Transient Analysis in S-Domain MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Transient Analysis in S-Domain - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा

संधारित्र से गुजरने वाली धारा निम्न द्वारा दी जाती है:

\(I_C=C{dV_C\over dt}\)

जहाँ, \({dV_C\over dt}=\) संधारित्र वोल्टेज परिवर्तन की दर

गणना

दिया गया है, C = 0.5F

\(\rm V_c(s)=\frac{1}{s^2+1}=sin( t)\)

\({dV_C\over dt}= cos( t)\)

\(I_C=0.5cos(t)\)

t = 0+ पर संधारित्र से गुजरने वाली धारा का मान होगा:

\(I_C=0.5cos(0)\)

\(I_C=0.5\space A\)

संकल्पना :

एक स्रोत मुक्त श्रृंखला RLC परिपथ के व्यवहार को परिभाषित करने वाला अभिलाक्षणिक समीकरण इसके द्वारा दिया गया है:

\({s^2} + 2α s + ω _c^2 = 0\)

जहाँ:

α = अवमंदन कारक जो निम्न द्वारा दिया जाता है

\(α = \frac{R}{{2L}}\)

ω0 = अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति या अनुनादी आवृत्ति निम्न द्वारा दी गई है:

\({ω _0} = \frac{1}{{\sqrt {LC} }}\)

विश्लेषण :

अभिलाक्षणिक समीकरण के मूल निम्न होंगे:

\(s = \frac{{ - 2α \pm \sqrt {{{\left( {2α } \right)}^2} - 4\left( 1 \right)\left( {ω _c^2} \right)} }}{2}\)

\(s = \frac{{ - 2α \pm \sqrt {4{α ^2} - 4ω _c^2} }}{2}\)

\(s = \frac{{ - 2α \pm \sqrt {{α ^2} - ω _c^2} }}{2}\)

\(s = - α \pm \sqrt {{α ^2} - ω _0^2} \)

\({s_1} = - α + \sqrt {{α ^2} - ω _0^2} \)

\({s_2} = - α - \sqrt {{α ^2} - ω _0^2} \)

उपरोक्त दो समीकरणों से, हमारे पास तीन प्रकार के समाधान हो सकते हैं

1) अगर α > ω0 तो हमारे पास अतिअवमंदित स्थिती है

2) अगर α = ω0 तो हमारे पास क्रांतिक रूप से अवमंदित स्थिती है

3) यदि α < ω0 तो हमारे पास अधो अवमंदित स्थिती है।

गणना :

R = 4 Ω, L = 2 H, और C = 2 F के साथ, हमें प्राप्त होता है:

\(α = \frac{R}{{2L}} = \frac{4}{2 \times 2}\)

α = 1

साथ ही:

\({ω _0} = \frac{1}{{\sqrt {LC} }} = \frac{1}{\sqrt{2\times2}}\)

ω 0 = 0.5 रेड/सेकंड

चूँकि α > ω0 , हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि परिणामी धारा प्रतिक्रिया अति-अवमन्दित होगी।

संकल्पना: 

• जब एक श्रृंखला RL नेटवर्क t >0 के लिए DC आपूर्ति से जुड़ा होता है, तो यह एक आवेशन परिपथ या स्रोत नेटवर्क होता है।
• जब भी पहला क्रम आवेशन या निर्वहन परिपथ होता है, क्षणिक समीकरण लागू होता है।
• पहले क्रम का अर्थ है परिपथ में ऊर्जा-भंडारण तत्व की संख्या का एक होना चाहिए यानी या तो संधारित्र या प्रेरकत्व मौजूद होना चाहिए।

पहले क्रम के RL परिपथ के लिए क्षणिक समीकरण इस प्रकार है :

IL(t) = IL(∞) + { IL(0+) - IL(∞) }e-t/τ 

• जहाँ, IL(∞) = प्रेरक के आर-पार स्थिर अवस्था धारा
• I_L(0+) = IL(0-) = प्रेरक के आर-पार प्रारंभिक धारा
• t = समय अवधि
• τ = समय स्थिरांक
• RL परिपथ (τ) का समय स्थिरांक निम्न द्वारा दिया जाता है:

= \( {L \over R}\)

• जहां L और R क्रमशः प्रेरकत्व और प्रतिरोध हैं

गणना:

चरण 1: जब स्विच t = 0- पर बंद नहीं होता है 

t = 0- पर स्विच बंद नहीं होता है, इसलिए 50 V DC स्रोत परिपथ में धारा प्रवाहित नहीं कर सकता है

तो, प्रेरक के आर-पार प्रारंभिक धारा शून्य है।

IL(0+) = IL(0-) = 0 A

चरण 2: जब स्विच t > 0 पर बंद हो जाता है

स्थिर अवस्था में, प्रारंभ करनेवाला हमेशा शॉर्ट सर्किट के रूप में कार्य करता है।

IL(∞) = \( {V \over R}\)

IL(∞) = \( {50 \over 10}\)

IL(∞) = 5 A

चरण 3: समय स्थिरांक की गणना

= \( {1 \over 10}\)

τ = 0.1 

IL(t) = IL(∞) + { IL(0+) - IL(∞) }e-t/τ 

IL(t) = 5 + {0 - 5}e-t/τ

IL(t) = 5(1 - e-t/τ)

IL(t) t= 0.1 सेकंड पर है:

IL(t) = 5(1 - e-0.1/0.1)

IL(t) = 5(1 - e-1)

∵ e-1 = 0.367

IL(t) = 5(1 - 0.367)

IL(t) = 3.16 A 

Key Points

•  दूसरे क्रम के नेटवर्क के लिए, क्षणिक समीकरण मान्य नहीं हैं।
• ऐसे मामलों में, लाप्लास रूपांतर दृष्टिकोण का उपयोग प्रेरक और संधारित्र में धारा और वोल्टेज के मूल्यांकन के लिए किया जाता है।

Q = 2.5 mC

\(V_{initial} = \frac{2.5 × 10^{-3}C}{50 × 10^{-6}F}\) = 50 V

Vinitial = 50 V 

इस प्रकार शुद्ध वोल्टेज = 100 + 50 = 150 V

t = 0⁺ पर प्रारंभिक धारा होगी:

I = 150/10 = 15 A

किसी भी समय धारा 't' अब निम्न होगी:

\(i(t) = \frac{150}{50}\) exp(-2 × 103t) A = 15 exp(-2 × 103t)A

बलात् प्रतिक्रिया:

• एक नेटवर्क में मौजूद स्रोत के साथ इसकी प्रतिक्रिया को बलात् प्रतिक्रिया (F.R) कहा जाता है और यह स्थिर-अवस्था प्रतिक्रिया प्रदान करती है।
• यह प्रतिक्रिया निष्क्रिय तत्व की प्रकृति से स्वतंत्र होता है, लेकिन यह पूर्ण रूप से इनपुट के प्रकार पर निर्भर करता है।
• हल के इस भाग को अवकल समीकरण के विशिष्ट समाकल भाग (P.I) को ज्ञात करके ज्ञात किया जाता है।

प्राकृतिक प्रतिक्रिया:

• एक नेटवर्क में मौजूद स्रोत के साथ इसकी प्रतिक्रिया को प्राकृतिक प्रतिक्रिया (NR) कहा जाता है और यह क्षणिक प्रतिक्रिया प्रदान करता है।
• यह प्रतिक्रिया निष्क्रिय तत्व की प्रकृति पर निर्भर करता है और यह इनपुट के प्रकार से स्वतंत्र होता है।
• प्रतिक्रिया के इस भाग को अवकल समीकरण में पूरक फलन को हल करके ज्ञात किया जाता है।

यह स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि,

प्राकृतिक प्रतिक्रिया स्पष्ट रूप से प्रणाली फलन ध्रुव को दर्शाता है,

बलात् प्रतिक्रिया प्रतिबंधित फलन ध्रुवों को दर्शाती है।

प्रणाली की कुल प्रतिक्रिया क्रमश: प्रणाली ध्रुव, प्रतिबंधित फलन ध्रुव और शून्य को दर्शाता है।

संकल्पना: 

• जब एक श्रृंखला RL नेटवर्क t >0 के लिए DC आपूर्ति से जुड़ा होता है, तो यह एक आवेशन परिपथ या स्रोत नेटवर्क होता है।
• जब भी पहला क्रम आवेशन या निर्वहन परिपथ होता है, क्षणिक समीकरण लागू होता है।
• पहले क्रम का अर्थ है परिपथ में ऊर्जा-भंडारण तत्व की संख्या का एक होना चाहिए यानी या तो संधारित्र या प्रेरकत्व मौजूद होना चाहिए।

पहले क्रम के RL परिपथ के लिए क्षणिक समीकरण इस प्रकार है :

IL(t) = IL(∞) + { IL(0+) - IL(∞) }e-t/τ 

• जहाँ, IL(∞) = प्रेरक के आर-पार स्थिर अवस्था धारा
• I_L(0+) = IL(0-) = प्रेरक के आर-पार प्रारंभिक धारा
• t = समय अवधि
• τ = समय स्थिरांक
• RL परिपथ (τ) का समय स्थिरांक निम्न द्वारा दिया जाता है:

= \( {L \over R}\)

• जहां L और R क्रमशः प्रेरकत्व और प्रतिरोध हैं

गणना:

चरण 1: जब स्विच t = 0- पर बंद नहीं होता है 

t = 0- पर स्विच बंद नहीं होता है, इसलिए 50 V DC स्रोत परिपथ में धारा प्रवाहित नहीं कर सकता है

तो, प्रेरक के आर-पार प्रारंभिक धारा शून्य है।

IL(0+) = IL(0-) = 0 A

चरण 2: जब स्विच t > 0 पर बंद हो जाता है

स्थिर अवस्था में, प्रारंभ करनेवाला हमेशा शॉर्ट सर्किट के रूप में कार्य करता है।

IL(∞) = \( {V \over R}\)

IL(∞) = \( {50 \over 10}\)

IL(∞) = 5 A

चरण 3: समय स्थिरांक की गणना

= \( {1 \over 10}\)

τ = 0.1 

IL(t) = IL(∞) + { IL(0+) - IL(∞) }e-t/τ 

IL(t) = 5 + {0 - 5}e-t/τ

IL(t) = 5(1 - e-t/τ)

IL(t) t= 0.1 सेकंड पर है:

IL(t) = 5(1 - e-0.1/0.1)

IL(t) = 5(1 - e-1)

∵ e-1 = 0.367

IL(t) = 5(1 - 0.367)

IL(t) = 3.16 A 

Key Points

•  दूसरे क्रम के नेटवर्क के लिए, क्षणिक समीकरण मान्य नहीं हैं।
• ऐसे मामलों में, लाप्लास रूपांतर दृष्टिकोण का उपयोग प्रेरक और संधारित्र में धारा और वोल्टेज के मूल्यांकन के लिए किया जाता है।

Q = 2.5 mC

\(V_{initial} = \frac{2.5 × 10^{-3}C}{50 × 10^{-6}F}\) = 50 V

Vinitial = 50 V 

इस प्रकार शुद्ध वोल्टेज = 100 + 50 = 150 V

t = 0⁺ पर प्रारंभिक धारा होगी:

I = 150/10 = 15 A

किसी भी समय धारा 't' अब निम्न होगी:

\(i(t) = \frac{150}{50}\) exp(-2 × 103t) A = 15 exp(-2 × 103t)A

t = 0 पर, स्थिर अवस्था पर पहुँच जाता है

\({I_2}\left( {{0^ - }} \right) = \frac{{12}}{{8 + 4}}\)

= 1 A

\({V_1}\left( {{0^ - }} \right) = \left( {\frac{6}{{6 + 3}}} \right){V_L}\)

\( = \left( {\frac{6}{9}} \right) \times 4\)

\( = \frac{8}{3}V\)

\({V_2}\left( {{0^ - }} \right) = \frac{3}{{6 + 3}} \times 4\)

\( = \frac{4}{3}V\)

t = 0 ⁺ पर, हम परिपथ इस प्रकार खींच सकते हैं

\({I_1} = \frac{{\frac{8}{3}}}{4} = \frac{2}{3}A\)

I1 + Is = 1 A

\({I_s} = \left( {1 - \frac{2}{3}} \right)A\)

\( = \frac{1}{3}A\)

चूंकि t = 0 पर स्विच बंद है।

अतः t > 0 पर परिपथ निम्न होगा।

s-डोमेन में उपरोक्त परिपथ को फिर से चित्रित करने पर –

\({Z_{eQ}} = \left( {s + 1} \right)\left( {1 + \frac{1}{s}} \right)\) \(\because {Z_1}\parallel {Z_2} = \frac{{{Z_1}{Z_2}}}{{{z_1} + {Z_2}}}\)

\({Z_{eQ}} = \left( {s + 1} \right)\left( {1 + \frac{1}{s}} \right) \Rightarrow \frac{{{{\left( {s + 1} \right)}^2}}}{{{s^2} + 2s + 1}}\)

\({Z_{eQ}} = \frac{{{{\left( {s + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2}}} = 1\)

\(I\left( s \right) = \frac{{V\left( s \right)}}{{{Z_{eQ}}}} = \frac{{10/s}}{1} = \frac{{10}}{s}\)

i(t) = 10 u(t) Amp

\(u\left( t \right)\;\mathop \leftrightarrow \limits^{\;\;L.T.\;\;} \;\frac{1}{s}\)

ध्यान दें:

चूंकि स्विच बंद है t ≥ 0

तो 10 V केवल t ≥ 0 के बाद काम करेगा इसलिए हम वोल्टेज स्रोत को 10 u(t) के रूप में लेते हैं। लाप्लास या s-डोमेन में \(V\left( s \right) = \frac{{10}}{s}\)

अवधारणा

संधारित्र से गुजरने वाली धारा निम्न द्वारा दी जाती है:

\(I_C=C{dV_C\over dt}\)

जहाँ, \({dV_C\over dt}=\) संधारित्र वोल्टेज परिवर्तन की दर

गणना

दिया गया है, C = 0.5F

\(\rm V_c(s)=\frac{1}{s^2+1}=sin( t)\)

\({dV_C\over dt}= cos( t)\)

\(I_C=0.5cos(t)\)

t = 0+ पर संधारित्र से गुजरने वाली धारा का मान होगा:

\(I_C=0.5cos(0)\)

\(I_C=0.5\space A\)

स्विच t = 0⁺ पर बंद है। 

\({C_{eq}} = \frac{{3\; \times \;6}}{{3\; + \;6}}\)

= 2 F

R_eq = 10 Ω

∴ समय स्थिरांक = R_eq C_eq

= 20 sec

\(I\left( s \right) = \frac{{10/s-3/s-2/s}}{{\left( {10\; + \;\frac{1}{{3\;s}}\; + \;\frac{1}{{6\;s}}} \right)}}\)

\( = \frac{{5/s}}{{\frac{{60\;s\; + \;2\; + \;1}}{{6\;s}}}}\)

\( = \left( {\frac{{30}}{{3\; + \;60\;s}}} \right)\)

प्रारंभिक मान ज्ञात करने के लिए, हम प्रारंभिक मान प्रमेय को लागू कर सकते हैं:

\(i\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } s\;I\left( s \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } \frac{{s\;30}}{{s\left( {\frac{3}{s}\; + \;60} \right)}}\)

= 0.5 A

v_c(0) = 0 i_L(0) = \(\frac{{4 \times 6}}{{6 + 2}} = 3\)

\(\eqalign{ & 0.02\frac{{d{v_c}(0)}}{{dt}} = {i_L}(0) = 3 \cr & \frac{{d{v_c}(0)}}{{dt}} = 150 \cr & \alpha = \frac{{6 + 14}}{{2 \times 2}} = 5 \cr & {w_o} = \frac{1}{{\sqrt {2 \times 0.02} }} = 5 \cr}\)

\(\alpha = {w_o}\) क्रांतिक रूप से अवमंदित

\(v(t) = 12 + (A + Bt){e^{ - 5t}}\)

0 = 12 +A, 150 = -5A + B

\(\eqalign{ & v(t) = 12 + (90t - 12){e^{ - 5t}} \cr & {i_L}(t) = 0.02( - 5){e^{ - 5t}}(90t - 12) + 0.02(90){e^{ - 5t}} = (3 - 9t){e^{ - 5t}} \cr}\)

संकल्पना :

एक स्रोत मुक्त श्रृंखला RLC परिपथ के व्यवहार को परिभाषित करने वाला अभिलाक्षणिक समीकरण इसके द्वारा दिया गया है:

\({s^2} + 2α s + ω _c^2 = 0\)

जहाँ:

α = अवमंदन कारक जो निम्न द्वारा दिया जाता है

\(α = \frac{R}{{2L}}\)

ω0 = अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति या अनुनादी आवृत्ति निम्न द्वारा दी गई है:

\({ω _0} = \frac{1}{{\sqrt {LC} }}\)

विश्लेषण :

अभिलाक्षणिक समीकरण के मूल निम्न होंगे:

\(s = \frac{{ - 2α \pm \sqrt {{{\left( {2α } \right)}^2} - 4\left( 1 \right)\left( {ω _c^2} \right)} }}{2}\)

\(s = \frac{{ - 2α \pm \sqrt {4{α ^2} - 4ω _c^2} }}{2}\)

\(s = \frac{{ - 2α \pm \sqrt {{α ^2} - ω _c^2} }}{2}\)

\(s = - α \pm \sqrt {{α ^2} - ω _0^2} \)

\({s_1} = - α + \sqrt {{α ^2} - ω _0^2} \)

\({s_2} = - α - \sqrt {{α ^2} - ω _0^2} \)

उपरोक्त दो समीकरणों से, हमारे पास तीन प्रकार के समाधान हो सकते हैं

1) अगर α > ω0 तो हमारे पास अतिअवमंदित स्थिती है

2) अगर α = ω0 तो हमारे पास क्रांतिक रूप से अवमंदित स्थिती है

3) यदि α < ω0 तो हमारे पास अधो अवमंदित स्थिती है।

गणना :

R = 4 Ω, L = 2 H, और C = 2 F के साथ, हमें प्राप्त होता है:

\(α = \frac{R}{{2L}} = \frac{4}{2 \times 2}\)

α = 1

साथ ही:

\({ω _0} = \frac{1}{{\sqrt {LC} }} = \frac{1}{\sqrt{2\times2}}\)

ω 0 = 0.5 रेड/सेकंड

चूँकि α > ω0 , हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि परिणामी धारा प्रतिक्रिया अति-अवमन्दित होगी।

संकल्पना:

उस समय-डोमेन समीकरण को निम्न रूप में दर्शाया है जो एक प्रेरक के लिए टर्मिनल वोल्टेज को टर्मिनल धारा से जोड़ता है:

\(v\left( t \right) = L\frac{{di\left( t \right)}}{{dt}}\)

लाप्लास रूपांतरण लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

\(V\left( s \right) = L\left( {sI\left( s \right) - i\left( {{0^ - }} \right)} \right)\)

\(V\left( s \right) = sLI\left( s \right) - Li\left( {{0^ - }} \right)\)      ---(1)

उपरोक्त समीकरण वोल्टेज sLI(s) और –Li(0-) का योग है। इसे निम्न रूप में दर्शाया गया है:

समीकरण (1) को भी निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

\(I\left( s \right) = \frac{1}{{sL}}V\left( s \right) + \;\frac{{i\left( {{0^ - }} \right)}}{s}\)

उपरोक्त समीकरण को दर्शाने वाले परिपथ को नीचे दर्शाया गया है:

अनुप्रयोग:

प्रेरक को इसके s - डोमेन समकक्ष से प्रतिस्थापित करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

0.4s और 40 Ω प्रतिरोधक का समानांतर समकक्ष निम्न होगा:

\({Z_1}\left( s \right) = \frac{{\left( {0.4s} \right)\left( {40} \right)}}{{40 + 0.4s}} = \frac{{40s}}{{s + 100}}\)

धारा विभाजन नियम लागू करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

\({I_0}\left( s \right) = \frac{{{Z_1}\left( s \right)}}{{\left( {{Z_1}\left( s \right) + 10} \right)}} \times \frac{{10}}{s}\)

\({I_0}\left( s \right) = \left[ {\frac{{\left( {\frac{{40s}}{{s + 100}}} \right)}}{{\frac{{40s}}{{s + 100}} + 10}}} \right] \times \frac{{10}}{s}\)