1 किलोग्राम द्रव्यमान और 10 kN/m कठोरता वाली एकल स्वतंत्रता की कोटि निकाय विराम की स्थिति में है। इसे 10^-4 सेकंड के लिए 5 kN परिमाण के आवेगी बल के अधीन किया जाता है। परिणामी मुक्त कंपन का आयाम (mm में) क्या है?

Question

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This question was previously asked in

UPPSC AE Mechanical 2022 Official Paper I (Held on 29 May 2022)

Answer 1

संप्रत्यय:-

आवेग-संवेग समीकरण दिया गया है

\(F= m \frac{dV}{dt}\;\)

और समाकल रूप में \(\int_{t_1}^{t_2}{Fdt}= \int_{v_1}^{v_2}{mdV}\;\)

और गतिज ऊर्जा लटके हुए द्रव्यमान और स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा के बीच ऊर्जा संतुलन दिया गया है,

\(\frac{1}{2}mV^2= \frac{1}{2}kx^2\;\)

परिकलन:-

दिया गया है:-

द्रव्यमान (m) = 1 kg, कठोरता (k) = 10 kN/m = 10000 N/m

F = 5kN = 5000 N, t₂ = 10^-4 सेकंड

और चूँकि द्रव्यमान प्रारंभ में विराम पर है इसलिए V₁ = 0

अब आवेग-संवेग समीकरण को लागू करके,

\(\int_{t_1}^{t_2}{Fdt}= \int_{v_1}^{v_2}{mdV}\;\)

\(\int_{0}^{10^{-4}}{5000dt}= \int_{0}^{v_2}{1dV}\;\)

5000 (10^-4 - 0) = 1 (V₂ - 0)

V₂ = 0.5 m/s

अब, ऊर्जा संतुलन का उपयोग करके

\(\frac{1}{2}1\times0.5^2= \frac{1}{2}10000\times x^2\;\)

x = 0.005 m या x = 5 mm

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