Scalar or Dot Product MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Scalar or Dot Product - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, हम प्रतिस्थापित करते हैं:

समीकरण को सरल करने पर:

साइन पदों को अलग करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:

अब, अदिश गुणनफल की गणना करने पर:

∴   का मान 2 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

⇒

⇒

⇒

⇒

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

व्याख्या:

दिया गया है:

और लंबवत सदिश हैं।

⇒ = 0

⇒

⇒

अब इकाई सदिश हैं

⇒

⇒ 6 cosθ = 3

⇒Cosθ = 1/2

अब

cos2 θ = 2Cos²θ -1

= 2x (1/2)² -1

=

अब,

cosθ + cos2θ = 1/2 -1/2 =0

∴ सही उत्तर विकल्प a है

संकल्पना:

​

यदि  है, तो सदिश a, b के लंबवत है। 

गणना:

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

अब हमारे पास निम्न हैं,

∴  सदिश a, b के लंबवत है। 

अतः विकल्प (3) सही है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

• सदिश का पर प्रक्षेपण द्वारा दिया जाता है।

•

गणना:

दिया गया है:

और

के पर प्रक्षेपण की लंबाई

हमारे पास

इसलिए,

हमारे पास

हम जानते हैं कि

इसलिए,

हमारे पास

वर्ग करके जोड़ने पर, हमें मिलता है

⇒

⇒

इसलिए विकल्प 3 सही है।

अवधारणा:

बिंदु गुणनफल: इसे आंतरिक गुणनफल या अदिश गुणनफल भी कहा जाता है

माना कि दो सदिश  और  हैं

दो सदिशों का बिंदु गुणनफल निम्न द्वारा दिया जाता है:  = |a||b| cos θ

जहाँ || = सदिश a का परिमाण, || = सदिश b का परिमाण और θ, a और b के बीच का कोण है

बिंदु गुणनफल के सूत्र:

गणना:

दिया गया है कि,

(â + b̂ + ĉ) = 0    ----(1)

हम जानते हैं कि,

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

⇒ (â + b̂ + ĉ)2 = â ⋅ â + b̂ ⋅ b̂ + ĉ ⋅ ĉ + 2(â ⋅ b̂ + b̂ ⋅ ĉ + ĉ ⋅ â) 

समीकरण (1) से 

⇒ 1 + 1 + 1 + 2 (â ⋅ b̂ + b̂ ⋅ ĉ + ĉ ⋅ â) = 0

 ⇒ (â ⋅ b̂ + b̂ ⋅ ĉ + ĉ ⋅ â) = - 3/2    

अवधारणा:

यदि और  परस्पर लंबवत इकाई सदिश हैं तो  है

,  

गणना:

 पर विचार करें

दिया गया है   और  परस्पर लंबवत इकाई सदिश हैं।

इसलिए,  

और  और  इकाई सदिश हैं

इसलिए, 

= 

= 15 - 12 

= 3

संकल्पना:

दो सदिशों  और  के अन्योन्य गुणनफल को  से परिभाषित किया जाता है जहां  सदिश  का परिमाण है।

गणना:

हमें दिया गया है कि "दो सदिशों  और  का योग एक सदिश  है"। 

⇒ 

खुद के साथ दोनों पक्षों का बिंदु गुणनफल लेकर परिमाण अभी भी बराबर होंगे:

⇒ 

⇒ 

चूंकि , हमें मिला:

⇒ 

⇒ 

⇒ 

अब, 

= 

= 4 + 4 - (-4)

= 12

⇒ 

संकल्पना:

यदि  दो सदिश हैं, तो   है। 

सूचना: यदि सदिश   एक-दूसरे के लंबवत है, तो  है। 

गणना:

दिया गया है:

माना कि θ सदिश  के बीच का कोण है। 

⇒ 

हम जानते हैं कि, 

⇒ 

⇒ 1 = 3 cos θ 

⇒  

⇒ 

अतः विकल्प 3 सही है। 

अवधारणा :

• यदि एक इकाई सदिश है तो

गणना :

दिया गया: और एक इकाई सदिश है

⇒

जैसा कि हम जानते हैं कि,

⇒

जैसा कि हम जानते हैं कि, अगर एक इकाई सदिश है तो

⇒

इसलिए, सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

• सदिश का स्वयं के लिए पार गुणनफल = 0 
• संरेखीय सदिश का पार गुणनफल = 0 
• संरेखीय सदिश का बिंदु गुणनफल = उनके परिमाणों का गुणनफल 
• बिंदु गुणनफल के लिए 
• पार गुणनफल के लिए 
•  की दिशा में इकाई सदिश 
•  की दिशा में सदिश = ( का परिमाण) ×

गणना:

दिया गया है:

⇒ 

⇒ 

⇒ 

इसका अर्थ है कि  और   संरेखीय सदिश हैं। 

∴  

⇒  

⇒ \(\boldsymbol{\rm\vec a + \vec b = 2\hat i + 3\hat j + 4\hat k}\)

⇒  

⇒  

⇒ 

अवधारणा:

बिंदु गुणनफल: इसे आंतरिक गुणनफल या अदिश गुणनफल भी कहा जाता है

माना कि दो सदिश  और  हैं

दो सदिशों का बिंदु गुणनफल निम्न द्वारा दिया जाता है:  = |a||b| cos θ

जहाँ || = सदिश a का परिमाण, || = सदिश b का परिमाण और θ, a और b के बीच का कोण है

बिंदु गुणनफल के सूत्र:

गणना:

माना 

इसी प्रकार, 

इसलिए 

= xî + yĵ + zk̂ 

इसलिए, निम्न का आवश्यक मान

= (xî + yĵ + zk̂ ).(xî + yĵ + zk̂ )

= x2 + y2 + z2 = |a|²

अवधारणा:

• अन्य सदिश  पर एक सदिश का प्रक्षेपण इस प्रकार दिया गया है:

गणना:

दिया हुआ: और

यहां, हमें अन्य सदिश  पर एक सदिश का प्रक्षेपण ढूंढना होगा जो इस प्रकार दिया गया है: 

⇒

⇒

इसलिए, विकल्प 3 सही है।

अवधारणा:

दो सदिश का अदिश गुणनफल निम्न द्वारा दिया जाता है 

यदि सदिश लंबवत हैं तो

गणना:

दिया गया है कि: ऐसे दो सदिश हैं कि

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

तो ,  के लंबवत होना चाहिए।

अत: सही विकल्प 3 है।

संकल्पना:

दो सदिश a और b के बिंदु गुणनफल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

जहाँ θ सदिश a और b के बीच का कोण है।

दो सदिशों केबिंदु गुणनफल के कुछ गुण इस प्रकार हैं:

• a.b = b.a (क्रमचयी)

• a.(b + c) = a.b + a.c (वितरक)

दिया गया:

,

गणना:

हमारे पास