Probability MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Probability - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 1, 2025
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Probability Question 1:
एक छः फलकों वाली पासा पर विचार करें जिसके i-वें फलक पर z बिंदु अंकित हैं, i = 1, 2,...,6। पासे के एकल यादृच्छिक फेंक में, मान लीजिए कि pi इस प्रायिकता को दर्शाता है कि प्राप्त ऊपरी फलक पर i बिंदु हैं, i = 1, 2,...,6। पासे को 240 बार स्वतंत्र रूप से घुमाया जाता है और निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है
| प्राप्त फलक | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| बारंबारता | 40 | 55 | 40 | 25 | 35 | 45 |
मान लीजिए कि हम H0 : \(\rm p_i=\frac{1}{6}\) का परीक्षण i = 1, 2,...,6 के लिए करना चाहते हैं; H1 : pi ≠ \(\frac{1}{6}\) के विरुद्ध कम से कम एक i के लिए; i = 1, 2,...,6। दिया गया है कि \(\rm χ_{5; 0.05}^2\) = 11.07, \(\rm χ_{6; 0.05}^2\) = 12.59, \(\rm χ_{5; 0.01}^2\) = 15.09, \(\rm χ_{6; 0.01}^2\) = 16.81। H0 के विरुद्ध H1 के परीक्षण के लिए अनंत उपयुक्तता χ2 परीक्षण के आधार पर, निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 1 Detailed Solution
अवधारणा:
( शून्य परिकल्पना) : पासा निष्पक्ष है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक फलक की समान प्रायिकता है
\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\) 
.
(वैकल्पिक परिकल्पना): कम से कम एक फलक की प्रायिकता \(\frac{1}{6}\) से भिन्न है ।
स्पष्टीकरण:
पासे को 240 बार घुमाया जाता है, इसलिए \(H_0 \) के अंतर्गत प्रत्येक फलक के लिए अपेक्षित बारंबारता है:
\(\text{Expected frequency for each face} = \frac{1}{6} \times 240 = 40.\)
इस प्रकार, प्रत्येक फलक के लिए अपेक्षित बारंबारता 40 है।
तालिका से, प्रेक्षित बारंबारताएँ इस प्रकार हैं:
[40, 55, 40, 25, 35, 45].
काई-वर्ग सांख्यिकी का सूत्र है:
\(\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i},\)
जहाँ \(O_i\) प्रेक्षित बारंबारता है और \(E_i\) अपेक्षित बारंबारता है।
अब, हम चरण दर चरण \(\chi^2\) की गणना करते हैं:
\(\chi^2 = \frac{(40 - 40)^2}{40} + \frac{(55 - 40)^2}{40} + \frac{(40 - 40)^2}{40} + \frac{(25 - 40)^2}{40} + \frac{(35 - 40)^2}{40} + \frac{(45 - 40)^2}{40}\)
⇒ \(\chi^2 = \frac{0^2}{40} + \frac{15^2}{40} + \frac{0^2}{40} + \frac{15^2}{40} + \frac{5^2}{40} + \frac{5^2}{40}\)
⇒ \( \chi^2 = 0 + \frac{225}{40} + 0 + \frac{225}{40} + \frac{25}{40} + \frac{25}{40} \)
⇒ \(\chi^2 = 0 + 5.625 + 0 + 5.625 + 0.625 + 0.625 \)
⇒ \( \chi^2 = 12.5\)
इस प्रकार, परीक्षण सांख्यिकी का प्रेक्षित मान 12.5 है।
काई-वर्ग बंटन के लिए क्रांतिक मान दिए गए हैं, \(\chi^2_{5, 0.05} = 11.07\)
\(\chi^2_{5, 0.01} = 15.09\)
\(\chi^2_{6, 0.01} = 16.81\)
5% सार्थकता स्तर पर, 5 स्वातंत्र्य कोटि के साथ, क्रांतिक मान \(\chi^2_{5, 0.05} = 11.07\) है। चूँकि
प्रेक्षित \(\chi^2 = 12.5\) 11.07 से अधिक है, हम 5% सार्थकता स्तर पर \(H_0 \) को अस्वीकृत करते हैं।
1% सार्थकता स्तर पर, क्रांतिक मान \(\chi^2_{5, 0.01} = 15.09\) है। चूँकि \(\chi^2 = 12.5\), 15.09 से कम है,
हम \(H_0 \) 1% सार्थकता स्तर पर अस्वीकृत नहीं करते हैं।
विकल्प 1: \(H_0 \), 5% सार्थकता के स्तर पर अस्वीकृत कर दिया जाता है। यह सत्य है क्योंकि \(\chi^2 = 12.5 > 11.07\) है।
विकल्प 2: \(H_0 \) 1% सार्थकता स्तर पर अस्वीकृत किया जाता है। यह गलत है क्योंकि \(\chi^2 = 12.5 < 15.09\) है।
विकल्प 3: \(H_0 \) 5% महत्व के स्तर पर अस्वीकृत नहीं किया गया है। यह गलत है क्योंकि हमने \(H_0 \) 5% स्तर पर अस्वीकृत किया है।
विकल्प 4: परीक्षण सांख्यिकी का प्रेक्षित मान 12.5 है। यह सत्य है।
अतः सही विकल्प 1) और 4) हैं।
Probability Question 2:
आप कंपनी I तथा II में रु. 1000 निवेश करना चाहते हैं। यदि बाज़ार अच्छा है, तो कंपनी | द्वारा 50% का लाभांश घोषित होगा जबकि कंपनी ॥ द्वारा 30% घोषित होगा। यदि बाज़ार खराब है, कंपनी | द्वारा 10% का लाभांश जबकि कंपनी II द्वारा 20% लाभांश घोषित होगा। पूर्वानुमान है कि बाज़ार के सुधरने की प्रायिकता 0.4 तथा खराब होने की प्रायिकता 0.6 है। अपेक्षित लाभांश को अधिकतमीकृत करने के लिए निवेश होना चाहिए
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 2 Detailed Solution
Probability Question 3:
यदि दो वर्गों में घनत्व क्रमश:
f1(x) = 1; 0 ≤ x ≤ 1 तथा f2(x) = 1+ cos (2πx); 0 ≤ x ≤ 1, हो तो उन दोनों के बीच वर्गीकरण की समस्या पर विचार कीजिए। यह मानें कि दो वर्गों की पूर्व प्रायिकता बराबर हैं। निम्न में से कौन - से सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 3 Detailed Solution
Probability Question 4:
पूर्णांकों पर एक सरल सममित यादृच्छिक भ्रमण पर विचार करें जहां हर अवस्था i से अवस्था i - 1 तथा i + 1 प्रत्येक में जानें की प्रायिकता आधी है। तब निम्न में से कौन से सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 4 Detailed Solution
Probability Question 5:
फलन f(x) को इस तरह परिभाषित करते हैं।
f(x) = ce-x4, x ∈ ℝ.
C के किस मान के लिए f प्रायिकता घनत्व फलन होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 5 Detailed Solution
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Probability Question 6:
दो बक्से हैं। बक्से I में 3 लाल गेंदें और 2 सफेद गेंदें हैं। बक्से II में 2 लाल गेंदें और 3 सफेद गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से किसी एक बक्से से निकाली जाती है। घटना A यह है कि निकाली गई गेंद लाल है, और घटना B यह है कि गेंद बक्से I से निकाली गई थी। यदि P(B|A) = 3/5 है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 6 Detailed Solution
व्याख्या -
दिया गया है कि P(B|A) = 3/5 का अर्थ वह प्रायिकता है कि गेंद बक्से I से निकाली गई थी, यह दिया गया है कि वह लाल थी, घटनाओं की स्वतंत्रता नहीं।
लाल गेंद निकालने की कुल प्रायिकता (घटना A) बक्से I से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता और बक्से II से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता के योग के बराबर है।
यह मानते हुए कि किसी भी बक्से से निकालने की समान संभावना है:
\(P(A) = 0.5*(3/5) + 0.5*(2/5) = 0.5\)
बक्से I (घटना B) से निकालने की प्रायिकता, समस्या के सेटअप से, 0.5 है।
यदि A और B स्वतंत्र होते, तो P(A ∩ B) P(A)P(B) के बराबर होता, जो है:
P(A)P(B) = 0.5*0.5 = 0.25
लेकिन, P(A ∩ B) बक्से I से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता के बराबर भी है, जो है:
P(A ∩ B) = 0.5*(3/5) = 0.3
चूँकि P(A)P(B) P(A ∩ B) के बराबर नहीं है, इसलिए घटनाएँ A और B स्वतंत्र नहीं हैं।
इसलिए, सही उत्तर विकल्प (2) है।
Probability Question 7:
फलन f(x) को इस तरह परिभाषित करते हैं।
f(x) = ce-x4, x ∈ ℝ.
C के किस मान के लिए f प्रायिकता घनत्व फलन होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 7 Detailed Solution
Probability Question 8:
एक सिक्के को उछालने पर चित्त आने की प्रायिकता p, p ∈ (0, 1) है। सिक्के को स्वतंत्र रूप से 25 बार उछाला जाता है और चित्त 10 बार आता है। पूर्व प्रायिकता Beta (5, 5) और वर्ग त्रुटि हानि फलन के सापेक्ष p का बेयस अनुमान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 8 Detailed Solution
व्याख्या -
Probability Question 9:
किसी यादृच्छिक प्रयोग में एक अनभिनत सिक्का एक बार उछाला जाता है। फिर एक अनभिनत षटफलकीय पासा N बार फेंका जाता है, जहाँ
\(N=\left\{\begin{array}{lll} 100, & \text { if } \quad \text { Head appears } \\ 101, & \text { if } \quad \text { Tail appears } \end{array}\right.\).
यदि N प्रयासों में Y बार 6 आता हो तब P(Head |Y = 15) का मान है।
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 9 Detailed Solution
Probability Question 10:
एक पूर्णांक n ≥ 4 लीजिये। एक परिमित अवस्था समष्टि {1, 2, …, n} पर एक समघात मार्कोव श्रृंखला दी गई है जिसका संक्रमण प्रायिकता आव्यूह P और प्रारंभिक वितरण μ है। आव्यूह In, n कोटि का तत्समक आव्यूह दर्शाता है, और Un एक ऐसा आव्यूह है जहाँ प्रत्येक अवयव 1/n के बराबर है। तब निम्नलिखित में से कौन से कथन आवश्यक रूप से सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 10 Detailed Solution
संप्रत्यय -
परिणाम -
(i) अभिक्रमित मार्कोव श्रृंखला का स्थायी वितरण मौजूद है और यह मार्कोव श्रृंखला के अभिक्रमण गुण द्वारा अद्वितीय है।
(ii) संक्रमण आव्यूह P की प्रत्येक पंक्ति में प्रायिकताओं का योग 1 के बराबर है।
व्याख्या -
परिणामों के अनुसार विकल्प 3 और 4 सही हैं।
दूसरा, संक्रमण आव्यूह की प्रत्येक पंक्ति में प्रायिकताओं का योग हमेशा 1 के बराबर होता है,
मार्कोव श्रृंखला के संदर्भ में एक स्टोकेस्टिक आव्यूह या संक्रमण आव्यूह की परिभाषा से। इस आव्यूह की प्रत्येक पंक्ति अगले समय चरण के लिए अवस्थाओं पर एक प्रायिकता वितरण का प्रतिनिधित्व करती है, जो वर्तमान अवस्था को देखते हुए है।
विकल्प (1) और (2) आवश्यक रूप से सही नहीं हैं।
मार्कोव श्रृंखला के गुण, जिसमें लंबी अवधि में इसका व्यवहार या कुछ अवस्थाओं तक पहुँचने की सटीक प्रायिकताएँ शामिल हैं, काफी हद तक सटीक संक्रमण प्रायिकता आव्यूह पर निर्भर करते हैं, न कि केवल अवस्थाओं की संख्या पर।
Probability Question 11:
मान लीजिए कि \(X₁, X₂, ..., X₂₅ \) और \(Z₁, Z₂, ..., Z₂₆\) स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (i.i.d.) यादृच्छिक चर हैं जिनका एकसमान बंटन अंतराल [0, 1] पर है। यदि हम X और Z के प्रतिदर्शों में क्रम सांख्यिकी k को X(k) और Z(k) से दर्शाते हैं, जहाँ k = 8 (8वाँ क्रम सांख्यिकी) है। P(X(8) > Z(8)) की गणना करने के लिए सही व्यंजक क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 11 Detailed Solution
व्याख्या -
इस प्रश्न में हम चाहते हैं कि X(8) Z(8) से बड़ा हो, इसका अर्थ है कि हम चाहते हैं कि X का 8वाँ सबसे छोटा क्रम सांख्यिकी Z के 8वें सबसे छोटे क्रम सांख्यिकी से अधिक हो।
Z प्रतिदर्श के भीतर, हम चाहते हैं कि Z(8) का मान 0 और x के बीच हो (चूँकि एकसमान बंटन अंतराल [0, 1] के बीच है)।
उस अंतराल में, हम Zi में से 8 को x से कम चुन रहे हैं, जो पैरामीटर 26 (Z नमूने में 26 Zi के लिए) और x (क्योंकि हम अंतराल [0, x] पर विचार कर रहे हैं) के साथ द्विपद वितरण का पालन करता है, जिसे \(26_{C_8} * x^8 * (1-x)^{18}\) से दर्शाया गया है।
साथ ही, हम चाहते हैं कि X(8) का मान x से बड़ा हो (x और 1 के बीच)।
ऐसे मामलों में, हम केवल 7 Xi को x से कम चुनते हैं, जो प्राचल 25 (X प्रतिदर्श में 25 Xi के लिए) और x (क्योंकि हम अंतराल [0, x] पर विचार कर रहे हैं) के साथ द्विपद बंटन का पालन करता है, जिसे \(25_{C_7} * x^7 * (1-x)^{18}.\) से दर्शाया गया है।
इसलिए, P(X(8) > Z(8)) समाकल \(∫_0^1 [25_{C_7} * x^7 (1-x)^{18} * 26_{C_8} x^8 * (1-x)^{18} dx\) द्वारा दिया गया है, जो कि विकल्प 1 है।
Probability Question 12:
एक बड़े समुदाय में, यह देखा गया है कि जनसंख्या का अनुपात p ग्लूटेन की एलर्जी से ग्रस्त है। एक यादृच्छिक प्रयोग किया जाता है जहाँ m व्यक्तियों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और उन्हें ग्लूटेन युक्त भोजन दिया जाता है। इस परीक्षण के बाद, कम से कम एक व्यक्ति को ग्लूटेन की एलर्जी की प्रतिक्रिया होती है। निम्नलिखित में से कौन सा सही ढंग से यह प्रायिकता देता है कि अधिकतम तीन m व्यक्तियों को एलर्जी की प्रतिक्रिया हुई?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 12 Detailed Solution
व्याख्या -
यहाँ, हमें सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात करने की आवश्यकता है कि अधिकतम तीन व्यक्तियों को एलर्जी की प्रतिक्रिया हुई है, यह देखते हुए कि कम से कम एक व्यक्ति को एलर्जी की प्रतिक्रिया हुई है।
अंश अधिकतम तीन व्यक्तियों के प्रतिक्रिया दिखाने की द्विपद प्रायिकता है: \(∑_{k=0}^3 {m_{C_k} p^k (1-p)^{m-k}}\)
हर वह प्रायिकता है कि कम से कम एक व्यक्ति एलर्जी की प्रतिक्रिया दिखाता है: 1 - (वह प्रायिकता कि कोई भी एलर्जी की प्रतिक्रिया नहीं दिखाता) = \(1 - (1-p)^m\)
इसलिए, प्रायिकता के लिए सही व्यंजक होना चाहिए: \(∑_{k=0}^3 \frac{m_{C_k} p^k (1-p)^{m-k}} {1 - (1-p)^m}\)
इसलिए, सही उत्तर विकल्प (2) है।
Probability Question 13:
एक छः फलकों वाली पासा पर विचार करें जिसके i-वें फलक पर z बिंदु अंकित हैं, i = 1, 2,...,6। पासे के एकल यादृच्छिक फेंक में, मान लीजिए कि pi इस प्रायिकता को दर्शाता है कि प्राप्त ऊपरी फलक पर i बिंदु हैं, i = 1, 2,...,6। पासे को 240 बार स्वतंत्र रूप से घुमाया जाता है और निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है
| प्राप्त फलक | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| बारंबारता | 40 | 55 | 40 | 25 | 35 | 45 |
मान लीजिए कि हम H0 : \(\rm p_i=\frac{1}{6}\) का परीक्षण i = 1, 2,...,6 के लिए करना चाहते हैं; H1 : pi ≠ \(\frac{1}{6}\) के विरुद्ध कम से कम एक i के लिए; i = 1, 2,...,6। दिया गया है कि \(\rm χ_{5; 0.05}^2\) = 11.07, \(\rm χ_{6; 0.05}^2\) = 12.59, \(\rm χ_{5; 0.01}^2\) = 15.09, \(\rm χ_{6; 0.01}^2\) = 16.81। H0 के विरुद्ध H1 के परीक्षण के लिए अनंत उपयुक्तता χ2 परीक्षण के आधार पर, निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 13 Detailed Solution
संप्रत्यय:
(शून्य परिकल्पना) : पासा निष्पक्ष है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक फलक की समान प्रायिकता है \(\frac{1}{6}\).
(वैकल्पिक परिकल्पना) : कम से कम एक फलक की प्रायिकता \(\frac{1}{6}\) से भिन्न है।
व्याख्या:
पासे को 240 बार घुमाया जाता है, इसलिए H0 के अंतर्गत प्रत्येक फलक के लिए अपेक्षित बारंबारता है:
\(\text{प्रत्येक फलक के लिए अपेक्षित बारंबारता} = \frac{1}{6} \times 240 = 40.\)
इस प्रकार, प्रत्येक फलक के लिए अपेक्षित बारंबारता 40 है।
सारणी से, प्रेक्षित बारंबारताएँ हैं:
[40, 55, 40, 25, 35, 45].
काई-वर्ग सांख्यिकी का सूत्र है:
\(\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i},\)
जहाँ \(O_i\) प्रेक्षित बारंबारता है और \(E_i\) अपेक्षित बारंबारता है।
अब, हम चरण दर चरण \(\chi^2\) की गणना करते हैं:
\(\chi^2 = \frac{(40 - 40)^2}{40} + \frac{(55 - 40)^2}{40} + \frac{(40 - 40)^2}{40} + \frac{(25 - 40)^2}{40} + \frac{(35 - 40)^2}{40} + \frac{(45 - 40)^2}{40}\)
\(\chi^2 = 0 + \frac{225}{40} + 0 + \frac{225}{40} + \frac{25}{40} + \frac{25}{40} \)
\( \chi^2 = 12.5\)
इस प्रकार, परीक्षण सांख्यिकी का प्रेक्षित मान 12.5 है।
काई-वर्ग वितरण के लिए क्रांतिक मान दिए गए हैं \(\chi^2_{5, 0.05} = 11.07\) , \(\chi^2_{5, 0.01} = 15.09\)
5% महत्व स्तर पर, 5 स्वातंत्र्य कोटि के साथ, क्रांतिक मान \(\chi^2_{5, 0.05} = 11.07\) है। चूँकि प्रेक्षित \(\chi^2 = 12.5\) , 11.07 से अधिक है, हम 5% महत्व स्तर पर H0 को अस्वीकार करते हैं।
1% महत्व स्तर पर, क्रांतिक मान \(\chi^2_{5, 0.01} = 15.09\) है। चूँकि \(\chi^2 = 12.5\), 15.09 से कम है, हम 1% महत्व स्तर पर H0 को अस्वीकार नहीं करते हैं।
विकल्प 1 और 4 सही हैं।
Probability Question 14:
आप कंपनी I तथा II में रु. 1000 निवेश करना चाहते हैं। यदि बाज़ार अच्छा है, तो कंपनी | द्वारा 50% का लाभांश घोषित होगा जबकि कंपनी ॥ द्वारा 30% घोषित होगा। यदि बाज़ार खराब है, कंपनी | द्वारा 10% का लाभांश जबकि कंपनी II द्वारा 20% लाभांश घोषित होगा। पूर्वानुमान है कि बाज़ार के सुधरने की प्रायिकता 0.4 तथा खराब होने की प्रायिकता 0.6 है। अपेक्षित लाभांश को अधिकतमीकृत करने के लिए निवेश होना चाहिए
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 14 Detailed Solution
Probability Question 15:
यदि दो वर्गों में घनत्व क्रमश:
f1(x) = 1; 0 ≤ x ≤ 1 तथा f2(x) = 1+ cos (2πx); 0 ≤ x ≤ 1, हो तो उन दोनों के बीच वर्गीकरण की समस्या पर विचार कीजिए। यह मानें कि दो वर्गों की पूर्व प्रायिकता बराबर हैं। निम्न में से कौन - से सही हैं?