यदि सामान्य pdf \(f(x \mid θ)=\frac{(\log θ) θ^x}{θ-1}\), 0 < x < 1, θ > 1 के साथ X1, X2, ..., Xn i.i.d. हो तो सांख्यिकी (statistic) \(T=\sum_{i=1}^n X_i\) है

दिया गया है:-

X1, X2, ..., Xn स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं जिनका सामान्य प्रायिकता घनत्व फलन (pdf) है

\(f(x \mid θ)=\frac{(\log θ) θ^x}{θ-1}\)

प्रयुक्त अवधारणा:-

यह जांचने के लिए कि क्या T = ∑ᵢ Xᵢ प्राचल θ के लिए पर्याप्त सांख्यिकी है, हमें प्रतिदर्श के संभाव्यता फलन को ज्ञात करने की आवश्यकता है।

व्याख्या:-

प्रतिदर्श का संयुक्त pdf निम्न द्वारा दिया गया है

\(\Rightarrow f(x₁, x₂, ..., xₙ | θ) = f(x₁ | θ) f(x₂ | θ) ... f(xₙ | θ) \\ \Rightarrow f(x₁, x₂, ..., xₙ | θ) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i \mid \theta) \\ \Rightarrow f(x₁, x₂, ..., xₙ | θ) = \prod_{i=1}^{n} \frac{(\log \theta) \theta^{x_i}}{\theta-1}\ \\ \Rightarrow f(x₁, x₂, ..., xₙ | θ) = (\log \theta)^n \frac{\theta^{\sum_{i=1}^n x_i}}{(\theta-1)^n}\)

कारक प्रमेय कहता है कि एक सांख्यिकी T प्राचल θ के लिए पर्याप्त है यदि और केवल यदि प्रतिदर्श का संयुक्त pdf दो फलनों में विभाजित किया जा सकता है।

एक जो केवल T के माध्यम से प्रतिदर्श पर निर्भर करता है, और दूसरा जो θ पर निर्भर नहीं करता है।

हम प्रतिदर्श के संयुक्त pdf को इस प्रकार पुनर्लेखित कर सकते हैं

⇒\(f(x₁, x₂, ..., xₙ | θ) = h(x₁, x₂, ..., xₙ) g(T | θ)\),

यहाँ,

\(⇒ h(x₁, x₂, ..., xₙ) = 1 \ \ \ \text{और} \\ ⇒ g(T | θ) = (\log \theta)^n \frac{\theta^T}{(\theta-1)^n}\)

चूँकि संयुक्त pdf को इस तरह से विभाजित किया जा सकता है, इसलिए T, θ के लिए एक पर्याप्त सांख्यिकी है।

यह जांचने के लिए कि क्या T पूर्ण है, हमें यह दिखाने की आवश्यकता है कि T प्रतिदर्श में निहित θ के बारे में सभी जानकारी को ग्रहण करने में सक्षम है।

दूसरे शब्दों में, T का कोई भी फलन जो θ से स्वतंत्र है, उसका अपेक्षित मान 0 के बराबर होना चाहिए।

मान लीजिए h(T), T का एक फलन है जो θ से स्वतंत्र है। तब

\(E[h(T)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(T) g(T | \theta) dT\\ E[h(T)]= \int_{0}^{1} h(T) \frac{\theta^T}{(\theta-1)^n} dT\\ E[h(T)]= \frac{(\log \theta)^n}{(\theta-1)^n} \int_{0}^{1} h(T) \exp(T \log \theta) dT\)

चूँकि θ > 1, \log θ > 0, और समाकलज [0,1] पर धनात्मक है।

इसलिए, यदि सभी θ > 1 के लिए E[h(T)] = 0, तो h(T) लगभग हर जगह [0,1] पर शून्य होना चाहिए।

यह दर्शाता है कि T, θ के लिए एक पूर्ण, पर्याप्त सांख्यिकी है।

इसलिए, सांख्यिकी \(T=\sum_{i=1}^n X_i\) पूर्णतः पर्याप्त है।

इसलिए, सही विकल्प 3 है।