Trigonometric elements MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Trigonometric elements - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

जब A² + B² + C² = 0 है, इसका अर्थ A = B = C = 0 (चूँकि वास्तविक संख्याओं के वर्ग ऋणात्मक नहीं होते हैं) है। 

सारणिक की गणना के लिए आव्यूह में A, B और C के मान प्रतिस्थापित करें

गणना:

\(\begin{vmatrix} 1& cos0& cos0\\ cos0&1&cos0 \\ cos0&cos0&1 \end{vmatrix} \)

चूँकि, Cos0 =1

इस प्रकार आव्यूह बन जाता है

\(\begin{vmatrix} 1& 1& 1\\ 1&1&1 \\ 1&1&1 \end{vmatrix} \)

अब सारणिक = 1[(1×1 - 1×1)] - 1[(1×1 - 1×1)] + 1[(1×1 - 1×1)]

= 1(0) - 1(0) + 1(0) = 0

∴ सारणिक का मान 0 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

दिया गया है:

समाकल: ∫Sin(mx) x Cos(nx) dx

प्रयुक्त अवधारणा:

यहाँ त्रिकोणमितीय गुणनफल-से-योग सूत्र का उपयोग किया गया है:

Sin(A) × Cos(B) = 1/2 × [Sin(A+B) + Sin(A-B)]

गणना:

निम्न सूत्र का उपयोग करें:

Sin(mx) × Cos(nx) = 1/2 × [Sin(mx + nx) + Sin(mx - nx)]

मान प्रतिस्थापित करने पर:

⇒ Sin(mx) × Cos(nx) = 1/2 × [Sin((m+n)x) + Sin((m-n)x)]

दिए गए विकल्पों के साथ इस परिणाम की तुलना करने पर, सही उत्तर है:

विकल्प 4: 1/2[Sin(m+n)x + Sin(m-n)x]

निष्कर्ष:

∴ हल सूत्र को संतुष्ट करता है, और सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना

\(P=\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\)

∵ P^T P = I

B = PAP^T

पहले P^T से गुणा करें (दिया गया है)

P^TB = P^TP AP^T = AP^T

अब P से पश्च गुणा करें

P^TBP = AP^T P = A

इसलिए, A² = \(\underbrace{\mathrm{P}^{\mathrm{T}} \mathrm{BP} \mathrm{P}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{I}} \mathrm{BP}\)

A² = P^TB² P

इसी प्रकार, A¹⁰ = P^TB¹⁰ P = C

\(A=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & -2 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \text { (Given) }\)

⇒ \(A^{2}=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & -\sqrt{2}-2 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\)

इसी प्रकार A³ आदि की जाँच करें क्योंकि C = A¹⁰

⇒ C के विकर्ण अवयवों का योग \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{10}+1\)

= \(\frac{1}{32}+1=\frac{33}{32}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}\)

gcd(m, n) = 1 (दिया गया है)

⇒ m + n = 65

इसलिए, विकल्प 1 सही है। 

व्याख्या:

यहाँ , Δ = \(\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+\sin θ & 1 \\ 1+\cos θ & 1 & 1\end{array}\right|\) 

R₁ →  R₁ - R₂ का प्रयोग करने पर हम पाते हैं,

Δ = \(\left|\begin{array}{ccc}0 & -\sin θ & 0 \\ 1 & 1+\sin θ & 1 \\ 1+\cos θ & 1 & 1\end{array}\right|\)

Δ को पंक्ति  R₁ के अनुदिश प्रसारित करने पर

⇒ Δ = 0 - (-sinθ)(1 - 1 - cosθ) + 0

⇒ Δ =  - (-sinθ)(- cosθ)

⇒ Δ = -sinθcosθ

⇒ Δ =  \(-\frac{1}{2} (2 \sin θ \cos θ)\)

⇒ Δ = \(-\frac{1}{2}\sin2θ\)  

अब, Δ अधिकतम होगा जब sin2θ न्यूनतम होगा।

sin2θ का न्यूनतम मान = - 1

∴ Δ का अधिकतम मान = ( -1/2) ×  ( -1) = 1/2

अवधारणा:

1)त्रिभुज में प्रक्षेप्य नियम से, हम यह जानते हैं कि 

a = b cos C + c cos B,

b = c cos A + a cos C

c = a cos B + b cos A , जहाँ a, b, c क्रमश: कोण A, B और C की सम्मुख भुजाएँ हैं

2) सारणिक में किसी स्तंभ या पंक्ति के सभी अवयव 0 हों, तो सारणिक का मान शून्य होता है।

व्याख्या:

अब,यहां, Δ = \(\left|\begin{array}{ccc}−1 & \cos \rm C & \cos \rm B \\ \cos \rm C & −1 & \cos \rm A \\ \cos \rm B & \cos \rm A & −1\end{array}\right|\)

C₁ ​ → aC₁​ + bC₂ ​+ cC₃ ​का प्रयोग करने पर, 

⇒ Δ = \(\left|\begin{array}{ccc}\rm -a+b\cos \rm C+c\cos \rm B & \cos \rm C & \cos \rm B \\ a\cos \rm C -b+c\cos \rm A & −1 & \cos \rm A \\ a\cos \rm B+b\cos \rm A-c & \cos \rm A & −1\end{array}\right|\)

प्रक्षेप्य नियम का प्रयोग करने पर,

⇒ Δ = \(\left|\begin{array}{ccc}−a+a & \cos \rm C & \cos \rm B \\ b-b & −1 & \cos \rm A \\ c-c & \cos \rm A & −1\end{array}\right|\)

⇒ Δ = \(\left|\begin{array}{ccc}0 & \cos \rm C & \cos \rm B \\ 0 & −1 & \cos \rm A \\ 0 & \cos \rm A & −1\end{array}\right|\)

∴  Δ = 0 [∵ स्तंभ C1  के सभी अवयव 0 हैं]

संकल्पना:

cos² θ - sin² θ = cos 2θ

गणना:

दिया गया है: A = \(\begin{bmatrix} \cos θ & \sin θ\\ \sinθ & \cos θ \end{bmatrix}\) 

|A| = cos θ × cos θ - sin θ × sin θ

= cos2 θ - sin2 θ

= cos 2θ

गणना:

m sinθ + n cosθ = sin θ \(\rm \left[ \begin{array}{cc} 2 &0\\ 0&1\end{array}\right]\) + cos θ \(\rm \left[ \begin{array}{cc} 0 &1\\ -2&0\end{array}\right]\)

= \(\rm \left[ \begin{array}{cc} 2\sin θ &0\\ 0&\sin θ\end{array}\right]\)+\(\rm \left[ \begin{array}{cc} 0 &\cosθ\\ -2\cosθ&0\end{array}\right]\)

= \(\rm \left[\begin{array}{cc} 2\sin θ &\cos θ\\ -2\cos θ&\sin θ\end{array}\right]\)

अब,

|m sinθ + n cosθ| = \(\rm \left| \begin{array}{cc} 2\sin θ &\cos θ\\ -2\cos θ&\sin θ\end{array}\right|\)

= \(2\sin^2\theta \) + \(\rm 2 cos^2\theta \)

= 2(\(\sin ^2 \theta +\cos^2\theta \))

= 2

अतः विकल्प (4) सही है। 

इस्तेमाल किया गया सूत्र:

\(\rm A = \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\\ c_{1} & c_{2} & c_{3}\ \end{vmatrix}\)

det(A) = \(\rm a_{1}\begin{vmatrix} b_{2} & b_{3}\\ c_{2} & c_{3} \end{vmatrix} - a_{2} \begin{vmatrix} b_{1} & b_{3}\\ c_{1} & c_{3} \end{vmatrix} + a_{3} \begin{vmatrix} b_{1} & b_{2}\\ c_{1} & c_{2} \end{vmatrix}\)

= a1(b2 c3 - b3 c2) - a2(b1c3 - b3c1) + a3 (b1c2 - b2c1)

गणना:

\(\begin{vmatrix} cos C & tan A & 0\\ sin B & 0 & -tanA\\ 0 & sinB & cos C \end{vmatrix}\)

= cos C (0 + tan A sin B) - tan A (sin B cos C) 

= tan A sin B cos C - tan A sin B cos C

= 0

व्याख्या:

यहाँ , Δ = \(\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+\sin θ & 1 \\ 1+\cos θ & 1 & 1\end{array}\right|\) 

R₁ →  R₁ - R₂ का प्रयोग करने पर हम पाते हैं,

Δ = \(\left|\begin{array}{ccc}0 & -\sin θ & 0 \\ 1 & 1+\sin θ & 1 \\ 1+\cos θ & 1 & 1\end{array}\right|\)

Δ को पंक्ति  R₁ के अनुदिश प्रसारित करने पर

⇒ Δ = 0 - (-sinθ)(1 - 1 - cosθ) + 0

⇒ Δ =  - (-sinθ)(- cosθ)

⇒ Δ = -sinθcosθ

⇒ Δ =  \(-\frac{1}{2} (2 \sin θ \cos θ)\)

⇒ Δ = \(-\frac{1}{2}\sin2θ\)  

अब, Δ अधिकतम होगा जब sin2θ न्यूनतम होगा।

sin2θ का न्यूनतम मान = - 1

∴ Δ का अधिकतम मान = ( -1/2) ×  ( -1) = 1/2

गणना:

A = \(\begin{vmatrix} \cos x& \sin x \\ \sin x& \cos x \end{vmatrix}\)

A = cos² x - sin² x

A = cos 2x

अवधारणा : x,y ∈ R के लिए:

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y

व्याख्या:

यहां, Δ = \(\left|\begin{array}{ccc}\cos \rm x & −\sin \rm x & 1 \\ \sin \rm x & \cos \rm x & 1 \\ \cos (\rm x+y) & −\sin \rm (x+y) & 0\end{array}\right|\)

= \(\left|\begin{array}{ccc}\cos \rm x & −\sin \rm x & 1 \\ \sin \rm x & \cos \rm x & 1 \\ \cos \rm x\cos\rm y-\sin\rm x\sin\rm y & −\sin \rm x\cos\rm y-\cos\rm x\sin\rm y & 0\end{array}\right|\)

R₃ → R₃ - cosyR₁ - sinyR₂ का प्रयोग करने पर, 

⇒ Δ = \(\left|\begin{array}{ccc}\cos \rm x & −\sin \rm x & 1 \\ \sin \rm x & \cos \rm x & 1 \\ 0 & 0 & \sin\rm y-\cos\rm y\end{array}\right|\)

R3 के अनुदिश प्रसरण करने पर,   

⇒ Δ = 0 - 0 + (sin y - cos y)(sin²x + cos²x)

⇒ Δ = sin y - cos y   (∵ sin2x + cos2x = 1)

⇒ Δ = √2[\(\frac{1}{√{2}}\)sin y - \(\frac{1}{√{2}}\)cos y]

Δ = √2[\(\rm cos (\frac{\pi}{4}) sin y - sin (\frac{\pi}{4}) cos y\) ]

⇒ Δ = √2[sin(y - \(\frac{\pi}{4}\))]

अब, -1 ≤ sin(y - \(\frac{\pi}{4}\)) ≤ 1

⇒ -√2 ≤ √2 sin(y - \(\frac{\pi}{4}\)) ≤ √2

∴ Δ ∈ [-√2, √2]

संकल्पना:

• sin A cos B + sin B cos A = sin (A + B)
• यदि \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right]\)कोटि 2 वाली एक वर्ग आव्यूह है, तो A की सारणिक को |A| = (a­11 × a22) – (a12 – a21) द्वारा ज्ञात किया जाता है। 

गणना:

दिया गया है: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin 30^\circ }&{\cos 30^\circ }\\ { - \sin 60^\circ }&{\cos 60^\circ } \end{array}} \right| = k\)

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right]\)कोटि 2 वाली एक वर्ग आव्यूह है, तो A की सारणिक को |A| = (a­11 × a22) – (a12 – a21) द्वारा ज्ञात किया जाता है। 

⇒ \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin 30^\circ }&{\cos 30^\circ }\\ { - \sin 60^\circ }&{\cos 60^\circ } \end{array}} \right| = sin\ 30 ^\circ cos \ 60^\circ + cos \ 30^\circ sin \ 60^\circ = k\)

चूँकि हम जानते हैं कि, sin A cos B + sin B cos A = sin (A + B)

⇒ k = sin 90° = 1

अतः सही विकल्प 4 है। 

गणना:

माना कि Δ = \(\begin{vmatrix} \rm \sec x & \rm\tan x\\ \rm\tan x & \rm \sec x \end{vmatrix}\) है। 

= sec² x - tan² x

= 1 + tan² x -  tan2 x       [∵ 1 + tan2 x = sec2 x]

= 1 

गणना:

माना कि Δ = \(\begin{vmatrix} \rm \sec x & \rm\tan x\\ \rm\tan x & \rm \sec x \end{vmatrix}\) है। 

= sec² x - tan² x

= 1 + tan² x -  tan2 x       [∵ 1 + tan2 x = sec2 x]

= 1 

संकल्पना:

A= \(\rm \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21}& a_{22} &a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\) 

तो आव्यूह A की सारणिक, | A | = = a₁₁ × {(a₂₂ × a₃₃) – (a₂₃ × a₃₂)} - a₁₂ × {(a₂₁ × a₃₃) – (a₂₃ × a₃₁)} + a₁₃ × {(a₂₁ × a₃₂) – (a₂₂ × a₃₁)} . 

गणना:

⇒ Δ = \(\rm\begin{vmatrix} x & \cosθ &\sinθ \\ -\cosθ & -x & 1\\ \sinθ & 1 & x \end{vmatrix}\) 

⇒ Δ = \(\rm x(-x^{2}-1)- cosθ (-xcosθ -sinθ) + sinθ (-cosθ+ x sinθ)\) 

⇒ Δ = \(\rm -x^{3}-x + xcos^{2}θ+ sinθ .cosθ -sinθ .cosθ +xsin^{2}θ\) 

⇒ Δ = \(\rm -x^{3}-x+ x (sin^{2}θ +cos^{2}θ )\)               

⇒ Δ = - x³                                        [∵ sin² θ + cos² θ = 1]

सही विकल्प 4 है।