Step Response of First Order Circuits MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Step Response of First Order Circuits - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

प्रयुक्त अवधारणा:

एक प्रेरक और संधारित्र के साथ एक AC परिपथ में, तत्वों का प्रतिबाधा वोल्टता और धारा वितरण को प्रभावित करता है।

प्रतिबाधा (Z): AC धारा के लिए परिपथ घटकों द्वारा दिया गया कुल विरोध:

Z = R + jX

एक AC परिपथ में धारा AC परिपथों के लिए ओम के नियम का पालन करती है:

I = V / Z

गणना:

दिया गया है,

कोणीय आवृत्ति, ω = 80 rad/s

प्रदान किए गए मानों का उपयोग करने पर:

पहली शाखा में प्रतिबाधा:

Z₁ = √(125² +50²)= 25√29

दूसरी शाखा में प्रतिबाधा:

Z₂ = √(80²+ 50²) = 10√89

⇒ पहली शाखा में धारा:

I₁ = (80 / Z₁)

⇒ I₁ = (16 / 5√29) A , 45° अग्रगामी पर

⇒ दूसरी शाखा में धारा:

I₂ = 80 / Z₂

⇒ I₂ = (8 / √89) A, 45° पश्चगामी पर

1H पर वोल्टता पात है

VH= I2 × XL= (8 / √89) × 80 =640/√89 = 67.8 V 

उत्तर (2)

हल:

श्रेणीक्रम में जुड़े प्रतिरोधक (R) और प्रेरक (प्रेरकीय प्रतिघात X_L) वाले प्रत्यावर्ती धारा परिपथ में लगाए गए वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर (ϕ) निम्न द्वारा दिया जाता है: ϕ = tan⁻¹(X_L / R)

दिया गया है: प्रतिरोध, R = 5 Ω; प्रेरकीय प्रतिघात, X_L = 5 Ω मान रखने पर: ϕ = tan⁻¹(5 / 5) ϕ = tan⁻¹(1) ϕ = π / 4 रेडियन

इसलिए, कलांतर π / 4 रेडियन है।

• श्रेणी R-L-C परिपथ में अनुनाद पर, प्रेरणिक प्रतिघात (X_L) और धारिता प्रतिघात (X_C) बराबर होते हैं और एक दूसरे को रद्द कर देते हैं।
• अनुनाद उस आवृत्ति पर होता है जहाँ X_L = X_C होता है।
• संधारित्र में वोल्टेज (V_C) को संबंध V_C = I × X_C का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है, जहाँ I परिपथ में प्रवाहित धारा है।
• अनुनाद पर, परिपथ में धारा (I), V_s / R है, जहाँ V_s आपूर्ति वोल्टेज है और R प्रतिरोध है।
• संधारित्र की प्रतिघात X_C = 1 / (ωC), जहाँ ω = 1 / √(LC).

अनुनाद आवृत्ति (ω) ज्ञात करने के लिए:

• ω = 1 / √(LC)
• ω = 1 / √(400 H × 4 F)
• ω = 1 / √(1600)
• ω = 1 / 40 रेडियन/सेकेंड

अनुनाद पर:

• XL = XC = 1 / (ωC)

XCकी गणना:

XC = 1 / (ω × C)
XC = 1 / (1/40 × 4)
XC = 40 / 4
XC = 10 Ω

परिपथ (I) से होकर प्रवाहित धारा है:

• I = Vs / R
• I = 400 V / 5 Ω
• I = 80 A

संधारित्र पर वोल्टेज (V_C) है:

VC = I × XC
VC = 80 A × 10 Ω
VC = 800 V

इसलिए, अनुनाद पर संधारित्र में वोल्टता 800 V है।

संकल्पना:

श्रेणी RL परिपथ की प्रतिबाधा प्रत्यावर्ती धारा के प्रवाह का विरोध करता है।

एक श्रेणी RL परिपथ का प्रतिबाधा प्रतिरोध (R) और प्रेरणिक प्रतिघात (X_L) के संयुक्त प्रभाव के अलावा और कुछ नहीं है, अर्थात पूरे परिपथ का ωL।

ओम में प्रतिबाधा Zeq निम्न द्वारा दी जाती है,

Zeq = √(R2+XL2)

विश्लेषण:

यदि;

लागू वोल्टता की आवृत्ति (f) बढ़ जाती है→ ω ↑  → XL ↑ → Zeq ↑ 

संकल्पना:

प्रवेश्यता को एक ऐसी माप के रूप में परिभाषित किया गया है कि एक परिपथ या युक्ति कितनी सुगमता से धारा को प्रवाहित करने की अनुमति प्रदान करती है।

प्रवेश्यता, प्रतिबाधा का व्युत्क्रम (प्रतिलोम) है, ठीक उसी तरह जैसे चालकता और प्रतिरोध आपस में संबंधित हैं।

तुल्य प्रवेश्यता की गणना करने के लिए समांतर परिपथों में चालकता और अनुक्रियता को जोड़ा जाता है।

समानांतर RL परिपथ तुल्य प्रवेश्यता के लिए;

Y = G - jB

जहाँ;

Y → प्रवेश्यता (1/Z)

G→ चालनता (1/R)

B→ अनुक्रियता  (1/ωL)

विश्लेषण:

यदि;

प्रयुक्त वोल्टेज की आवृत्ति (f) घट जाती है → ω↓ → XL↓ → B↑ → Y↓→ Z↑

श्रेणी RL परिपथ:

मान लीजिए वोल्टेज Vs(t) = Vm sin ωt है

क्षणिक धारा समीकरण निम्न है

\(i_{tr}\left( t \right) = \dfrac{{{V_m}}}{{\sqrt {{R^2}+{ω ^2}{L^2}} }}\ \sin \left( { θ -α} \right) ~{e^{ - \frac{R}{L}t}}\)

जहाँ

Vm = वोल्टेज का शिखर मान

θ = प्रतिबाधा कोण का शिखर मान

ω = कोणीय आवृत्ति

R = प्रतिरोध

L = अधिष्ठापन

α = तत्काल जिस पर परिपथ बंद हो जाता है

θ = प्रतिबाधा कोण

घातीय क्षय शब्द क्षणिक शब्द का प्रतिनिधित्व करता है और शेष स्थिर-अवस्था शब्द है।

प्रतिक्रिया नीचे दिखाई गई है;

स्थिर अवस्था में, RLC परिपथ तत्व एक प्रतिक्रिया देते हैं जो इनपुट आवृत्ति के लिए तुल्यकालन में होती है।

क्योंकि क्षणिक विश्लेषण अभिव्यक्तियों में घातीय क्षय शब्द होते हैं।

क्षणिक धारा का आकार मुख्य रूप से वोल्टेज चक्र में उस क्षण पर निर्भर करता है जिस पर परिपथ बंद होता है अर्थात यह α मान पर निर्भर करता है।

संकल्पना:

क्षणिक में प्रेरक के माध्यम से धारा को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(i\left( t \right) = i(\infty ) + \left( {i\left( 0 \right) - i\left( ∞ \right)} \right){e^{ - \frac{{tR}}{L}}}\) ....(1)

i(∞) = प्रेरक का स्थिर-अवस्था/अंतिम मान

i(0) = प्रारंभिक संग्रहित धारा 

साथ ही, एक प्रेरक वोल्टेज में तत्काल परिवर्तन की अनुमति प्रदान नहीं करता है, अर्थात्

i(0-) = i(0+)

τ = समय स्थिरांक 

RL श्रृंखला परिपथ में समय स्थिरांक को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(τ=\dfrac{L}{R}\)

गणना:

t < 0 के लिए:

प्रारंभ में t < 0 के लिए स्विच लंबे समय के लिए बंद है। 

4 Ω वाले प्रतिरोधक और 30 V वाले स्रोत को बाहर निकलते हैं और प्रेरक को लघु-परिपथित किया जाता है। 

परिपथ में प्रवाहित होने वाली धारा निम्न होगी:

\(i_L(0^-)=\dfrac{10}{1}=10~A\)

t > 0 के लिए:

एक अनंत समय के बाद जब स्विच बंद होता है तो प्रेरक लघु-परिपथित होता है और धारा निम्न होगी:

\(i_L(\infty)=\dfrac{10+30}{4+1}=8~A\)

τ = L/R

\(\rm \tau = \frac{{\frac{1}{2}}}{5} = \frac{1}{{10}}\)

समीकरण (1) से

i_L(t) = 8 + [10 - 8] e^-10t

i_L(t) = 8 + 2e^-10t

संकल्पनाः

एक संधारित्र वोल्टेज में अचानक परिवर्तन की अनुमति नहीं देता है,अर्थात्

V_c(0^-) = V_c(0⁺)

उसी प्रकार, एक प्रेरक धारा में अचानक परिवर्तन की अनुमति नहीं देता है,अर्थात्

i_L(0^-) = i_L(0⁺)

विश्लेषण:

For t = 0^- के लिए संधारित्र में कोई प्रारंभिक वोल्टेज नहीं होता है,अर्थात्

V_c(0^-) = 0

∴ V_c(0⁺) = 0V

संधारित्र में स्थिर-स्थिति वोल्टेज को दिखाए गए संधारित्र को खुला-परिपथ करके प्राप्त किया जा सकता है:

वोल्टेज विभाजन के नियम से:

\({V_c}\left( \infty \right) = \frac{{5 \times 2}}{{2 + 1}} = \frac{{10}}{3}V\)

संधारित्र में वोल्टेज होगा:

\({V_C}\left( t \right) = {V_C}\left( \infty \right) - \left( {{V_C}\left( \infty \right) - {V_C}\left( 0 \right)} \right){e^{\frac{{ - t}}{{{R_{eq}}C}}}}\)

\(\therefore {V_C}\left( t \right) = \frac{{10}}{3} - \left( {\frac{{10}}{3} - 0} \right){e^{\frac{{ - t}}{{{R_{eq}}C}}}}\)

\({V_C}\left( t \right) = \frac{{10}}{3}\left( {1 - {e^{\frac{{ - t}}{\tau }}}} \right)\)

τ = R_eq C = समय स्थिरांक

R_eq = संधारित्र के समतुल्य प्रतिबाधा जो निम्न प्रकार से प्राप्त होती है:

\({R_{eq}} = \frac{{2 \times 1}}{{2 + 1}} = \frac{{2k}}{3}\)

\(\therefore \tau = \frac{{2k}}{3} \times 1\mu = \frac{2}{3}msec\)

चूँकि संधारित्र प्रतिरोध R2 के समानांतर में संयोजित होता है,तो R2 में वोल्टेज भी V_C(t) होगा।

∴ आवश्यक धारा I होगी:

\(I = \frac{{{V_C}\left( t \right)}}{{{R_2}}}\)

\(I = \frac{{10}}{{3 \times 2k}}\left( {1 - {e^{\frac{{ - t}}{\tau }}}} \right)\)

\(I = \frac{5}{3}\left( {1 - {e^{\frac{{ - t}}{\tau }}}} \right)mA\)

\(\tau = \frac{2}{3}msec\)

• श्रेणी R-L-C परिपथ में अनुनाद पर, प्रेरणिक प्रतिघात (X_L) और धारिता प्रतिघात (X_C) बराबर होते हैं और एक दूसरे को रद्द कर देते हैं।
• अनुनाद उस आवृत्ति पर होता है जहाँ X_L = X_C होता है।
• संधारित्र में वोल्टेज (V_C) को संबंध V_C = I × X_C का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है, जहाँ I परिपथ में प्रवाहित धारा है।
• अनुनाद पर, परिपथ में धारा (I), V_s / R है, जहाँ V_s आपूर्ति वोल्टेज है और R प्रतिरोध है।
• संधारित्र की प्रतिघात X_C = 1 / (ωC), जहाँ ω = 1 / √(LC).

अनुनाद आवृत्ति (ω) ज्ञात करने के लिए:

• ω = 1 / √(LC)
• ω = 1 / √(400 H × 4 F)
• ω = 1 / √(1600)
• ω = 1 / 40 रेडियन/सेकेंड

अनुनाद पर:

• XL = XC = 1 / (ωC)

XCकी गणना:

XC = 1 / (ω × C)
XC = 1 / (1/40 × 4)
XC = 40 / 4
XC = 10 Ω

परिपथ (I) से होकर प्रवाहित धारा है:

• I = Vs / R
• I = 400 V / 5 Ω
• I = 80 A

संधारित्र पर वोल्टेज (V_C) है:

VC = I × XC
VC = 80 A × 10 Ω
VC = 800 V

इसलिए, अनुनाद पर संधारित्र में वोल्टता 800 V है।

अवधारणा:

DC स्रोत के साथ श्रृंखला R-L परिपथ नीचे दिखाया गया है।

सूत्र:

प्रतिरोधक के पार वोल्टेज इस प्रकार है

\({V_R} = i.R\)

प्रेरक के पार वोल्टेज इस प्रकार है

\(\begin{array}{l} {V_L} = L.\frac{{di}}{{dt}}\;\\ V = {V_R} + {V_L}\\ V = i.R + L\frac{{di}}{{dt}} \end{array}\)

R-L परिपथ के माध्यम से गुजरने वाली प्रत्यावर्ती धारा के लिए सूत्र इस प्रकार है

\(i = \frac{V}{R}\left( {1 - {e^{ - \left( {\frac{R}{L}} \right)t}}} \right)\)

गणना:

\(\begin{array}{l} i = \frac{V}{R}\left( {1 - {e^{ - \left( {\frac{R}{L}} \right)t}}} \right)\\ i = \frac{{120}}{{20}}\left( {1 - {e^{ - \left( {\frac{{20}}{8}} \right)0.6}}} \right)\\ i = 6\left( {1 - {e^{ - 1.5}}} \right)\\ i = 4.66\;A \end{array}\)

समान्तर RC परिपथ

\(I_R={V\over R}\angle0\)

\(I_C={V\over 1/j\omega C}={j\omega CV}\)

\(I_C=\angle90 \space ({\omega CV})\)

आपूर्ति धारा है:

I = IR + j IC

\(I = {V\over R}+j\omega CV\)

\(\rm I=V\left(\frac{1}{R}+\omega C<90^{\circ}\right)\)

संकल्पना:- कुण्डल प्रेरणिक प्रतिघात और प्रतिरोध से बना होता है।

यानी जब यह DC आपूर्ति से जुड़ा होता है, तो प्रेरक लघु परिपथ के रूप में कार्य करेगा

अत: कुण्डल का प्रतिरोध =  Ω

AC आपूर्ति के लिए, प्रेरक परिमित प्रतिघात की पेशकश करेगा जो आपूर्ति की आवृत्ति पर निर्भर करेगा।

यानी, XL = ωL

अब,

Z = V/I = 32/5 = 6.4 Ω

हम जानते हैं कि,

शक्ति गुणक = R/Z = 5/6.4 = 0.78

और,

X2 = Z2 - R2

अत,

X = \(\sqrt{6.4^2-5^2}\) = 4 Ω

धारणा:

एक श्रृंखला RL परिपथ के लिए शुद्ध प्रतिबाधा इसके द्वारा दी गई है:

Z = R + j (XL)

XL = प्रेरणिक प्रतिघात इसके द्वारा दिया गया है:

XL = ωL

प्रतिबाधा का परिमाण निम्न होगा:

\(|Z|=\sqrt{R^2+(X_L)^2}\)

गणना:

R = 3 Ω और XL = 4 Ω के साथ, हम प्राप्त करते है

\(|Z|=\sqrt{(3)^2+(4)^2}\)

\(|Z|=\sqrt{25}\)

|Z| = 5 Ω

महत्वपूर्ण नोट:

एक श्रृंखला RLC परिपथ के लिए शुद्ध प्रतिबाधा इसके द्वारा दी गई है:

Z = R + j (XL - XC)

XL = प्रेरणिक प्रतिघात इसके द्वारा दिया गया है:

XL = ωL

XC = संधारित प्रतिघात इसके द्वारा दिया गया है:

\(X_C=\frac{1}{\omega C}\)

प्रतिबाधा का परिमाण होगा:

\(|Z|=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\)

संकल्पना:

प्रवेश्यता को एक ऐसी माप के रूप में परिभाषित किया गया है कि एक परिपथ या युक्ति कितनी सुगमता से धारा को प्रवाहित करने की अनुमति प्रदान करती है।

प्रवेश्यता, प्रतिबाधा का व्युत्क्रम (प्रतिलोम) है, ठीक उसी तरह जैसे चालकता और प्रतिरोध आपस में संबंधित हैं।

तुल्य प्रवेश्यता की गणना करने के लिए समांतर परिपथों में चालकता और अनुक्रियता को जोड़ा जाता है।

समानांतर RL परिपथ तुल्य प्रवेश्यता के लिए;

Y = G - jB

जहाँ;

Y → प्रवेश्यता (1/Z)

G→ चालनता (1/R)

B→ अनुक्रियता  (1/ωL)

विश्लेषण:

यदि;

प्रयुक्त वोल्टेज की आवृत्ति (f) घट जाती है → ω↓ → XL↓ → B↑ → Y↓→ Z↑

फेजर आरेख इस प्रकार है:

1) लागू वोल्टेज और समानांतर में R और C के पार वोल्टेज के बीच कोई फेज अंतर नहीं है।

2) प्रतिरोधक शाखा के माध्यम से धारा लागू संकेत के साथ फेज में है।

3) लेकिन धारिता शाखा के माध्यम से धारा अपने वोल्टेज Vc से 90 डिग्री  अग्र है।