एक सम्मिश्र संख्या a के लिए जिसके लिए 0 < |a| < 1 है, निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

संप्रत्यय:

  का कोणांक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है, क्योंकि यह उस कोण को दर्शाता है जो मूल बिंदु को      बिंदु से जोड़ने वाली रेखा धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।

से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है। से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है। व्याख्या:

दिया गया है, और एक सम्मिश्र संख्या है।

हमें यह पता लगाना है कि कौन सा कथन सत्य है।

विकल्प 1: इसका तात्पर्य है कि एक सम्मिश्र संख्या के लिए, यदि 1 से कम है, तो का मापांक से कम है। सत्यापित करने के लिए

यदि यह सत्य है, तो हम z और a के लिए विशिष्ट उदाहरणों का प्रयास कर सकते हैं इस शर्त के तहत कि |z| < 1 और .

मान लीजिए और सबसे पहले, मापांकों की जाँच करें:

यह शर्त और |z| < 1 को संतुष्ट करता है।

स्पष्ट रूप से, , इसलिए यह असमानता इस उदाहरण के लिए मान्य नहीं है।

कथन गलत है क्योंकि हमें एक प्रति उदाहरण मिला जहाँ || |z - a| से कम नहीं है।

विकल्प 2: इसका तात्पर्य है कि यदि का मापांक 1 - के बराबर है, तो = 1 है। यह सममितीय प्रतिबंध सम्मिश्र समतल में दूरियों से संबंधित प्रतीत होता है। इकाई वृत्त पर बिंदुओं के लिए (अर्थात, |z| = 1),

यह सत्य है क्योंकि z का मापांक इस समीकरण को संतुष्ट करेगा। इसलिए, यह कथन सत्य है।

विकल्प 3: इसका तात्पर्य है कि इकाई वृत्त पर एक बिंदु के लिए (अर्थात, |z| = 1), z - a का मापांक |1 - | से कम है।

इसे सत्यापित करने के लिए, हम z और a के लिए विशिष्ट उदाहरणों का प्रयास करेंगे इस शर्त के तहत कि |z| = 1 और ।

मान लीजिए z = 1 (चूँकि |z| = 1) और

चूँकि z = 1 और (क्योंकि a वास्तविक है),

इसलिए, असमिका  इस उदाहरण में मान्य नहीं है क्योंकि दोनों पक्ष बराबर हैं।

इसलिए, कथन सत्य नहीं है।

विकल्प 4: यह सुझाव देता है कि यदि 1 - का मापांक से कम है, तो z इकाई वृत्त के अंदर है।

माना कि  और  है।

चूँकि  है, हमारे पास है (क्योंकि वास्तविक है)।

इस स्थिति में, और

स्पष्ट रूप से,  है, इसलिए शर्त इस उदाहरण के लिए मान्य नहीं है,

और इसलिए यह कथन को सत्यापित नहीं करता है।

कथन मान्य नहीं प्रतीत होता है।

विकल्प 2) सही है।