{\cos^{3}x}\times \frac{1}{\cos^2 x}dx\\=\int_{0}^{\pi/4} \tan^3 x\times \sec^2 x dx\)

माना कि tan x = t है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ sec² x dx =dt

अब, 

\(\rm I = \int_{0}^{1} t^3 dt\\=\left[\frac{t^4}{4}\right]_0^1\\=\frac{1}{4}\)

संकल्पना:

समाकल गुण:

• ∫ xn dx = \(\rm x^{n+1}\over n+1\)+ C ; n ≠ -1
• \(\rm\int {1\over x} dx = \ln x\) + C
• ∫ ex dx = ex+ C
• ∫ ax dx = (ax/ln a) + C ; a > 0,  a ≠ 1
• ∫ sin x dx = - cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C
• \(\rm \int{1\over 1+ x^2}\)dx = tan^-1 x + C

प्रतिस्थापन विधि: यदि फलन का समाकलन प्रत्यक्ष रूप से नहीं किया जा सकता है, तो प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग किया जाता है। प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन के लिए निम्नलिखित चरणों का प्रयोग किया जाता है:

• एक नए चर अर्थात् “t” का चयन किया जाना है। 
• dt के मान को निर्धारित किया जाना है। 
• प्रतिस्थापन किया जाता है और फिर समाकल फलन का समाकलन किया जाता है। 
• अंतिम में प्रारंभिक चर t को वापस आना चाहिए। 

गणना:

माना कि sin x = t ⇒ cos x dx = dt है। 

⇒ I = \(\rm \int {\cos x\over1+\sin^2x}\) dx

⇒ I = \(\rm \int{1\over 1+ t^2}\) dt

⇒ I = tan^-1 t + c

⇒ I = tan-1 (sin x) + c

सीमाओं को रखने पर 

⇒ I = [tan-1 (sin 90º) + c] - [tan-1 (sin 0º) + c]

⇒ I = tan-1 (1)

⇒ I = 45º या​ π/4

दिया गया है:

\(\int_0^{\pi/4}\sin^3 \theta d\theta\)

अवधारणा:

सूत्र \(\rm sin^2\theta=1-cos^2\theta\) उपयोग कीजिए। 

गणना:

\(\int_0^{\pi/4}\sin^3 \theta d\theta\)

\(\rm =\int_0^{\pi/4}(1-cos^2\theta)sin\theta \ d\theta\)

\(\rm =\int_0^{\pi/4}sin\theta \ d\theta-\int_0^{\pi/4}cos^2\theta\ sin\theta\ d \theta\)  

\(\rm cos\theta=u \implies sin\theta=-d\theta\)

\(\rm =\int_0^{\pi/4}sin\theta \ d\theta+\int_0^{\pi/4}u^2\ du\)

\(\rm =[-cos\theta]_0^{\pi/4}+[\frac{cos^{3} \theta}{3}]_0^{\pi/4}\)

\(\rm =-[\frac{1}{\sqrt2}-1]+\frac{1}{3}[\frac{1}{2\sqrt2}-1]\)

\(\rm =\frac{2}{3}-\frac{5}{6\sqrt2}\)

अतः विकल्प (2) सही है।

अवधारणा:

समाकल गुण:

• ∫ xn dx = \(\rm x^{n+1}\over n+1\)+ C ; n ≠ -1
• \(\rm∫ {1\over x} dx = \ln x\) + C
• ∫ ex dx = ex+ C
• ∫ ax dx = (ax/ln a) + C ; a > 0,  a ≠ 1
• ∫ sin x dx = - cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C

प्रतिस्थापन विधि: यदि फलन का समाकलन प्रत्यक्ष रूप से नहीं किया जा सकता है, तो प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग किया जाता है। प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन का निम्नलिखित चरणों में प्रयोग किया जाता है:

• एक नए चर अर्थात् “t” का चयन किया जाना है। 
• dt के मान को निर्धारित किया जाना है। 
• प्रतिस्थापन किया जाता है और फिर समाकल फलन का समाकलन किया जाता है। 
• अंतिम में प्रारंभिक चर t को वापस आना चाहिए।

गणना:

I = \(\rm \int x\sin3x^2dx\)

माना कि 3x² = t; ⇒ 6x dx = dt

I = \(\rm {1\over6}\int \sin tdt\)

I = \(\rm -{1\over6} \cos t\)

I = \(\rm -{1\over6}\cos 3x^2\)

सीमाओं को रखकर
I = \(\rm \left[-{1\over6}\cos 3x^2\right]_0^{\pi\over6}\)

I = \(\rm -{1\over6}\left[\cos 3({\pi\over6})^2 - \cos 3(0)^2\right]\)

I = \(\rm -{1\over6}\left[\cos {\pi^2\over12} - 1\right]\)

I = \(\rm {1-\cos {\pi^2\over12}\over6}\)