Unit Vectors MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Unit Vectors - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

सदिश \(\vec{a},\vec{b} ,(\vec{a}\times\vec{b})\) मात्रक सदिश हैं।

चूँकि \(\vec a\) और \(\vec{b}\) मात्रक सदिश हैं, हम जानते हैं:

\( |\vec{a}| = 1 \quad \text{और} \quad |\vec{b}| = 1 \).

सदिश गुणनफल \(( \vec{a} \times \vec{b} )\) का परिमाण इस प्रकार दिया गया है:

\( |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = 1 \times 1 \times \sin \theta = \sin \theta \).

चूँकि \( ( |\vec{a} \times \vec{b}| = 1 \) है, हमारे पास है:

\( \sin \theta = 1 \), इसलिए \(\theta = 90^\circ \), जिसका अर्थ है कि \(\vec a \) और \( \vec{b} \) लंबवत हैं।

अदिश गुणनफल \( ( \vec{a} \cdot \vec{b} )\) है:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = 1 \times 1 \times \cos 90^\circ = 0 \).

∴ \(( \vec{a} \cdot \vec{b} ) \) का मान 0 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

हल:

\( \text{Let } \vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k} \)

\( a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1 \)

\( \vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}, \quad \vec{c} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}, \quad \vec{d} = \hat{k} \)

\( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{d}}{|\vec{d}|} \)

परिमाणों की गणना करने पर:

\( |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3 \)

\( |\vec{c}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3 \)

\( |\vec{d}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \)

समान प्रक्षेप स्थापित करने पर:

\( \frac{2a_1 - a_2 + 2a_3}{3} = \frac{a_1 + 2a_2 - 2a_3}{3} = \frac{a_3}{1} \)

पहली समिका से:

\( 2a_1 - a_2 + 2a_3 = 3a_3 \implies 2a_1 - a_2 = a_3 \)

दूसरी समिका से:

\( a_1 + 2a_2 - 2a_3 = 3a_3 \implies a_1 + 2a_2 = 5a_3 \)

हल करने पर,

\( a_1 = \frac{7}{\sqrt{155}}, \quad a_2 = \frac{9}{\sqrt{155}}, \quad a_3 = \frac{5}{\sqrt{155}} \)

∴ \(\frac{1}{\sqrt{155}} (7\hat{i} + 9\hat{j} + 5\hat{k})\) के अनुदिश एक मात्रक सदिश। 

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

व्याख्या:

\(\vec a\) और \(\vec b\) मात्रक सदिश हैं

इसलिए, |\(\vec a\)| = |\(\vec b\)| = 1

अब,

|\(\rm \vec a+ \vec b\)| = 1 यदि

\(|\vec a|^2+|\vec b|^2+2|\vec a||\vec b|\cosθ=1\)

अर्थात, \(1+1+2.1.1\cosθ=1\)

अर्थात, \(\cosθ=-\frac12\)

अर्थात, θ = \(\frac{2\pi}{3}\)

इसलिए \(\rm \vec a+ \vec b\) मात्रक सदिश है, यदि \(\vec a\) और \(\vec b\) के बीच का कोण \(\frac{2\pi}{3}\) है। 

विकल्प (4) सही है।

संकल्पना:

सदिश \(\rm \vec{z}\) की दिशा में इकाई सदिश को \(\hat z = \rm \frac{\vec{z}}{|z|}\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दिया गया है: \(\rm \vec{a}= 3i -4j\)

⇒ सदिश \(\rm \vec{a}\) की दिशा में इकाई सदिश को \(\hat a = \rm \frac{\vec{a}}{|a|}\) द्वारा ज्ञात किया गया है।

⇒  \(\rm \hat{a} = \rm \frac{3i-4j}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \rm \frac{3\hat i-4\hat j}{5}\)

सदिश \(\rm \vec{a}\) की दिशा में एक सदिश को \(10 \ \hat a\) द्वारा ज्ञात किया गया है जिसमें परिमाण 10 है। 

⇒ \(10 \ \hat a = 6\hat i - 8 \hat j\)

अतः विकल्प 2 सही है। 

संकल्पना:

माना कि \(\rm \vec{a}\) और \(\rm \vec{b}\) दो सदिश हैं, तो सदिश \(\rm \vec{c}\), \(\rm \vec{a}\) और \(\rm \vec{b}\) दोनों के लंबवत है। 

\(\begin{array}{l} \vec{a}=x_{1} \hat{i}+y_{1} \hat{j}+z_{1} \hat{k}\\ \vec{b}=x_{2} \hat{i}+y_{2} \hat{j}+z_{2} \hat{k} \\ ​​\vec{c}=\vec{a} × \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & j & \hat{k} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array}\right| \end{array}\)

गणना:

यहाँ, \({\rm{\vec a}} = - {\rm{\hat i}} + {\rm{\hat j}} + {\rm{\hat k}}\) और \({\rm{\vec b}} = {\rm{\hat i}} - {\rm{\hat j}} + {\rm{\hat k\;}}\)

दोनों के लंबवत सदिश  \(\rm \vec{a} \times \vec{b}\)होगा। 

\(\begin{aligned} \vec{a} \times \vec{b} &=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right| \\ &=\hat{i}(1+1)-\hat{j} (-1-1)+\hat{k}(1-1) \\ &=2 \hat{i}+2 \hat{j} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} |\vec{a} \times \vec{b}| =\sqrt{(2)^{2}+(2)^{2}} =\sqrt{8} =2 \sqrt{2}\\ \end{aligned} \)

\(\text {Unit vector} =\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}\\ =\frac{2 \hat{i}+2 \hat{j}}{2 \sqrt{2}} \\ =\frac{i+\hat{j}}{\sqrt{2}}\)

 अतः विकल्प (1) सही है। 

व्याख्या:

दिया गया है, λî + 2λĵ + 2λk̂ ​एक इकाई सदिश है।

∴ \(\left|λ \hat{i} +2λ \hat{j}+2λ \hat{k}\right|=1\)

⇒ \(\sqrt{λ ^{2}+(2λ )^{2}+(2λ )^{2}}=1\)

⇒ \(\sqrt{λ ^{2}+4λ ^{2}+4λ ^{2}}=1\)

⇒ \(\sqrt{9λ ^{2}}=1\)

⇒ 3λ = 1

⇒ \(\lambda=\frac{1}{3} \)

संकल्पना:

• यदि a और b कोई दो इकाई सदिश हैं तो \(\vec a.\vec b=1\) ।

गणना:

दिया गया \(|\vec a|=2, |\vec b|=1\) और \(\vec a.\vec b=1\)

विचार करना,

\((3\vec a-5\vec b).(2\vec a+7\vec b)\)

\(=(6\vec a^2+21\vec a.\vec b-10\vec b.\vec a-35\vec b^2)\) .....(1)

  \(|\vec a|=2, |\vec b|=1\) और \(\vec a.\vec b=1\) (1) में रखने पर

\(=(6\times 4)+(21\times1)-(10\times1)-(35\times1)\)

\(=24+21-10-35\)

\(=45-45\)

\(=0\)

∴ \((3\vec a-5\vec b).(2\vec a+7\vec b)=0\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2) है।

अवधारणा:

सदिश \(\rm \vec{z}\) की दिशा में इकाई सदिश इस प्रकार दिया जाता है, \(\hat z = \rm \frac{\vec{z}}{|z|}\)

गणना:

दिया गया है: \(\vec{A} = 2\hat{i}+5\hat{j}\) & \(\vec{B} = 2\hat{i}-\hat{j}\)

⇒ \(\vec{A}+\vec{B} \) = \( 4\hat{i}+4\hat{j}\)

सदिश \(\vec{A}+\vec{B} \) की दिशा में इकाई सदिश,

⇒ \(|\vec{A}+\vec{B}|= \rm \frac{4\hat i+4\hat j}{\sqrt{4^2+4^2}}\)

⇒ \(|\vec{A}+\vec{B}|= \rm \frac{4(\hat i+\hat j)}{4\sqrt{2}}\) 

⇒ \(|\vec{A}+\vec{B}|= \rm \frac{(\hat i+\hat j)}{\sqrt{2}}\) 

अतः विकल्प 4 सही है। 

संकल्पना:

1. |a| और |b| परिमाण के दो सदिशों a और b का अदिश गुणनफल निम्न प्रकार दिया जाता है  \(\vec{a}.\vec{b}\) =  |a||b| cos θ जहाँ θ सदिशों की दिशा में लिए गए सदिश a और b के बीच के कोण को निरूपित करता है।

2. हम अदिश गुणनफल को \(\mid\vec a\mid. \mid\vec b\mid\ =\) |a||b| cosθ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जहां |a| और |b| सदिश a और b के परिमाण का प्रतिनिधित्व करते हैं जबकि cos θ दोनों सदिशों के बीच के कोण के कोसाइन को दर्शाता है और a.b दो सदिशों के डॉट गुणनफल को इंगित करता है।

गणना:

दिया गया:

\(\vec a\) और \(\vec b\) दो इकाई सदिश हों जैसे कि \(|\vec a - \vec b|<2\) है और 2θ \(\vec a\) और \(\vec b\) के बीच का कोण है

⇒ \(\mid\vec a\mid= \mid\vec b\mid=1\)

हमें दिया गया है \(|\vec a - \vec b|<2.\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

⇒ \(|\vec a - \vec b|^2<2^2\)

\((\vec a - \vec b)(\vec a - \vec b)<4\)

⇒ \(\mid\vec a\mid^2+ \mid\vec b\mid^2-2\ \vec a.\vec b<4\)

⇒ 1 + 1 - 2 \(\mid\vec a\mid. \mid\vec b\mid\ cos2θ<4\)

⇒ 1 + 1 - 2​ . 1 . 1 . cos2θ < 4

⇒ 2 - 2.cos2θ < 4

⇒ 1 - cos2θ < 2

⇒ 2 sin2θ < 2

⇒ sin2θ < 1

∴  -1≤  sin θ < 1 सही है।

संकल्पना:

 \(\vec{q}\) की दिशा में परिमाण |p| का सदिश \(\vec{r}\) निम्न द्वारा दिया गया है

\(\vec{r}\ =\ |p|.\hat{q}\ =\ |p|.\frac{\hat{q}}{|q|}\)

यदि \(\vec{a} = {a_1}\hat{i} \ + \ {a_2}\hat{j} \ + \ {a_3}\hat{k}\) हो तो \(\vec{a}\) के परिमाण को निम्न रूप में लिखा जाता है

\(|\vec{a}|\ =\ \sqrt{a_1^2\ +\ a_2^2\ +\ a_3^2}\)

गणना:

माना आवश्यक सदिश \(\vec{c}\)

\(\vec{a}\ =\ \hat{i}\ +\ 2\hat{j}\ +\ 2\hat{k}\)

\(\vec{b}\ =\ 3\hat{i}\ +\ 5\hat{j}\ +\ \sqrt{2}\hat{k}\)

दिशा a में एक सदिश और परिमाण |b| निम्न द्वारा दिया गया है

\(\vec{c}\ =\ |b|.\hat{a}\ =\ |b|.\frac{\hat{a}}{|a|}\)

\(\vec{c}\ =\ \sqrt{3^2\ +\ 5^2\ +\ (\sqrt{2})^2}.\frac{\hat{\hat{i}\ +\ 2\hat{j}\ +\ 2\hat{k}}}{\sqrt{1^2\ +\ 2^2\ +\ 2^2}}\)

\(\vec{c}\ =\ 6.\frac{\hat{\hat{i}\ +\ 2\hat{j}\ +\ 2\hat{k}}}{3}\)

\(\vec{c}\ =\ 2({\hat{\hat{i}\ +\ 2\hat{j}\ +\ 2\hat{k}}})\)

अत: विकल्प 4 सही है।

संकल्पना:

यदि \(\rm\overrightarrow{c}\) दोनों सदिश \(\rm\overrightarrow{a}\) और \(\rm\overrightarrow{b}\) के लंबवत हैं, तो \(\rm \vec c = \vec a \times \vec b\) है। 

इकाई सदिश, \(\rm \hat{c}= \frac{\overrightarrow{c}}{\left | \overrightarrow{c} \right |}\)  

गणना:

यहाँ दिए गए सदिश, \(\overrightarrow{a}=\rm \hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}\)  और \(\overrightarrow{b}=\rm 2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\)  हैं। 

माना कि, सदिश\(\rm\overrightarrow{c}\) दोनों सदिश के लंबवत हैं,

इसलिए,   \(\rm \overrightarrow{c}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 1 & -2 & 3\\ 2& 3 & -1 \end{vmatrix}\) 

⇒ \(\rm \overrightarrow{c}= \hat{i}(2-9)-\hat{j}(-1-6)+\hat{k}(3+4)\) 

⇒ \(\rm \overrightarrow{c}= -7\hat{i}+7\hat{j}+7\hat{k}\) 

∴ \(\rm \left | \overrightarrow{c} \right | = \sqrt{(-7)^{2}+7^{2}+7^{2}}\) = \(7\sqrt{3}\) 

इसलिए दोनों सदिश के लंबवत इकाई सदिश निम्न हैं,

\(\rm \hat{c}= \frac{\overrightarrow{c}}{\left | \overrightarrow{c} \right |}\) = \(\rm\frac{-7\hat{i}+7\hat{j}+7\hat{k}}{7\sqrt{3}}\) 

⇒ \(\rm \hat{c}= \frac{1}{\sqrt{3}}\left ( -\hat{i}+\hat{j}+\hat{k} \right )\) 

सही विकल्प 1 है। 

गणना:

दिया गया, \(\vec a,\;\vec b\) और \(\vec c\) सभी इकाई सदिश         --- (A)

तथा

\({\left| {\vec a + \vec b} \right|^2} = {\left| {\vec b + \vec c} \right|^2} = {\left| {\vec c + \vec a} \right|^2} = 8\)     --- (1)

निम्न लीजिए,

\({\left| {\vec a + \vec b} \right|^2} = 8\)

\({\left| {\vec a} \right|^2} + {\left| {\vec b} \right|^2} + 2a \cdot b = 8\)

1 + 1 + 2 ab = 8 (ab \(\vec a\) इकाई सदिश है)

2ab = 6

ab = 3

निम्न लीजिए,

\({\left| {\vec b + \vec c} \right|^2} = 8\)

\({\left| {\vec b} \right|^2} + {\left| {\vec c} \right|^2} + 2bc = 8\)

b c = 3

इसी तरह, c a = 3

निम्न लीजिए,

\(\vec x = \left| {2\vec a + \vec b + \vec c} \right|\)

दोनों पक्षों का वर्ग करके,

\({{\vec x}^2} = {\left| {2\vec a + \vec b + \vec c} \right|^2}\)

\({{\vec x}^2} = 4{\left| {\vec a} \right|^2} + {\left| {\vec b} \right|^2} + {\left| {\vec c} \right|^2} + 2\left| {2a \cdot b + 2a \cdot c + b \cdot c} \right|\)

\({{\vec x}^2} = 4 + 1 +1+ 2\left( {6 + 6 + 3} \right)\)

\(\vec x = \sqrt {36} \)

 i.e |2â + b̂ + ĉ| = 6

संकल्पना:

• सदिश \(\rm \vec A\) की दिशा में इकाई सदिश û को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm \hat u = \frac{\vec A}{\left|\vec A\right|}\), जहाँ \(\rm \left|\vec A \right|\)सदिश \(\rm \vec A\)का परिमाण है। 
• सदिश \(\rm \vec A\) के परिमाण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: 

\(\rm \left|\vec A\right|=\sqrt{\vec A.\vec A}\).

\(\rm \left|a\hat i +b\hat j + c\hat k\right|=\sqrt{\left(a\hat i +b\hat j + c\hat k\right).\left(a\hat i +b\hat j + c\hat k\right)}\)

\(\rm \left|a\hat i +b\hat j + c\hat k\right|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).

गणना:

हमारे पास \(\rm \vec A = 2\hat i - \hat j + 2\hat k\) और \(\rm \vec B = -\hat i - 2\hat j + 2\hat k\)  है। 

∴ \(\rm \vec A-\vec B = \left(2\hat i - \hat j + 2\hat k\right)-\left(-\hat i - 2\hat j + 2\hat k \right)\)

⇒ \(\rm \vec A-\vec B = 3\hat i + \hat j\)

 \(\rm \vec A -\vec B\) का परिमाण निम्न होगा:

\(\rm \left|3\hat i +1\hat j + 0\hat k\right|=\sqrt{3^2+1^2+0^2}=\sqrt{10}\)

अब, \(\rm \vec A -\vec B\) की दिशा के साथ इकाई सदिश निम्न होगी:

\(\rm \hat u = \frac{\vec A-\vec B}{\left|\vec A-\vec B\right|}\)

⇒ \(\rm \hat u = \frac{3\hat i + \hat j}{\sqrt{10}}\).