Distribution MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Distribution - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 1, 2025
Latest Distribution MCQ Objective Questions
Distribution Question 1:
मान लीजिए X₁ , X₂ , X₃ एक संतत बंटन से लिया गया यादृच्छिक प्रतिदर्श है जिसका संचयी बंटन फलन F(t), प्रायिकता घनत्व फलन f(t), और विफलता दर फलन \(\rm r(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}, t>0\) है, जहाँ F(0) = 0 है। यदि सभी t > 0 के लिए r(t) = 1 है, तो निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 1 Detailed Solution
संप्रत्यय:
प्राचल \(\lambda = 1\) वाले चरघातांकी बंटन के लिए:
\(F(t) = 1 - e^{-t}\) संचयी बंटन फलन है।
\( f(t) = e^{-t}\) प्रायिकता घनत्व फलन है।
व्याख्या:
विकल्प 1: दो स्वतंत्र चरघातांकी यादृच्छिक चरों \(X_1 \) और \( X_2\) के अधिकतम मान का सूत्र है
\(\mathbb{P}(\max\{X_1, X_2\} < 1) = F(1)^2 = (1 - e^{-1})^2 = (1 - \frac{1}{e})^2.\)
और \((1 - \frac{1}{e})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{e} + \frac{1}{e^2} = 1 - \frac{2}{e} + \frac{1}{e^2}.\)
यह व्यंजक \(\frac{1}{2e}\) के बराबर नहीं है, इसलिए विकल्प 1 गलत है।
विकल्प 2: दो स्वतंत्र चरघातांकी यादृच्छिक चरों \(X_1 \) और \( X_2\) के न्यूनतम मान का सूत्र है:
\(\mathbb{P}(\min\{X_1, X_2\} > 1) = (1 - F(1))^2 = e^{-1} \cdot e^{-1} = e^{-2}.\)
यह \(\frac{1}{2e}\) के बराबर नहीं है, इसलिए विकल्प 2 गलत है।
विकल्प 3: तीन स्वतंत्र चरघातांकी यादृच्छिक चरों के लिए, हमें यह प्रायिकता ज्ञात करने की आवश्यकता है कि \(X_1 \) और \( X_2\) का न्यूनतम मान \(X_3\) से अधिक है। चरघातांकी चरों के संयुक्त बंटन और तुलना से यह परिणाम प्राप्त होता है
जिसे चरघातांकी बंटनों का एक मानक गुणधर्म माना जाता है। इस परिदृश्य के लिए प्रायिकता \( \frac{2}{3}\) है, इसलिए विकल्प 3 सही है।
विकल्प 4: इसी प्रकार, चरघातांकी बंटन के गुणधर्मों और कोटि सांख्यिकी की तुलना का उपयोग करके, यह प्रायिकता
कि \(X_1 \) और \( X_2\) का अधिकतम मान \(X_3\) से कम है, \(\frac{1}{3} \) ज्ञात है, इसलिए विकल्प 4 सही है।
इसलिए, विकल्प 3) और 4) सही हैं।
Distribution Question 2:
मान लीजिए X1....Xn (n ≥ 3) एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है जिसका प्रायिकता घनत्व फलन \(\rm f(|x|θ)=\left\{\begin{matrix}θ e^{-θ x}, &if\ x >0\\\ 0, &otherwise\end{matrix}\right.\) है।
जहाँ θ > 0 एक अज्ञात प्राचल है। मान लीजिए \(\rm T_n=\frac{1}{n}\Sigma_{i=1}^nX_i\) निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 2 Detailed Solution
संप्रत्यय:
चरघातांकी बंटन के लिए प्रायिकता घनत्व फलन (PDF)
चरघातांकी बंटन का प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) इस प्रकार दिया गया है:
\(f(x|\theta) = \begin{cases} \theta e^{-\theta x} & \text{if } x > 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\)
यहाँ, \(\theta \) दर प्राचल है। चरघातांकी बंटन का उपयोग अक्सर उन प्रक्रियाओं में अगली घटना तक के समय को मॉडल करने के लिए किया जाता है जहाँ घटनाएँ लगातार और स्वतंत्र रूप से होती हैं
एक स्थिर औसत दर पर (जैसे, प्वासों प्रक्रिया)।
प्रतिदर्श \( X_1, X_2, \dots, X_n \) से, प्रतिदर्श माध्य \(T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\) \(\theta \) के लिए एक पर्याप्त सांख्यिकी है।
प्रतिदर्श माध्य \(T_n\) \(\frac{1}{\theta}\) का एक आकलक है क्योंकि चरघातांकी बंटन के लिए, अपेक्षित मान \(\mathbb{E}(X_i) = \frac{1}{\theta} \) है।
व्याख्या: आप जिस समस्या से निपट रहे हैं, उसमें दिए गए प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) वाले बंटन से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श \(X_1, X_2, \dots, X_n \) शामिल है:
\(f(x|\theta) = \begin{cases} \theta e^{-\theta x} & \text{if } x > 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\)
जहाँ \(\theta > 0 \) एक अज्ञात प्राचल है, और सांख्यिकी \(T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \) पर विचार किया जाता है।
विकल्प 1: चरघातांकी बंटन के लिए, प्रतिदर्श माध्य \( T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \) \( \frac{1}{\theta} \) का एक पर्याप्त और
अनभिनत आकलक है। इसलिए, \( \theta \) का अनभिनत आकलक \(\frac{1}{T_n} \) है।
\(\theta\) का UMVUE \( \frac{n-1}{n T_n} \) है, क्योंकि यह एक ऐसा सुधार है जो पूर्वाग्रह को समायोजित करता है। इसलिए, विकल्प 1 सही है।
विकल्प 2: चरघातांकी बंटन \(\theta e^{-\theta x} \) से एकल अवलोकन के लिए फिशर सूचना \(I(\theta) \) \( \frac{1}{\theta^2}\) है।
इसलिए, आकार n के एक प्रतिदर्श के लिए, फिशर सूचना \(n \times \frac{1}{\theta^2}\) है, और \(\theta \) के किसी भी अनभिनत आकलक के प्रसरण के लिए क्रैमर-राव निम्न सीमा (CRLB) है:
\( \text{CRLB} = \frac{1}{n \times I(\theta)} = \frac{\theta^2}{n}.\)
इसलिए, विकल्प 2 सही है।
विकल्प 3: \( \theta \) का UMVUE आवश्यक रूप से क्रैमर-राव निम्न सीमा प्राप्त नहीं करता है। जबकि यह अनभिनत है और अनभिनत आकलकों के बीच न्यूनतम प्रसरण है, यह सीमा तक नहीं पहुँच सकता है। विकल्प 3 गलत है।
विकल्प 4: प्रायिकता \( P_\theta(X_1 \leq 1)\) की गणना चरघातांकी बंटन के संचयी बंटन फलन (CDF) से की जा सकती है
(CDF):
\(P_\theta(X_1 \leq 1) = 1 - e^{-\theta}.\)
इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि \(T_n \) \( \frac{1}{\theta} \) के लिए एक अनभिनत आकलक है, व्यंजक \(\left(1 - e^{-\frac{1}{T_n}}\right) \) \(1 - e^{-\theta} \) के लिए एक संगत आकलक है, जो कि \(P_\theta(X_1 \leq 1) \) है। इसलिए, विकल्प 4 सही है।
सही कथन विकल्प 1), विकल्प 2) और विकल्प 4) हैं।
Distribution Question 3:
मान लीजिए कि लंबाई α वाले रेखाखंड AB पर यादृच्छिक रूप से एक बिंदु P चुना जाता है। मान लीजिए कि Z₁ और Z₂ क्रमशः रेखाखंडों AP और BP की लंबाइयों को दर्शाते हैं। तब E(|Z₁ - Z₂|) का मान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 3 Detailed Solution
संप्रत्यय:
प्रत्याशित मान की गणना:
प्रत्याशित मान \( E(|Z_1 - Z_2|)\) ज्यामितीय प्रायिकता का उपयोग करके या खंड की लंबाई पर समाकलन करके प्राप्त किया जा सकता है। खंड पर बिंदु P के एकसमान बंटन के लिए, दो दूरियों के बीच निरपेक्ष अंतर का प्रत्याशित मान ज्ञात है
\(E(|Z_1 - Z_2|) = \frac{\alpha}{2}\)
व्याख्या:
आइए हम चर \(X = Z_1 - Z_2 \) प्रस्तुत करते हैं। चूँकि \( Z_1 + Z_2 = \alpha \) है, हमारे पास \(Z_2 = \alpha - Z_1\) है
इस प्रकार, \(X = Z_1 - (\alpha - Z_1) = 2Z_1 - \alpha \) , इसलिए \(X = 2Z_1 - \alpha\) है।
हम \(E(|X|) \) की गणना करना चाहते हैं, जो \( E(|2Z_1 - \alpha|\)) के समतुल्य है।
\(Z_1 \) का वितरण:
चूँकि P को रेखाखंड के साथ समान रूप से चुना जाता है, \(Z_1 \) 0 और α के बीच समान रूप से वितरित होता है। \(Z_1 \) का प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) है
\( f_{Z_1}(z_1) = \frac{1}{\alpha} \quad \text{for} \quad 0 \leq z_1 \leq \alpha \)
\( |X| \) का प्रत्याशित मान:
अब, हम प्रत्याशित मान \( E(|2Z_1 - \alpha|) \) की गणना करते हैं। इसमें \(Z_1 \) की सीमा पर \(2Z_1 - \alpha \) के निरपेक्ष मान को समाकलित करना शामिल है:
\(E(|2Z_1 - \alpha|) = \int_0^\alpha |2z_1 - \alpha| \cdot \frac{1}{\alpha} \, dz_1\)
समाकल को पृथक करने पर,
व्यंजक \( |2Z_1 - \alpha|\) तब चिह्न बदलता है जब \(z_1 = \frac{\alpha}{2}\) होता है।
इसलिए, हम समाकल को दो भागों में विभाजित करते हैं:
\(0 \leq z_1 \leq \frac{\alpha}{2} \) के लिए, \(|2z_1 - \alpha| = \alpha - 2z_1\) है।
\( \frac{\alpha}{2} \leq z_1 \leq \alpha \) के लिए, \(|2z_1 - \alpha| = 2z_1 - \alpha \) है।
इसलिए, प्रत्याशित मान बन जाता है:
\( E(|2Z_1 - \alpha|) = \int_0^{\frac{\alpha}{2}} (\alpha - 2z_1) \cdot \frac{1}{\alpha} \, dz_1 + \int_{\frac{\alpha}{2}}^\alpha (2z_1 - \alpha) \cdot \frac{1}{\alpha} \, dz_1 \)
पहला समाकल \(\int_0^{\frac{\alpha}{2}} (\alpha - 2z_1) \cdot \frac{1}{\alpha} \, dz_1 = \frac{1}{\alpha} \left[ \alpha z_1 - z_1^2 \right]_0^{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{\alpha} \left( \frac{\alpha^2}{2} - \frac{\alpha^2}{4} \right) = \frac{\alpha}{4}\)
दूसरा समाकल \(\int_{\frac{\alpha}{2}}^\alpha (2z_1 - \alpha) \cdot \frac{1}{\alpha} \, dz_1 = \frac{1}{\alpha} \left[ z_1^2 - \alpha z_1 \right]_{\frac{\alpha}{2}}^\alpha = \frac{1}{\alpha} \left( \alpha^2 - \alpha^2 + \frac{\alpha^2}{4} \right) = \frac{\alpha}{4}\)
\(E(|2Z_1 - \alpha|) = \frac{\alpha}{4} + \frac{\alpha}{4} = \frac{\alpha}{2}\)
\(E(|Z_1 - Z_2|) = \frac{\alpha}{2}\)
इसलिए, विकल्प 3) सही है।
Distribution Question 4:
ऐसी प्रणाली के विषय में सोचिए जिसके दो घटकों के जीवनकाल उनकी क्षय दर (hazard rate) λ के साथ i.i.d. चर घातांकी हैं। यदि इन घटकों को श्रेणी क्रम तथा समांतर क्रम में रखे जाने पर प्रणाली के क्षय फलन (hazard functions) h1 तथा h2 हों, तो निम्न में से कौन - से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 4 Detailed Solution
Distribution Question 5:
मानिए कि एक अज्ञात प्रायिकता बंटन से युक्तिसंगत रूप से बड़े प्रादर्श x1,... xn का उपयोग करते हुए एक प्रसामान्य Q - Q आरेख बनाया जाता है। निम्न में से किस बंटन के लिए Q - Q आरेख के उत्तल होने की अपेक्षा है (J की आकृति का)?
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 5 Detailed Solution
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मान लीजिए कि लंबाई α वाले रेखाखंड AB पर यादृच्छिक रूप से एक बिंदु P चुना जाता है। मान लीजिए कि Z₁ और Z₂ क्रमशः रेखाखंडों AP और BP की लंबाइयों को दर्शाते हैं। तब E(|Z₁ - Z₂|) का मान है
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
प्रत्याशित मान की गणना:
प्रत्याशित मान \( E(|Z_1 - Z_2|)\) ज्यामितीय प्रायिकता का उपयोग करके या खंड की लंबाई पर समाकलन करके प्राप्त किया जा सकता है। खंड पर बिंदु P के एकसमान वितरण के लिए, दो दूरियों के बीच निरपेक्ष अंतर का प्रत्याशित मान ज्ञात है
\(E(|Z_1 - Z_2|) = \frac{\alpha}{2}\)
व्याख्या:
आइए हम चर \(X = Z_1 - Z_2 \) प्रस्तुत करते हैं। चूँकि \( Z_1 + Z_2 = \alpha \), हमारे पास \(Z_2 = \alpha - Z_1\) है
इस प्रकार, \(X = Z_1 - (\alpha - Z_1) = 2Z_1 - \alpha \) , इसलिए \(X = 2Z_1 - \alpha\) है।
हम \(E(|X|) \) की गणना करना चाहते हैं, जो \( E(|2Z_1 - \alpha|\)) के समतुल्य है।
\(Z_1 \) का वितरण:
चूँकि P को रेखाखंड के साथ समान रूप से चुना जाता है, \(Z_1 \) 0 और α के बीच समान रूप से वितरित होता है। \(Z_1 \) का प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) है
\( f_{Z_1}(z_1) = \frac{1}{\alpha} \quad \text{for} \quad 0 \leq z_1 \leq \alpha \)
\( |X| \) का प्रत्याशित मान:
अब, हम प्रत्याशित मान \( E(|2Z_1 - \alpha|) \) की गणना करते हैं। इसमें \(Z_1 \) की सीमा पर \(2Z_1 - \alpha \) के निरपेक्ष मान को समाकलित करना शामिल है:
\(E(|2Z_1 - \alpha|) = \int_0^\alpha |2z_1 - \alpha| \cdot \frac{1}{\alpha} \, dz_1\)
समाकल को विभाजित करना
व्यंजक \( |2Z_1 - \alpha|\) तब चिह्न बदलता है जब \(z_1 = \frac{\alpha}{2}\) होता है।
इसलिए, हम समाकल को दो भागों में विभाजित करते हैं:
\(0 \leq z_1 \leq \frac{\alpha}{2} \) के लिए, \(|2z_1 - \alpha| = \alpha - 2z_1\) है।
\( \frac{\alpha}{2} \leq z_1 \leq \alpha \) के लिए, \(|2z_1 - \alpha| = 2z_1 - \alpha \) है।
इसलिए, प्रत्याशित मान बन जाता है:
\( E(|2Z_1 - \alpha|) = \int_0^{\frac{\alpha}{2}} (\alpha - 2z_1) \cdot \frac{1}{\alpha} \, dz_1 + \int_{\frac{\alpha}{2}}^\alpha (2z_1 - \alpha) \cdot \frac{1}{\alpha} \, dz_1 \)
पहला समाकल \(\int_0^{\frac{\alpha}{2}} (\alpha - 2z_1) \cdot \frac{1}{\alpha} \, dz_1 = \frac{1}{\alpha} \left[ \alpha z_1 - z_1^2 \right]_0^{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{\alpha} \left( \frac{\alpha^2}{2} - \frac{\alpha^2}{4} \right) = \frac{\alpha}{4}\)
दूसरा समाकल \(\int_{\frac{\alpha}{2}}^\alpha (2z_1 - \alpha) \cdot \frac{1}{\alpha} \, dz_1 = \frac{1}{\alpha} \left[ z_1^2 - \alpha z_1 \right]_{\frac{\alpha}{2}}^\alpha = \frac{1}{\alpha} \left( \alpha^2 - \alpha^2 + \frac{\alpha^2}{4} \right) = \frac{\alpha}{4}\)
\(E(|2Z_1 - \alpha|) = \frac{\alpha}{4} + \frac{\alpha}{4} = \frac{\alpha}{2}\)
\(E(|Z_1 - Z_2|) = \frac{\alpha}{2}\)
इसलिए विकल्प 3) सही है।
यदि सामान्य pdf \(f(x \mid θ)=\frac{(\log θ) θ^x}{θ-1}\), 0 < x < 1, θ > 1 के साथ X1, X2, ..., Xn i.i.d. हो तो सांख्यिकी (statistic) \(T=\sum_{i=1}^n X_i\) है
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:-
X1, X2, ..., Xn स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं जिनका सामान्य प्रायिकता घनत्व फलन (pdf) है
\(f(x \mid θ)=\frac{(\log θ) θ^x}{θ-1}\)
प्रयुक्त अवधारणा:-
यह जांचने के लिए कि क्या T = ∑ᵢ Xᵢ प्राचल θ के लिए पर्याप्त सांख्यिकी है, हमें प्रतिदर्श के संभाव्यता फलन को ज्ञात करने की आवश्यकता है।
व्याख्या:-
प्रतिदर्श का संयुक्त pdf निम्न द्वारा दिया गया है
\(\Rightarrow f(x₁, x₂, ..., xₙ | θ) = f(x₁ | θ) f(x₂ | θ) ... f(xₙ | θ) \\ \Rightarrow f(x₁, x₂, ..., xₙ | θ) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i \mid \theta) \\ \Rightarrow f(x₁, x₂, ..., xₙ | θ) = \prod_{i=1}^{n} \frac{(\log \theta) \theta^{x_i}}{\theta-1}\ \\ \Rightarrow f(x₁, x₂, ..., xₙ | θ) = (\log \theta)^n \frac{\theta^{\sum_{i=1}^n x_i}}{(\theta-1)^n}\)
कारक प्रमेय कहता है कि एक सांख्यिकी T प्राचल θ के लिए पर्याप्त है यदि और केवल यदि प्रतिदर्श का संयुक्त pdf दो फलनों में विभाजित किया जा सकता है।
एक जो केवल T के माध्यम से प्रतिदर्श पर निर्भर करता है, और दूसरा जो θ पर निर्भर नहीं करता है।
हम प्रतिदर्श के संयुक्त pdf को इस प्रकार पुनर्लेखित कर सकते हैं
⇒\(f(x₁, x₂, ..., xₙ | θ) = h(x₁, x₂, ..., xₙ) g(T | θ)\),
यहाँ,
\(⇒ h(x₁, x₂, ..., xₙ) = 1 \ \ \ \text{और} \\ ⇒ g(T | θ) = (\log \theta)^n \frac{\theta^T}{(\theta-1)^n}\)
चूँकि संयुक्त pdf को इस तरह से विभाजित किया जा सकता है, इसलिए T, θ के लिए एक पर्याप्त सांख्यिकी है।
यह जांचने के लिए कि क्या T पूर्ण है, हमें यह दिखाने की आवश्यकता है कि T प्रतिदर्श में निहित θ के बारे में सभी जानकारी को ग्रहण करने में सक्षम है।
दूसरे शब्दों में, T का कोई भी फलन जो θ से स्वतंत्र है, उसका अपेक्षित मान 0 के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए h(T), T का एक फलन है जो θ से स्वतंत्र है। तब
\(E[h(T)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(T) g(T | \theta) dT\\ E[h(T)]= \int_{0}^{1} h(T) \frac{\theta^T}{(\theta-1)^n} dT\\ E[h(T)]= \frac{(\log \theta)^n}{(\theta-1)^n} \int_{0}^{1} h(T) \exp(T \log \theta) dT\)
चूँकि θ > 1, \log θ > 0, और समाकलज [0,1] पर धनात्मक है।
इसलिए, यदि सभी θ > 1 के लिए E[h(T)] = 0, तो h(T) लगभग हर जगह [0,1] पर शून्य होना चाहिए।
यह दर्शाता है कि T, θ के लिए एक पूर्ण, पर्याप्त सांख्यिकी है।
इसलिए, सांख्यिकी \(T=\sum_{i=1}^n X_i\) पूर्णतः पर्याप्त है।
इसलिए, सही विकल्प 3 है।
Distribution Question 8:
मान लीजिए X ~ पॉइसन \(\left(\frac{3}{4}\right)\). तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 8 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 2 है
हम जल्द से जल्द समाधान अपडेट करेंगे।
Distribution Question 9:
मान लीजिए कि लंबाई α वाले रेखाखंड AB पर यादृच्छिक रूप से एक बिंदु P चुना जाता है। मान लीजिए कि Z₁ और Z₂ क्रमशः रेखाखंडों AP और BP की लंबाइयों को दर्शाते हैं। तब E(|Z₁ - Z₂|) का मान है
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 9 Detailed Solution
संप्रत्यय:
प्रत्याशित मान की गणना:
प्रत्याशित मान \( E(|Z_1 - Z_2|)\) ज्यामितीय प्रायिकता का उपयोग करके या खंड की लंबाई पर समाकलन करके प्राप्त किया जा सकता है। खंड पर बिंदु P के एकसमान वितरण के लिए, दो दूरियों के बीच निरपेक्ष अंतर का प्रत्याशित मान ज्ञात है
\(E(|Z_1 - Z_2|) = \frac{\alpha}{2}\)
व्याख्या:
आइए हम चर \(X = Z_1 - Z_2 \) प्रस्तुत करते हैं। चूँकि \( Z_1 + Z_2 = \alpha \), हमारे पास \(Z_2 = \alpha - Z_1\) है
इस प्रकार, \(X = Z_1 - (\alpha - Z_1) = 2Z_1 - \alpha \) , इसलिए \(X = 2Z_1 - \alpha\) है।
हम \(E(|X|) \) की गणना करना चाहते हैं, जो \( E(|2Z_1 - \alpha|\)) के समतुल्य है।
\(Z_1 \) का वितरण:
चूँकि P को रेखाखंड के साथ समान रूप से चुना जाता है, \(Z_1 \) 0 और α के बीच समान रूप से वितरित होता है। \(Z_1 \) का प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) है
\( f_{Z_1}(z_1) = \frac{1}{\alpha} \quad \text{for} \quad 0 \leq z_1 \leq \alpha \)
\( |X| \) का प्रत्याशित मान:
अब, हम प्रत्याशित मान \( E(|2Z_1 - \alpha|) \) की गणना करते हैं। इसमें \(Z_1 \) की सीमा पर \(2Z_1 - \alpha \) के निरपेक्ष मान को समाकलित करना शामिल है:
\(E(|2Z_1 - \alpha|) = \int_0^\alpha |2z_1 - \alpha| \cdot \frac{1}{\alpha} \, dz_1\)
समाकल को विभाजित करना
व्यंजक \( |2Z_1 - \alpha|\) तब चिह्न बदलता है जब \(z_1 = \frac{\alpha}{2}\) होता है।
इसलिए, हम समाकल को दो भागों में विभाजित करते हैं:
\(0 \leq z_1 \leq \frac{\alpha}{2} \) के लिए, \(|2z_1 - \alpha| = \alpha - 2z_1\) है।
\( \frac{\alpha}{2} \leq z_1 \leq \alpha \) के लिए, \(|2z_1 - \alpha| = 2z_1 - \alpha \) है।
इसलिए, प्रत्याशित मान बन जाता है:
\( E(|2Z_1 - \alpha|) = \int_0^{\frac{\alpha}{2}} (\alpha - 2z_1) \cdot \frac{1}{\alpha} \, dz_1 + \int_{\frac{\alpha}{2}}^\alpha (2z_1 - \alpha) \cdot \frac{1}{\alpha} \, dz_1 \)
पहला समाकल \(\int_0^{\frac{\alpha}{2}} (\alpha - 2z_1) \cdot \frac{1}{\alpha} \, dz_1 = \frac{1}{\alpha} \left[ \alpha z_1 - z_1^2 \right]_0^{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{\alpha} \left( \frac{\alpha^2}{2} - \frac{\alpha^2}{4} \right) = \frac{\alpha}{4}\)
दूसरा समाकल \(\int_{\frac{\alpha}{2}}^\alpha (2z_1 - \alpha) \cdot \frac{1}{\alpha} \, dz_1 = \frac{1}{\alpha} \left[ z_1^2 - \alpha z_1 \right]_{\frac{\alpha}{2}}^\alpha = \frac{1}{\alpha} \left( \alpha^2 - \alpha^2 + \frac{\alpha^2}{4} \right) = \frac{\alpha}{4}\)
\(E(|2Z_1 - \alpha|) = \frac{\alpha}{4} + \frac{\alpha}{4} = \frac{\alpha}{2}\)
\(E(|Z_1 - Z_2|) = \frac{\alpha}{2}\)
इसलिए विकल्प 3) सही है।
Distribution Question 10:
ऐसी प्रणाली के विषय में सोचिए जिसके दो घटकों के जीवनकाल उनकी क्षय दर (hazard rate) λ के साथ i.i.d. चर घातांकी हैं। यदि इन घटकों को श्रेणी क्रम तथा समांतर क्रम में रखे जाने पर प्रणाली के क्षय फलन (hazard functions) h1 तथा h2 हों, तो निम्न में से कौन - से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 10 Detailed Solution
Distribution Question 11:
यदि सामान्य pdf \(f(x \mid θ)=\frac{(\log θ) θ^x}{θ-1}\), 0 < x < 1, θ > 1 के साथ X1, X2, ..., Xn i.i.d. हो तो सांख्यिकी (statistic) \(T=\sum_{i=1}^n X_i\) है
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 11 Detailed Solution
दिया गया है:-
X1, X2, ..., Xn स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं जिनका सामान्य प्रायिकता घनत्व फलन (pdf) है
\(f(x \mid θ)=\frac{(\log θ) θ^x}{θ-1}\)
प्रयुक्त अवधारणा:-
यह जांचने के लिए कि क्या T = ∑ᵢ Xᵢ प्राचल θ के लिए पर्याप्त सांख्यिकी है, हमें प्रतिदर्श के संभाव्यता फलन को ज्ञात करने की आवश्यकता है।
व्याख्या:-
प्रतिदर्श का संयुक्त pdf निम्न द्वारा दिया गया है
\(\Rightarrow f(x₁, x₂, ..., xₙ | θ) = f(x₁ | θ) f(x₂ | θ) ... f(xₙ | θ) \\ \Rightarrow f(x₁, x₂, ..., xₙ | θ) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i \mid \theta) \\ \Rightarrow f(x₁, x₂, ..., xₙ | θ) = \prod_{i=1}^{n} \frac{(\log \theta) \theta^{x_i}}{\theta-1}\ \\ \Rightarrow f(x₁, x₂, ..., xₙ | θ) = (\log \theta)^n \frac{\theta^{\sum_{i=1}^n x_i}}{(\theta-1)^n}\)
कारक प्रमेय कहता है कि एक सांख्यिकी T प्राचल θ के लिए पर्याप्त है यदि और केवल यदि प्रतिदर्श का संयुक्त pdf दो फलनों में विभाजित किया जा सकता है।
एक जो केवल T के माध्यम से प्रतिदर्श पर निर्भर करता है, और दूसरा जो θ पर निर्भर नहीं करता है।
हम प्रतिदर्श के संयुक्त pdf को इस प्रकार पुनर्लेखित कर सकते हैं
⇒\(f(x₁, x₂, ..., xₙ | θ) = h(x₁, x₂, ..., xₙ) g(T | θ)\),
यहाँ,
\(⇒ h(x₁, x₂, ..., xₙ) = 1 \ \ \ \text{और} \\ ⇒ g(T | θ) = (\log \theta)^n \frac{\theta^T}{(\theta-1)^n}\)
चूँकि संयुक्त pdf को इस तरह से विभाजित किया जा सकता है, इसलिए T, θ के लिए एक पर्याप्त सांख्यिकी है।
यह जांचने के लिए कि क्या T पूर्ण है, हमें यह दिखाने की आवश्यकता है कि T प्रतिदर्श में निहित θ के बारे में सभी जानकारी को ग्रहण करने में सक्षम है।
दूसरे शब्दों में, T का कोई भी फलन जो θ से स्वतंत्र है, उसका अपेक्षित मान 0 के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए h(T), T का एक फलन है जो θ से स्वतंत्र है। तब
\(E[h(T)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(T) g(T | \theta) dT\\ E[h(T)]= \int_{0}^{1} h(T) \frac{\theta^T}{(\theta-1)^n} dT\\ E[h(T)]= \frac{(\log \theta)^n}{(\theta-1)^n} \int_{0}^{1} h(T) \exp(T \log \theta) dT\)
चूँकि θ > 1, \log θ > 0, और समाकलज [0,1] पर धनात्मक है।
इसलिए, यदि सभी θ > 1 के लिए E[h(T)] = 0, तो h(T) लगभग हर जगह [0,1] पर शून्य होना चाहिए।
यह दर्शाता है कि T, θ के लिए एक पूर्ण, पर्याप्त सांख्यिकी है।
इसलिए, सांख्यिकी \(T=\sum_{i=1}^n X_i\) पूर्णतः पर्याप्त है।
इसलिए, सही विकल्प 3 है।
Distribution Question 12:
मान लीजिए X₁ , X₂ , X₃ एक सतत बंटन से लिया गया यादृच्छिक प्रतिदर्श है जिसका संचयी बंटन फलन F(t), प्रायिकता घनत्व फलन f(t), और विफलता दर फलन \(\rm r(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}, t>0\) है, जहाँ F(0) = 0. यदि सभी t > 0 के लिए r(t) = 1 है, तो निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 12 Detailed Solution
संप्रत्यय:
पैरामीटर \(\lambda = 1\) वाले चरघातांकी बंटन के लिए:
\(F(t) = 1 - e^{-t}\) संचयी बंटन फलन है।
\( f(t) = e^{-t}\) प्रायिकता घनत्व फलन है।
व्याख्या:
विकल्प 1: दो स्वतंत्र चरघातांकी यादृच्छिक चरों \(X_1 \) और \( X_2\) के अधिकतम मान का सूत्र है
\(\mathbb{P}(\max\{X_1, X_2\} < 1) = F(1)^2 = (1 - e^{-1})^2 = (1 - \frac{1}{e})^2.\)
और \((1 - \frac{1}{e})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{e} + \frac{1}{e^2} = 1 - \frac{2}{e} + \frac{1}{e^2}.\)
यह व्यंजक \(\frac{1}{2e}\) के बराबर नहीं है, इसलिए विकल्प 1 गलत है।
विकल्प 2: दो स्वतंत्र चरघातांकी यादृच्छिक चरों \(X_1 \) और \( X_2\) के न्यूनतम मान का सूत्र है:
\(\mathbb{P}(\min\{X_1, X_2\} > 1) = (1 - F(1))^2 = e^{-1} \cdot e^{-1} = e^{-2}.\)
यह \(\frac{1}{2e}\) के बराबर नहीं है, इसलिए विकल्प 2 गलत है।
विकल्प 3: तीन स्वतंत्र चरघातांकी यादृच्छिक चरों के लिए, हमें यह प्रायिकता ज्ञात करने की आवश्यकता है कि \(X_1 \) और \( X_2\) का न्यूनतम मान \(X_3\) से अधिक है। चरघातांकी चरों के संयुक्त बंटन और तुलना से यह परिणाम प्राप्त होता है
जिसे चरघातांकी बंटनों का एक मानक गुणधर्म माना जाता है। इस परिदृश्य के लिए प्रायिकता \( \frac{2}{3}\) है, इसलिए विकल्प 3 सही है।
विकल्प 4: इसी प्रकार, चरघातांकी बंटन के गुणों और क्रम सांख्यिकी की तुलना का उपयोग करके, यह प्रायिकता
कि \(X_1 \) और \( X_2\) का अधिकतम मान \(X_3\) से कम है, \(\frac{1}{3} \) ज्ञात है, इसलिए विकल्प 4 सही है।
इसलिए, विकल्प 3) और 4) सही हैं।
Distribution Question 13:
मान लीजिये X1....Xn (n ≥ 3) एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है जिसका प्रायिकता घनत्व फलन \(\rm f(|x|θ)=\left\{\begin{matrix}θ e^{-θ x}, &if\ x >0\\\ 0, &otherwise\end{matrix}\right.\) है।
जहाँ θ > 0 एक अज्ञात प्राचल है। मान लीजिये \(\rm T_n=\frac{1}{n}\Sigma_{i=1}^nX_i\) निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 13 Detailed Solution
संप्रत्यय:
घातीय बंटन के लिए प्रायिकता घनत्व फलन (PDF)
घातीय बंटन का प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) इस प्रकार दिया गया है:
\(f(x|\theta) = \begin{cases} \theta e^{-\theta x} & \text{यदि } x > 0 \\ 0 & \text{अन्यथा} \end{cases}\)
यहाँ, \(\theta \) दर प्राचल है। घातीय बंटन का उपयोग अक्सर उन प्रक्रियाओं में अगली घटना तक के समय को मॉडल करने के लिए किया जाता है जहाँ घटनाएँ लगातार और स्वतंत्र रूप से होती हैं
एक स्थिर औसत दर पर (जैसे, पॉइसन प्रक्रिया)।
प्रतिदर्श \( X_1, X_2, \dots, X_n \) से, प्रतिदर्श माध्य \(T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\) \(\theta \) के लिए एक पर्याप्त सांख्यिकी है।
प्रतिदर्श माध्य \(T_n\) \(\frac{1}{\theta}\) का एक आकलक है क्योंकि घातीय बंटन के लिए, अपेक्षित मान \(\mathbb{E}(X_i) = \frac{1}{\theta} \) है।
व्याख्या: आप जिस समस्या से निपट रहे हैं, उसमें दिए गए प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) वाले बंटन से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श \(X_1, X_2, \dots, X_n \) शामिल है:
\(f(x|\theta) = \begin{cases} \theta e^{-\theta x} & \text{यदि } x > 0 \\ 0 & \text{अन्यथा} \end{cases}\)
जहाँ \(\theta > 0 \) एक अज्ञात प्राचल है, और सांख्यिकी \(T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \) पर विचार किया जाता है।
विकल्प 1: घातीय बंटन के लिए, प्रतिदर्श माध्य \( T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \) \( \frac{1}{\theta} \) का एक पर्याप्त और
अनभिनत आकलक है। इसलिए, \( \theta \) का अनभिनत आकलक \(\frac{1}{T_n} \) है।
\(\theta\) का UMVUE \( \frac{n-1}{n T_n} \) है, क्योंकि यह एक ऐसा सुधार है जो पूर्वाग्रह को समायोजित करता है। इसलिए, विकल्प 1 सही है।
विकल्प 2: घातीय बंटन \(\theta e^{-\theta x} \) से एकल अवलोकन के लिए फिशर सूचना \(I(\theta) \) \( \frac{1}{\theta^2}\) है।
इसलिए, आकार n के एक प्रतिदर्श के लिए, फिशर सूचना \(n \times \frac{1}{\theta^2}\) है, और \(\theta \) के किसी भी अनभिनत आकलक के प्रसरण के लिए क्रैमर-राव निम्न सीमा
(CRLB) है:
\( \text{CRLB} = \frac{1}{n \times I(\theta)} = \frac{\theta^2}{n}.\)
इसलिए, विकल्प 2 सही है।
विकल्प 3: \( \theta \) का UMVUE आवश्यक रूप से क्रैमर-राव निम्न सीमा प्राप्त नहीं करता है। जबकि यह अनभिनत है
और अनभिनत आकलकों के बीच न्यूनतम प्रसरण है, यह सीमा तक नहीं पहुँच सकता है। विकल्प 3 गलत है।
विकल्प 4: प्रायिकता \( P_\theta(X_1 \leq 1)\) की गणना घातीय बंटन के संचयी बंटन फलन (CDF) से की जा सकती है
(CDF):
\(P_\theta(X_1 \leq 1) = 1 - e^{-\theta}.\)
इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि \(T_n \) \( \frac{1}{\theta} \) के लिए एक अनभिनत आकलक है, व्यंजक \(\left(1 - e^{-\frac{1}{T_n}}\right) \) \(1 - e^{-\theta} \) के लिए एक संगत
आकलक है, जो \(P_\theta(X_1 \leq 1) \) है। इसलिए, विकल्प 4 सही है।
सही कथन विकल्प 1), विकल्प 2) और विकल्प 4) हैं।
Distribution Question 14:
मानिए कि एक अज्ञात प्रायिकता बंटन से युक्तिसंगत रूप से बड़े प्रादर्श x1,... xn का उपयोग करते हुए एक प्रसामान्य Q - Q आरेख बनाया जाता है। निम्न में से किस बंटन के लिए Q - Q आरेख के उत्तल होने की अपेक्षा है (J की आकृति का)?
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 14 Detailed Solution
Distribution Question 15:
यदि (X, Y) द्विचर प्रसामान्य बंटन के अनुसार हो जहां माध्य μ1, μ2, मानक विचलन σ1, σ2 तथा सह संबंध गुणांक ρ हों जहां सभी प्राचल अज्ञात हैं। तब परीक्षण H0 : σ1 = σ2 निम्न में से किनकी स्वतंत्रता परीक्षित करने के तुल्य है