Evaluate using Special Integral Forms MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Evaluate using Special Integral Forms - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

\(\rm \displaystyle I=16 \int_{1}^{2} \frac{d x}{x^{3}\left(x^{2}+2\right)^{2}}\)

\(\rm \displaystyle =16 \int_{1}^{2} \frac{d x}{x^{3} x^{4}\left(1+\frac{2}{x^{2}}\right)^{2}}\)

मान लीजिये, \(\rm 1+\frac{2}{x^{2}}=t \Rightarrow \frac{-4}{x^{3}} d x=d t\)

⇒ \(\rm \displaystyle I=-4 \int_{3}^{\frac{3}{2}} \frac{d t}{\left(\frac{2}{t-1}\right)^{2} t^{2}} \)

⇒ \(\rm \displaystyle I=-4 \int_{3}^{\frac{3}{2}}\left(\frac{t-1}{2}\right)^{2} \frac{d t}{t^{2}} \)

⇒ \(\rm \displaystyle I=-\frac{4}{4} \int_{3}^{\frac{3}{2}}\left(1-\frac{2}{t}+\frac{1}{t^{2}}\right) d t\)

⇒ \(\rm I=-1\left[t-2 \ln |t|-\frac{1}{t}\right]_{3}^{\frac{3}{2}} \)

⇒ \(\rm I=-1\left[\left(\frac{3}{2}-2 \ln \frac{3}{2}-\frac{2}{3}\right)-\left(3-2 \ln 3-\frac{1}{3}\right)\right] \)

⇒ \(I=-1\left[2 \ln 2-\frac{11}{6}\right] \)

⇒ \(\rm I=\frac{11}{6}-\ln 4\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

हमें फलन दिया गया है:

I = ∫_-1¹ |tan^-1(x)| dx

चरण 1: निरपेक्ष मान के आधार पर समाकल को विभाजित करें:

I = ∫_-1⁰ -tan^-1(x) dx + ∫₀¹ tan^-1(x) dx

चरण 2: tan^-1(x) के समाकल के लिए मानक परिणाम का उपयोग करें:

∫ tan^-1(x) dx = x tan^-1(x) - 1/2 ln(1 + x²)

चरण 3: प्रत्येक समाकल की गणना करें:

∫_-1⁰ -tan^-1(x) dx के लिए, हमें मिलता है:

- [ x tan^-1(x) - 1/2 ln(1 + x²) ]_-1⁰

x = 0 पर, व्यंजक 0 हो जाता है।

x = -1 पर, हमें मिलता है:

- [-1 × (-π/4) - 1/2 ln(1 + 1)] = π/4 - 1/2 ln(2)

इस प्रकार, पहले समाकल का मान है:

π/4 - 1/2 ln(2)

∫₀¹ tan^-1(x) dx के लिए, हम समान परिणाम का उपयोग करते हैं:

[ x tan^-1(x) - 1/2 ln(1 + x²) ]₀¹

x = 1 पर, व्यंजक बन जाता है:

1 x (π/4) - 1/2 ln(2) = π/4 - 1/2 ln(2)

x = 0 पर, व्यंजक 0 है।

इस प्रकार, दूसरे समाकल का मान है:

π/4 - 1/2 ln(2)

चरण 4: दो समाकलों के परिणामों को जोड़ें:

I = (π/4 - 1/2 ln(2)) + (π/4 - 1/2 ln(2)) = π/2 - ln(2)

∴ समाकल का मान π/2 - ln(2) है।

सही उत्तर विकल्प (1): π/2 - ln(2) है। 

गणना:

दिया गया है, \(\rm \beta(m,n)=\int_0^1x^{m-1}(1-x)^{n-1}dx\)

मान लीजिए, I = \(\int_0^1 1 \cdot\left(1-x^{10}\right)^{20} d x\)

x10 = t ⇒ x = t1/10  रखने पर,

⇒ \(\mathrm{dx}=\frac{1}{10}(\mathrm{t})^{-9 / 10} \mathrm{dt}\)

∴ I = \(\int_0^1(1-t)^{20} \frac{1}{10}(t)^{-9 / 10} d t\)

⇒ I = \(\frac{1}{10} \int_0^1 t^{-9 / 10}(1-t)^{20} d t\)

= \(\frac{1}{10} \int_0^1 x^{-9 / 10}(1-x)^{20} d x\)

= \(\rm \frac{1}{10}\times \beta (\frac{1}{10},21)\) = \(\rm a\times \beta (b,c)\)

⇒  a = \(\frac{1}{10}\) b = \(\frac{1}{10}\) c = 21

⇒ 100(a + b + c) = 100( \(\frac{1}{10}\) + \(\frac{1}{10}\) + 21) = 10 + 10 + 2100 = 2120

∴ 100(a + b + c) का मान 2120 है।

सही उत्तर विकल्प 4 है।

स्पष्टीकरण -

\(\int_\alpha^{\log _e 4} \frac{d x}{\sqrt{e^x-1}}=\frac{\pi}{6}\)

मान लीजिए, ex – 1 = t2

ex dx = 2t dt 

= \(\int \frac{2 d t}{t^2+1}\)

= 2 tan–1 t 

= \(\left.2 \tan ^{-1}\left(\sqrt{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-1}\right)\right|_\alpha ^{\log _e^4}\)

= \(2\left[\tan ^{-1} \sqrt{3}-\tan ^{-1} \sqrt{\mathrm{e}^\alpha-1}\right]=\frac{\pi}{6}\)

= \(\frac{\pi}{3}-\tan ^{-1} \sqrt{\mathrm{e}^\alpha-1}=\frac{\pi}{12}\)

⇒ \(\tan ^{-1} \sqrt{\mathrm{e}^\alpha-1}=\frac{\pi}{4}\)

\(\mathrm{e}^\alpha=2 \quad \mathrm{e}^{-\alpha}=\frac{1}{2}\)

\(x^2-\left(2+\frac{1}{2}\right) x+1=0\)

2x² – 5x + 2 = 0

अतः विकल्प (1) सही है।

संकल्पना​:

सम और विषम फलनों के समाकलन:

निरंतर सम फलनों के लिए जैसे कि f(−x) = f(x),

\(\displaystyle \int_{-a}^{a}\)f(x)dx = 2\(\displaystyle \int_{0}^{a}\)f(x)dx

निरंतर विषम फलनों के लिए जैसे किf(−x) = −f(x),

\(\displaystyle \int_{-a}^{a}\)f(x)dx = 0

हल:

I = \(\displaystyle \int_{-\pi/6}^{\pi/6} \frac{\sin^5 x \cos^3 x}{x^4}\:dx\)

माना f(x) = \(\displaystyle\frac{\sin^5 x \cos^3 x}{x^4}\:\)

⇒ f(-x) = \(\displaystyle\frac{\sin^5 (-x) \cos^3 (-x)}{(-x)^4}\:\)

⇒ f(-x) = \(-\displaystyle\frac{\sin^5 x \cos^3 x}{x^4}\:\)

⇒ f(-x)= - f(x)

अत: f(x) विषम फलन है।

∴ दिए गए समाकल का मान 0 है।

संकल्पना:

\(\rm \int e^x \left(f(x)+f'(x)\right)dx \)  = e^x f(x) + c

गणना:

माना कि \(\rm I=\int e^x \left(\dfrac{1}{x}- \dfrac{1}{x^2}\right)dx \) है। 

माना कि f(x) = \(\rm 1\over x\) है। 

⇒ \(\rm f'(x) = - {1\over x^2}\)

∴ \(\rm I=\int e^x \left(\dfrac{1}{x}- \dfrac{1}{x^2}\right)dx \)= \(\rm \int e^x \left(f(x)+f'(x)\right)dx \)

= ex f(x) + c

= \(\rm e^x ({1\over x})\) ​​+ c

अतः विकल्प (3) सही है। 

अवधारणा:

\(\rm \int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=sin^{-1}(\frac xa)+c\)

गणना:

माना, I = \(\rm \int_0^1\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx\)

= \(\rm \int_0^1\frac{1}{\sqrt{2^2-x^2}}dx\)

= \([\rm sin^{-1}(\frac x 2)]_0^1\)                       (∵ \(\rm \int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=sin^{-1}(\frac xa)+c\) )

= \(\rm sin^{-1}(\frac 1 2)-sin^{-1}(0)\)

= \(\frac\pi6\)

इसलिए, विकल्प (1) सही है।

अवधारणा:

समाकलन सूत्र

\(\rm \int \frac{dx}{{1 + x^{2}}} = tan^{-1} x + C\)

त्रिकोणमिति सूत्र

tan(\(\rm \frac{\pi}{4}\)) = 1

गणना:

दिया हुआ

⇒ \(\rm \int_{0}^{a} \frac{1}{1 + x^{2}}\: dx = \frac{\pi}{4}\)

⇒ \(\rm \left [tan^{-1}x \right ]_{0}^{a} = \frac{\pi }{4}\)

⇒ tan^-1(a) - tan^-1(0) = \(\rm \frac{\pi}{4}\)

⇒ tan-1(a) - 0 = \(\rm \frac{\pi}{4}\)

⇒ a = tan(\(\rm \frac{\pi}{4}\))

⇒ a = 1

a का मान 1 है

Additional Information

समाकल सूत्र:

• ∫ dx = x + C
• ∫ a dx = ax+ C
• \(\rm \int x^{n} dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C \: (n \neq -1)\)
• ∫ sin x dx = – cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ sec2 x dx = tan x + C
• ∫ cosec2 x dx = - cot x + C
• ∫ sec x (tan x) dx = sec x + C
• ∫ cosec x ( cot x) dx = – cosec x + C
• ∫ (1/x) dx = ln |x| + C
• ∫ ex dx = ex + C
• \(\rm \int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = sin^{-1} x + C\)
• \(\rm \int \frac{dx}{{1 + x^{2}}} = tan^{-1} x + C\)
• \(\rm \int \frac{dx}{x \sqrt{x^{2} - 1}} = sec^{-1} x + C\)

प्रयुक्त सूत्र:

\(\rm \int x^{n} dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C, n\neq 1\)

\(\rm \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)\)

गणना​:

आवश्यक क्षेत्रफल = \(| \rm \int_{-1.8}^{-1.5} [x] dx |\) , [∵ क्षेत्रफल कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता]

चूँकि, [x] G.I.F का प्रतिनिधित्व करता है और -1.8 < x < -1.5

इसलिए, दी गई श्रेणी के लिए [x] का मान  - 2 होगा

⇒ आवश्यक क्षेत्रफल = \(| \rm \int_{-1.8}^{-1.5} [x] dx | = | -2 \rm \int_{-1.8}^{-1.5} dx |\) 

⇒ आवश्यक क्षेत्रफल = 2 [-1.5 + 1.8]

⇒ आवश्यक क्षेत्रफल = 0.6

∴ अभीष्ट क्षेत्रफल 0.6 वर्गमूल है।

धारणा:

1. यदि f(x) अवधि T के साथ आवधिक फलन है तो,

• \(\mathop \smallint \nolimits_0^{{\rm{nT}}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = {\rm{n}}\mathop \smallint \nolimits_0^{\rm{T}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}},{\rm{\;n}} \in {\rm{Z}}\)
• \(\mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{{\rm{a}} + {\rm{\;nT}}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = {\rm{n}}\mathop \smallint \nolimits_0^{\rm{T}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}},{\rm{\;n}} \in {\rm{Z}},{\rm{\;a}} \in {\rm{R}}\)

2. x का आंशिक भाग: यह x और उसके महत्तम पूर्णांक भाग [x] के बीच का अंतर है

• X का आंशिक भाग इसके द्वारा दिया जाता है: {x} = x – [x]
• 0 ≤ x < 1 के लिए {x} = x
• x के आंशिक भाग की अवधि एक है।

x के आंशिक भाग का आरेख:

गणना:

हमें \(\mathop \smallint \limits_{ - 2}^2 {\rm{x\;dx}} - \mathop \smallint \limits_{ - 2}^2 \left[ {\rm{x}} \right]{\rm{dx}}\) का मूल्य खोजना होगा

\({\rm{Let\;I\;}} = \mathop \smallint \limits_{ - 2}^2 {\rm{x\;dx}} - \mathop \smallint \limits_{ - 2}^2 \left[ {\rm{x}} \right]{\rm{dx}} = {\rm{\;}}\mathop \smallint \limits_{ - 2}^2 {\rm{x}} - {\rm{\;}}\left[ {\rm{x}} \right]{\rm{\;dx}}\)

\(\Rightarrow {\rm{I}} = \mathop \smallint \limits_{ - 2}^2 \left\{ {\rm{x}} \right\}{\rm{\;dx}}\)                        (∵ x – [x] = {x})

जैसा कि हम जानते हैं कि {x} की अवधि एक है

\(\Rightarrow {\rm{I}} = \mathop \smallint \limits_{ - 2}^2 \left\{ {\rm{x}} \right\}{\rm{\;dx}} = 4 \times \mathop \smallint \limits_0^1 {\rm{x\;dx}} = 4 \times {\rm{\;}}\left[ {\frac{{{{\rm{x}}^2}}}{2}} \right]_0^1 = {\rm{\;}}4 \times \left( {\frac{1}{2} - 0} \right) = 2\)

अवधारणा:

कुछ मानक समाकलन सूत्र:

\(\rm \Rightarrow \int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a}tan^{-1}\frac{x}{a}+c\)

\(\rm\Rightarrow \int \frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}log\left | \frac{x-a}{x+a} \right |+c\)

\(\rm \Rightarrow \int \frac{dx}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2a}log\left | \frac{a+x}{a-x} \right |+c\)

गणना:

\(\rm\int_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{2+x^{2}}\\=\int_{-\infty }^{\infty}\frac{dx}{\left ( \sqrt{2} \right )^{2}+x^{2}}\)

\(\rm=\frac{1}{\sqrt{2}}tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{2}}\left.\begin{matrix} \\ \end{matrix}\right|_{-\infty }^{\infty }\)

\(\rm=\frac{1}{\sqrt{2}}\left ( tan ^{-1}\left ( \frac{\infty }{\sqrt{2}} \right )-tan^{-1}\left ( \frac{-\infty }{\sqrt{2}} \right )\right )\)

\(\rm=\frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \frac{\pi}{2} -\left ( \frac{-\pi}{2} \right )\right )\)

\(=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\)

∴  सही विकल्प 3 है

संकल्पना:

समाकल गुण:

• \(\mathop \smallint \limits_{ - {\rm{a}}}^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;dx}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\mathop \smallint \limits_0^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}},If\;f\left( { - {\rm{x}}} \right) = f\left( x \right)}\\ {0,\;If\;f\left( { - {\rm{x}}} \right) = - f\left( x \right)} \end{array}} \right.\)

गणना:

निम्न को ज्ञात करने के लिए: \(\mathop \smallint \limits_{ - {\rm{\pi }}/2}^{{\rm{\pi }}/2} {\rm{x}}\cos {\rm{xdx}}\)

माना कि f(x) = x cos x

अब, फलन विषम या सम की जाँच करने पर 

x = -x रखने पर 

⇒ f(-x) = (-x) cos (-x)

⇒ f(-x) = -x cos x (∵ cos (-x) = cos x)

इसलिए, f(x) = -f(x)

अतः दिया गया फलन विषम फलन है। 

और हम जानते हैं कि, यदि f(x) विषम है। 

∴ \(\mathop \smallint \limits_{ - {\rm{a}}}^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;dx}} = 0\)

अतः \(\mathop \smallint \limits_{ - {\rm{\pi }}/2}^{{\rm{\pi }}/2} {\rm{x}}\cos {\rm{xdx}} = 0\) 

अवधारणा

\(\rm \int e^x \left(f(x)+f'(x)\right)dx \) = ex f(x) + c

गणना:

दिया हुआ: \(\rm \int e^x (\cos x - \sin x)dx \)

माना कि f(x) = cos x

⇒ f'(x) = - sin x

∴ \(\rm \int e^x (\cos x - \sin x)dx = \rm e^x\cdot \cos x + c\)

धारणा:

निश्‍चित समाकल के गुण

• \(\mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{c}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = \mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} + \mathop \smallint \nolimits_{\rm{b}}^{\rm{c}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx\;}}\)

गणना:

दिया हुआ:

\(\mathop \smallint \limits_0^5 {\rm{\{ }}1 + {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{)dx}} = 7\)

\(\Rightarrow \mathop \smallint \limits_0^5 {\rm{dx}} + \mathop \smallint \limits_0^5 {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = 7{\rm{\;}}\)

\(\Rightarrow \left[ {\rm{x}} \right]_0^5 + \mathop \smallint \limits_0^5 {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = 7\)

\( \Rightarrow \left( {5 - 0} \right) + \mathop \smallint \limits_0^5 {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = 7\)

\(\therefore \mathop \smallint \limits_0^5 {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = 2\)                          …. (1)

अब

\(\mathop \smallint \limits_{ - 2}^5 {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = 4\)

\(\Rightarrow \mathop \smallint \limits_{ - 2}^0 {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} + {\rm{\;}}\mathop \smallint \limits_0^5 {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = 4\)

समीकरण 1 से, हम प्राप्त करते हैं

\( \Rightarrow \mathop \smallint \limits_{ - 2}^0 {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} + {\rm{\;}}2 = 4\)

\(\therefore \mathop \smallint \limits_{ - 2}^0 {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = 4 - 2 = 2\)

अवधारणा:

समाकलन सूत्र

\(\rm \int \frac{dx}{{1 + x^{2}}} = tan^{-1} x + C\)

त्रिकोणमिति सूत्र

tan ( \(\rm \frac{\pi}{4}\) ) = 1

गणना:

दिया हुआ

⇒ \(\rm \int_{0}^{a} \frac{1}{1 + x^{2}}\: dx = \frac{\pi}{4}\)

⇒ \(\rm \left [tan^{-1}x \right ]_{0}^{a} = \frac{\pi }{4}\)

⇒ tan-1(a) - tan-1(0) = \(\rm \frac{\pi}{4}\)

⇒ tan-1(a) - 0 = \(\rm \frac{\pi}{4}\)

⇒ a = tan(\(\rm \frac{\pi}{4}\))

⇒ a = 1

a का मान 1 है

Additional Information

समाकलन सूत्र:

• ∫ dx = x + C
• ∫ a dx = ax+ C
• \(\rm \int x^{n} dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C \: (n \neq -1)\)
• ∫ sin x dx = – cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ sec2 x dx = tan x + C
• ∫ cosec2 x dx = - cot x + C
• ∫ sec x (tan x) dx = sec x + C
• ∫ cosec x ( cot x) dx = – cosec x + C
• ∫ (1/x) dx = ln |x| + C
• ∫ ex dx = ex + C
• \(\rm \int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = sin^{-1} x + C\)
• \(\rm \int \frac{dx}{{1 + x^{2}}} = tan^{-1} x + C\)
• \(\rm \int \frac{dx}{x \sqrt{x^{2} - 1}} = sec^{-1} x + C\)