Independent Random Variables MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Independent Random Variables - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 4, 2025
Latest Independent Random Variables MCQ Objective Questions
Independent Random Variables Question 1:
मान लीजिये \(X_0, X_1, \ldots, X_p ( p \geq 2 )\) स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं जिनका माध्य 0 और प्रसरण 1 है। \(Y_i = X_0 + X_i \) को i = 1, ...., p के लिए परिभाषित करें। \(Y = (Y_1, \ldots, Y_p)^T\) के सहप्रसरण आव्यूह को Σ से दर्शाया गया है। Σ पर आधारित पहला मुख्य घटक क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Independent Random Variables Question 1 Detailed Solution
हल:
हम सहप्रसरण संरचना का विश्लेषण करते हैं और सबसे बड़े आइगेनवैल्यू के संगत आइगेनवेक्टर निर्धारित करते हैं।
चरण 1: Y का सहप्रसरण आव्यूह
Yi और Yj के बीच सहप्रसरण है:
\(\text{Cov}(Y_i, Y_j) = \text{Var}(X_0) + \delta_{ij} \text{Var}(X_i)\),
जहाँ \(\delta_{ij}\) क्रोनकर डेल्टा है। इस प्रकार:
i = j के लिए : \(\text{Cov}(Y_i, Y_j) = 1 + 1 = 2\) ,
i ≠ j के लिए : \(\text{Cov}(Y_i, Y_j) = 1\) .
सहप्रसरण आव्यूह Σ में सभी विकर्ण प्रविष्टियाँ 2 के बराबर हैं और विकर्ण से बाहर की प्रविष्टियाँ 1 के बराबर हैं।
चरण 2: Σ का आइगेनवेक्टर
Σ के सबसे बड़े आइगेनवैल्यू से जुड़े आइगेनवेक्टर के अनुरूप पहला मुख्य घटक है।
आइगेनवेक्टर \(\mathbf{v} = \frac{1}{\sqrt{p}}(1, 1, \ldots, 1)^T \) के समानुपाती है।
चरण 3: पहला मुख्य घटक
पहला मुख्य घटक है:
\(Z_1 = \mathbf{v}^T Y = \frac{1}{\sqrt{p}} \sum_{i=1}^p Y_i\).
इसलिए सही विकल्प (3) है।
Independent Random Variables Question 2:
मान लीजिए X और Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं जहाँ X ~ N(2, 4) और Y ~ N(-4, 9) है, जहाँ N(μ , σ2) माध्य μ और प्रसरण σ2 वाले प्रसामान्य बंटन को दर्शाता है। दिया गया है कि ϕ(1) = 0.8413, ϕ(2) = 0.9772 और ϕ(3) = 0.9987 जहाँ ϕ(⋅) एक मानक प्रसामान्य यादृच्छिक चर का संचयी बंटन फलन है। निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Independent Random Variables Question 2 Detailed Solution
संप्रत्यय:
1. स्वतंत्र सामान्य चरों के रैखिक संयोजन:
यदि \( X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)\) और \(Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2) \) स्वतंत्र हैं, तो अचर \(a\) और b के लिए, रैखिक
संयोजन \(Z = aX + bY\) एक प्रसामान्य बंटन का पालन करता है:
माध्य: \(\mu_Z = a\mu_X + b\mu_Y\) ,
प्रसरण: \(\sigma_Z^2 = a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2 \).
2. रैखिक संयोजनों का सहप्रसरण:
दो रैखिक संयोजनों \(aX + bY\) और \(cX + dY\) का सहप्रसरण है
\( \text{Cov}(aX + bY, cX + dY) = ac \text{Var}(X) + bd \text{Var}(Y)\).
यदि X और Y स्वतंत्र हैं, तो \(\text{Cov}(X, Y)\) वाले पद समाप्त हो जाते हैं।
व्याख्या:
विकल्प 1: 2X + Y का प्रसरण ज्ञात करने के लिए, हम इस गुणधर्म का उपयोग करते हैं कि यदि X और Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, तो
\(\text{Var}(aX + bY) = a^2 \text{Var}(X) + b^2 \text{Var}(Y).\)
यहाँ \(a = 2 , \text{Var}(X) = 4 ,\)
\(b = 1 , \text{Var}(Y) = 9 .\)
इसलिए \(\text{Var}(2X + Y) = 2^2 \cdot 4 + 1^2 \cdot 9 = 16 + 9 = 25\)
इस प्रकार, विकल्प 1 गलत है, क्योंकि सही प्रसरण 25 है, 17 नहीं।
विकल्प 2: इसे हल करने के लिए, पहले ध्यान दें कि 2X + Y प्रसामान्य रूप से वितरित है क्योंकि X और Y दोनों प्रसामान्य रूप से वितरित हैं।
विकल्प 1 के परिणामों का उपयोग करके, हम जानते हैं कि:
\(2X + Y \sim N(0, 25).\)
अब, \(\mathbb{P}(|Z| \leq 15)\) , जहाँ \(Z \sim N(0, 25) \), \(\mathbb{P}(-15 \leq Z \leq 15)\) के समतुल्य है।
हम इसे मानक प्रसामान्य चर \(Z \sim N(0, 1)\) में परिवर्तित करके मानकीकृत करते हैं:
\(\mathbb{P}\left( \frac{-15}{5} \leq Z \leq \frac{15}{5} \right) = \mathbb{P}(-3 \leq Z \leq 3)\).
दी गई जानकारी से, हमारे पास है,
\(\mathbb{P}(Z \leq 3) = 0.9987 \quad \text{और} \quad \mathbb{P}(Z \leq -3) = 1 - 0.9987 = 0.0013.\)
इस प्रकार,
\(\mathbb{P}(-3 \leq Z \leq 3) = 0.9987 - 0.0013 = 0.9974.\)
इसलिए, विकल्प 2 सही है।
विकल्प 3: सहप्रसरण की गणना करने के लिए, सहप्रसरण की रैखिकता और इस तथ्य का उपयोग करें कि X और Y स्वतंत्र हैं:
\(\text{Cov}(3X + 2Y, 3X - 2Y) = \text{Cov}(3X, 3X) - \text{Cov}(3X, 2Y) + \text{Cov}(2Y, 3X) - \text{Cov}(2Y, 2Y).\)
चूँकि X और Y स्वतंत्र हैं, \(\text{Cov}(X, Y) = 0\) , इसलिए सहप्रसरण सरल हो जाता है
\(\text{Cov}(3X + 2Y, 3X - 2Y) = \text{Cov}(3X, 3X) - \text{Cov}(2Y, 2Y).\)
अब, गुणधर्म \(\text{Cov}(aX, bY) = ab \text{Cov}(X, Y)\) का उपयोग करके, हमारे पास है:
\(\text{Cov}(3X, 3X) = 9 \text{Var}(X) = 9 \times 4 = 36, \quad \text{Cov}(2Y, 2Y) = 4 \text{Var}(Y) = 4 \times 9 = 36.\)
इस प्रकार, \(\text{Cov}(3X + 2Y, 3X - 2Y) = 36 - 36 = 0.\)
इसलिए, विकल्प 3 सही है।
विकल्प 4: हमने पहले ही गणना की है कि 2X - Y प्रसामान्य रूप से वितरित है जिसका
माध्य: \( \mathbb{E}(2X - Y) = 2 \cdot 2 - (-4) = 4 + 4 = 8 \),
प्रसरण: \(\text{Var}(2X - Y) = 2^2 \cdot 4 + (-1)^2 \cdot 9 = 16 + 9 = 25 .\)
इस प्रकार, \(2X - Y \sim N(8, 25) , N(0, 25) नहीं\) ।
इसलिए, विकल्प 4 गलत है।
अतः विकल्प 2) और 3) सही हैं।
Independent Random Variables Question 3:
मान लीजिए X1,...Xn स्वतंत्र और एकसमान रूप से वितरित U(0, θ), θ > 0 यादृच्छिक चर हैं। X(n) = max{X1....Xn} और X(1) = min{X1..., Xn} को परिभाषित कीजिए। निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Independent Random Variables Question 3 Detailed Solution
हम बाद में हल अपडेट करेंगे।
Independent Random Variables Question 4:
मान लीजिए X0, X1 ......Xp (p ≥ 2) स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं जिनका माध्य 0 और प्रसरण 1 है। मान लीजिए Yi = X0 + Xi, i = 1....p। Y = (Y1...., Yp)T के सहप्रसरण आव्यूह पर आधारित पहला मुख्य घटक है:
Answer (Detailed Solution Below)
Independent Random Variables Question 4 Detailed Solution
संप्रत्यय:
सहप्रसरण आव्यूह की गणना:
प्रत्येक \(Y_i = X_0 + X_i \) और चूँकि \(X_i\) स्वतंत्र और समान रूप से वितरित हैं, इसलिए उनके प्रसरण और सहप्रसरणों की सरलता से गणना की जा सकती है।
\(Y_i \) का प्रसरण \( \text{Var}(Y_i) = \text{Var}(X_0 + X_i) = \text{Var}(X_0) + \text{Var}(X_i) = 1 + 1 = 2.\) है।
किन्हीं दो भिन्न \(Y_i \) और \(Y_j\) (जहाँ \(i \neq j \) ) के बीच सहप्रसरण है
\(\text{Cov}(Y_i, Y_j) = \text{Cov}(X_0 + X_i, X_0 + X_j) = \text{Var}(X_0) = 1.\)
इस प्रकार, Y के सहप्रसरण आव्यूह में विकर्ण पर 2 और विकर्ण के बाहर 1 हैं।
व्याख्या:
\(X_0, X_1, \dots, X_p\) स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (i.i.d.) यादृच्छिक चर हैं जिनका माध्य 0 और प्रसरण 1 है।
\(Y_i = X_0 + X_i , for i = 1, 2, \dots, p \).
\( \mathbf{Y} = (Y_1, \dots, Y_p)^T\) के सहप्रसरण आव्यूह पर आधारित पहला मुख्य घटक ज्ञात करना कार्य है।
प्रत्येक \(Y_i = X_0 + X_i \) जहाँ, \( X_0\) सभी \(Y_i \) में समान है।
किन्हीं दो भिन्न \( Y_i \) और \(Y_j \) के बीच सहप्रसरण \( X_0 \) पर निर्भर करता है।
\(\mathbf{Y} \) के लिए सहप्रसरण आव्यूह \(\Sigma_Y \) में प्रविष्टियाँ होंगी:
\(\text{Cov}(Y_i, Y_j) = \text{Var}(X_0) + \delta_{ij} \cdot \text{Var}(X_i) \), जहाँ \(\delta_{ij}\) क्रोनकर डेल्टा है।
चूँकि \(X_0 \) और \(X_i \) का प्रसरण 1 है, हमें मिलता है,
\(\text{Cov}(Y_i, Y_j) = 1 \) जब \(i \neq j \) (समान \(X_0 \) के कारण)।
\(\text{Cov}(Y_i, Y_i) = 2\) जब \( i = j \).
इस प्रकार, सहप्रसरण आव्यूह \( \Sigma_Y\) एक आव्यूह है जिसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ 2 और विकर्ण के बाहर
प्रविष्टियाँ 1 हैं। यह एक सममित आव्यूह है।
पहला मुख्य घटक सहप्रसरण आव्यूह \( \Sigma_Y\) के सबसे बड़े आइगेन मान से जुड़े आइगेन सदिश के संगत है।
इस तरह के सहप्रसरण आव्यूह (सभी विकर्ण के बाहर के अवयव समान और विकर्ण अवयव विकर्ण के बाहर के अवयवों से बड़े होने के साथ) के लिए, पहले मुख्य घटक में सभी घटकों पर समान भार होगा। विशेष रूप से, सबसे बड़े आइगेन मान से संबंधित आइगेन सदिश \((1, 1, \dots, 1)^T \) के समानुपाती होगा।
इस प्रकार पहले मुख्य घटक को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है
\(\mathbf{v}_1^T \mathbf{Y} = \frac{1}{\sqrt{p}} \sum_{i=1}^{p} Y_i\)
यह \(Y_i \) का एक रैखिक संयोजन है, जहाँ प्रत्येक \(Y_i \) का समान भार है,
जिसे \(\frac{1}{\sqrt{p}} \) से स्केल किया गया है ताकि आइगेन सदिश की इकाई लंबाई सुनिश्चित हो सके।
उपलब्ध विकल्पों में से, पहले मुख्य घटक का सही निरूपण
घटक \(\frac{1}{\sqrt{p}} \sum_{i=1}^{p} Y_i\) है
इस प्रकार, सही उत्तर पहला विकल्प है।
Independent Random Variables Question 5:
यदि X1, X2, ... X2n-1 (n > 5) को ऐसा i.i.d. मानें जिसका p.d.f. fθ परिबद्ध आलंब (bounded support) वाला हो तथा θ के सापेक्ष सममित हो । X(1) < X(2) < .... < X(2n-1) यादृच्छिक चर X1, X2, ..., X2n-1 का क्रम प्रतिदर्शज है। निम्न में से कौन से कथन सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Independent Random Variables Question 5 Detailed Solution
Top Independent Random Variables MCQ Objective Questions
मान लीजिए X0, X1 ......Xp (p ≥ 2) स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं जिनका माध्य 0 और प्रसरण 1 है। मान लीजिए Yi = X0 + Xi, i = 1....p। Y = (Y1...., Yp)T के सहप्रसरण आव्यूह पर आधारित पहला मुख्य घटक है:
Answer (Detailed Solution Below)
Independent Random Variables Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
सहप्रसरण आव्यूह की गणना:
प्रत्येक \(Y_i = X_0 + X_i \) और चूँकि \(X_i\) स्वतंत्र और समान रूप से वितरित हैं, इसलिए उनके प्रसरण और सहप्रसरणों की सरलता से गणना की जा सकती है।
\(Y_i \) का प्रसरण \( \text{Var}(Y_i) = \text{Var}(X_0 + X_i) = \text{Var}(X_0) + \text{Var}(X_i) = 1 + 1 = 2.\) है।
किन्हीं दो भिन्न \(Y_i \) और \(Y_j\) (जहाँ \(i \neq j \) ) के बीच सहप्रसरण है
\(\text{Cov}(Y_i, Y_j) = \text{Cov}(X_0 + X_i, X_0 + X_j) = \text{Var}(X_0) = 1.\)
इस प्रकार, Y के सहप्रसरण आव्यूह में विकर्ण पर 2 और विकर्ण के बाहर 1 हैं।
व्याख्या:
\(X_0, X_1, \dots, X_p\) स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (i.i.d.) यादृच्छिक चर हैं जिनका माध्य 0 और प्रसरण 1 है।
\(Y_i = X_0 + X_i , for i = 1, 2, \dots, p \).
\( \mathbf{Y} = (Y_1, \dots, Y_p)^T\) के सहप्रसरण आव्यूह पर आधारित पहला मुख्य घटक ज्ञात करना कार्य है।
प्रत्येक \(Y_i = X_0 + X_i \) जहाँ, \( X_0\) सभी \(Y_i \) में समान है।
किन्हीं दो भिन्न \( Y_i \) और \(Y_j \) के बीच सहप्रसरण \( X_0 \) पर निर्भर करता है।
\(\mathbf{Y} \) के लिए सहप्रसरण आव्यूह \(\Sigma_Y \) में प्रविष्टियाँ होंगी:
\(\text{Cov}(Y_i, Y_j) = \text{Var}(X_0) + \delta_{ij} \cdot \text{Var}(X_i) \), जहाँ \(\delta_{ij}\) क्रोनकर डेल्टा है।
चूँकि \(X_0 \) और \(X_i \) का प्रसरण 1 है, हमें मिलता है,
\(\text{Cov}(Y_i, Y_j) = 1 \) जब \(i \neq j \) (समान \(X_0 \) के कारण)।
\(\text{Cov}(Y_i, Y_i) = 2\) जब \( i = j \).
इस प्रकार, सहप्रसरण आव्यूह \( \Sigma_Y\) एक आव्यूह है जिसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ 2 और विकर्ण के बाहर
प्रविष्टियाँ 1 हैं। यह एक सममित आव्यूह है।
पहला मुख्य घटक सहप्रसरण आव्यूह \( \Sigma_Y\) के सबसे बड़े आइगेन मान से जुड़े आइगेन सदिश के संगत है।
इस तरह के सहप्रसरण आव्यूह (सभी विकर्ण के बाहर के अवयव समान और विकर्ण अवयव विकर्ण के बाहर के अवयवों से बड़े होने के साथ) के लिए, पहले मुख्य घटक में सभी घटकों पर समान भार होगा। विशेष रूप से, सबसे बड़े आइगेन मान से संबंधित आइगेन सदिश \((1, 1, \dots, 1)^T \) के समानुपाती होगा।
इस प्रकार पहले मुख्य घटक को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है
\(\mathbf{v}_1^T \mathbf{Y} = \frac{1}{\sqrt{p}} \sum_{i=1}^{p} Y_i\)
यह \(Y_i \) का एक रैखिक संयोजन है, जहाँ प्रत्येक \(Y_i \) का समान भार है,
जिसे \(\frac{1}{\sqrt{p}} \) से स्केल किया गया है ताकि आइगेन सदिश की इकाई लंबाई सुनिश्चित हो सके।
उपलब्ध विकल्पों में से, पहले मुख्य घटक का सही निरूपण
घटक \(\frac{1}{\sqrt{p}} \sum_{i=1}^{p} Y_i\) है
इस प्रकार, सही उत्तर पहला विकल्प है।
Independent Random Variables Question 7:
मान लीजिए X0, X1 ......Xp (p ≥ 2) स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं जिनका माध्य 0 और प्रसरण 1 है। मान लीजिए Yi = X0 + Xi, i = 1....p। Y = (Y1...., Yp)T के सहप्रसरण आव्यूह पर आधारित पहला मुख्य घटक है:
Answer (Detailed Solution Below)
Independent Random Variables Question 7 Detailed Solution
संप्रत्यय:
सहप्रसरण आव्यूह की गणना:
प्रत्येक \(Y_i = X_0 + X_i \) और चूँकि \(X_i\) स्वतंत्र और समान रूप से वितरित हैं, इसलिए उनके प्रसरण और सहप्रसरणों की सरलता से गणना की जा सकती है।
\(Y_i \) का प्रसरण \( \text{Var}(Y_i) = \text{Var}(X_0 + X_i) = \text{Var}(X_0) + \text{Var}(X_i) = 1 + 1 = 2.\) है।
किन्हीं दो भिन्न \(Y_i \) और \(Y_j\) (जहाँ \(i \neq j \) ) के बीच सहप्रसरण है
\(\text{Cov}(Y_i, Y_j) = \text{Cov}(X_0 + X_i, X_0 + X_j) = \text{Var}(X_0) = 1.\)
इस प्रकार, Y के सहप्रसरण आव्यूह में विकर्ण पर 2 और विकर्ण के बाहर 1 हैं।
व्याख्या:
\(X_0, X_1, \dots, X_p\) स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (i.i.d.) यादृच्छिक चर हैं जिनका माध्य 0 और प्रसरण 1 है।
\(Y_i = X_0 + X_i , for i = 1, 2, \dots, p \).
\( \mathbf{Y} = (Y_1, \dots, Y_p)^T\) के सहप्रसरण आव्यूह पर आधारित पहला मुख्य घटक ज्ञात करना कार्य है।
प्रत्येक \(Y_i = X_0 + X_i \) जहाँ, \( X_0\) सभी \(Y_i \) में समान है।
किन्हीं दो भिन्न \( Y_i \) और \(Y_j \) के बीच सहप्रसरण \( X_0 \) पर निर्भर करता है।
\(\mathbf{Y} \) के लिए सहप्रसरण आव्यूह \(\Sigma_Y \) में प्रविष्टियाँ होंगी:
\(\text{Cov}(Y_i, Y_j) = \text{Var}(X_0) + \delta_{ij} \cdot \text{Var}(X_i) \), जहाँ \(\delta_{ij}\) क्रोनकर डेल्टा है।
चूँकि \(X_0 \) और \(X_i \) का प्रसरण 1 है, हमें मिलता है,
\(\text{Cov}(Y_i, Y_j) = 1 \) जब \(i \neq j \) (समान \(X_0 \) के कारण)।
\(\text{Cov}(Y_i, Y_i) = 2\) जब \( i = j \).
इस प्रकार, सहप्रसरण आव्यूह \( \Sigma_Y\) एक आव्यूह है जिसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ 2 और विकर्ण के बाहर
प्रविष्टियाँ 1 हैं। यह एक सममित आव्यूह है।
पहला मुख्य घटक सहप्रसरण आव्यूह \( \Sigma_Y\) के सबसे बड़े आइगेन मान से जुड़े आइगेन सदिश के संगत है।
इस तरह के सहप्रसरण आव्यूह (सभी विकर्ण के बाहर के अवयव समान और विकर्ण अवयव विकर्ण के बाहर के अवयवों से बड़े होने के साथ) के लिए, पहले मुख्य घटक में सभी घटकों पर समान भार होगा। विशेष रूप से, सबसे बड़े आइगेन मान से संबंधित आइगेन सदिश \((1, 1, \dots, 1)^T \) के समानुपाती होगा।
इस प्रकार पहले मुख्य घटक को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है
\(\mathbf{v}_1^T \mathbf{Y} = \frac{1}{\sqrt{p}} \sum_{i=1}^{p} Y_i\)
यह \(Y_i \) का एक रैखिक संयोजन है, जहाँ प्रत्येक \(Y_i \) का समान भार है,
जिसे \(\frac{1}{\sqrt{p}} \) से स्केल किया गया है ताकि आइगेन सदिश की इकाई लंबाई सुनिश्चित हो सके।
उपलब्ध विकल्पों में से, पहले मुख्य घटक का सही निरूपण
घटक \(\frac{1}{\sqrt{p}} \sum_{i=1}^{p} Y_i\) है
इस प्रकार, सही उत्तर पहला विकल्प है।
Independent Random Variables Question 8:
मान लीजिए X और Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं जहाँ X ~ N(2, 4) और Y ~ N(-4, 9) है, जहाँ N(μ , σ2) माध्य μ और प्रसरण σ2 वाले प्रसामान्य बंटन को दर्शाता है। दिया गया है कि ϕ(1) = 0.8413, ϕ(2) = 0.9772 और ϕ(3) = 0.9987 जहाँ ϕ(⋅) एक मानक प्रसामान्य यादृच्छिक चर का संचयी बंटन फलन है। निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Independent Random Variables Question 8 Detailed Solution
संप्रत्यय:
1. स्वतंत्र सामान्य चरों के रैखिक संयोजन:
यदि \( X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)\) और \(Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2) \) स्वतंत्र हैं, तो अचर \(a\) और b के लिए, रैखिक
संयोजन \(Z = aX + bY\) एक प्रसामान्य बंटन का पालन करता है:
माध्य: \(\mu_Z = a\mu_X + b\mu_Y\) ,
प्रसरण: \(\sigma_Z^2 = a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2 \).
2. रैखिक संयोजनों का सहप्रसरण:
दो रैखिक संयोजनों \(aX + bY\) और \(cX + dY\) का सहप्रसरण है
\( \text{Cov}(aX + bY, cX + dY) = ac \text{Var}(X) + bd \text{Var}(Y)\).
यदि X और Y स्वतंत्र हैं, तो \(\text{Cov}(X, Y)\) वाले पद समाप्त हो जाते हैं।
व्याख्या:
विकल्प 1: 2X + Y का प्रसरण ज्ञात करने के लिए, हम इस गुणधर्म का उपयोग करते हैं कि यदि X और Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, तो
\(\text{Var}(aX + bY) = a^2 \text{Var}(X) + b^2 \text{Var}(Y).\)
यहाँ \(a = 2 , \text{Var}(X) = 4 ,\)
\(b = 1 , \text{Var}(Y) = 9 .\)
इसलिए \(\text{Var}(2X + Y) = 2^2 \cdot 4 + 1^2 \cdot 9 = 16 + 9 = 25\)
इस प्रकार, विकल्प 1 गलत है, क्योंकि सही प्रसरण 25 है, 17 नहीं।
विकल्प 2: इसे हल करने के लिए, पहले ध्यान दें कि 2X + Y प्रसामान्य रूप से वितरित है क्योंकि X और Y दोनों प्रसामान्य रूप से वितरित हैं।
विकल्प 1 के परिणामों का उपयोग करके, हम जानते हैं कि:
\(2X + Y \sim N(0, 25).\)
अब, \(\mathbb{P}(|Z| \leq 15)\) , जहाँ \(Z \sim N(0, 25) \), \(\mathbb{P}(-15 \leq Z \leq 15)\) के समतुल्य है।
हम इसे मानक प्रसामान्य चर \(Z \sim N(0, 1)\) में परिवर्तित करके मानकीकृत करते हैं:
\(\mathbb{P}\left( \frac{-15}{5} \leq Z \leq \frac{15}{5} \right) = \mathbb{P}(-3 \leq Z \leq 3)\).
दी गई जानकारी से, हमारे पास है,
\(\mathbb{P}(Z \leq 3) = 0.9987 \quad \text{और} \quad \mathbb{P}(Z \leq -3) = 1 - 0.9987 = 0.0013.\)
इस प्रकार,
\(\mathbb{P}(-3 \leq Z \leq 3) = 0.9987 - 0.0013 = 0.9974.\)
इसलिए, विकल्प 2 सही है।
विकल्प 3: सहप्रसरण की गणना करने के लिए, सहप्रसरण की रैखिकता और इस तथ्य का उपयोग करें कि X और Y स्वतंत्र हैं:
\(\text{Cov}(3X + 2Y, 3X - 2Y) = \text{Cov}(3X, 3X) - \text{Cov}(3X, 2Y) + \text{Cov}(2Y, 3X) - \text{Cov}(2Y, 2Y).\)
चूँकि X और Y स्वतंत्र हैं, \(\text{Cov}(X, Y) = 0\) , इसलिए सहप्रसरण सरल हो जाता है
\(\text{Cov}(3X + 2Y, 3X - 2Y) = \text{Cov}(3X, 3X) - \text{Cov}(2Y, 2Y).\)
अब, गुणधर्म \(\text{Cov}(aX, bY) = ab \text{Cov}(X, Y)\) का उपयोग करके, हमारे पास है:
\(\text{Cov}(3X, 3X) = 9 \text{Var}(X) = 9 \times 4 = 36, \quad \text{Cov}(2Y, 2Y) = 4 \text{Var}(Y) = 4 \times 9 = 36.\)
इस प्रकार, \(\text{Cov}(3X + 2Y, 3X - 2Y) = 36 - 36 = 0.\)
इसलिए, विकल्प 3 सही है।
विकल्प 4: हमने पहले ही गणना की है कि 2X - Y प्रसामान्य रूप से वितरित है जिसका
माध्य: \( \mathbb{E}(2X - Y) = 2 \cdot 2 - (-4) = 4 + 4 = 8 \),
प्रसरण: \(\text{Var}(2X - Y) = 2^2 \cdot 4 + (-1)^2 \cdot 9 = 16 + 9 = 25 .\)
इस प्रकार, \(2X - Y \sim N(8, 25) , N(0, 25) नहीं\) ।
इसलिए, विकल्प 4 गलत है।
अतः विकल्प 2) और 3) सही हैं।
Independent Random Variables Question 9:
किसी बहुविकल्पीय उत्तरों वाले परीक्षा में 30 प्रश्न है। हर प्रश्न के उत्तर में 4 विकल्प हैं और अभ्यर्थी को केवल एक को चिन्हित करना है। तीन अभ्यर्थी A, B, C इन 30 प्रश्नों के उत्तरों को स्वंतत्र रूप से यादृच्छिक चिन्हित करते हैं। तीनों विद्यार्थियों के सभी 30 उत्तरों के पूर्णतः एक जैसा होने की प्रायिकता होगी
Answer (Detailed Solution Below)
Independent Random Variables Question 9 Detailed Solution
Independent Random Variables Question 10:
बहु रैखिक प्रतिगमन मॉडल \(\underline{Y}=X \underline{\beta}+\underline{ϵ}\) पर विचार करें, जहाँ \(\underline{Y}=\left(Y_1, \ldots, Y_n\right)^T\) , \(\underline{ϵ}=\left(ϵ_1, \ldots, ϵ_n\right)^T\) , \(\underline{\beta}=\left(\beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_p\right)^T, \) X कोटि (p + 1) का एक निश्चित n × (p + 1) आव्यूह (n > p + 1) है, और ϵ 1 , ..., ϵ n स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (i.i.d.) N(0, σ2), (σ > 0) चर हैं। यदि \(\underline{\hat{\beta}}\), \(\underline{\beta}\) का OLS अनुमानक है, तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Independent Random Variables Question 10 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 2 और 3 है।
हम यथाशीघ्र समाधान अपडेट करेंगे।
Independent Random Variables Question 11:
मान लीजिए X1, X2, ..., Xn, ... स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (i.i.d.) यादृच्छिक चर हैं, जिनका सामान्य संचयी वितरण फलन (cdf) है।
\(F(x)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & \text { यदि } x<5 \\ 1-e^{5-x}, & \text { यदि } x \geq 5 \end{array} .\right.\)
Yn = min{X1, X2, ..., Xn}, Zn = √n(Yn - 5), n = 1, 2, ..., को परिभाषित कीजिए और Z एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर हो। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Independent Random Variables Question 11 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 2 है।
हम शीघ्र से शीघ्र समाधान अपडेट करेंगे।
Independent Random Variables Question 12:
n ≥ 2 के लिए, ϵ1, ϵ2, ..., ϵn स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (i.i.d.) N(0, σ2) यादृच्छिक चर हैं और
Yi = i α + i2 α2 + ϵi, i = 1, ..., n,
जहां σ > 0 और α ∈ ℝ अज्ञात पैरामीटर हैं। तो निम्नलिखित में से कौन सा (α, σ) के लिए संयुक्त रूप से न्यूनतम पर्याप्त सांख्यिकी है?
Answer (Detailed Solution Below)
Independent Random Variables Question 12 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 1 है।
हम शीघ्र से शीघ्र समाधान अपडेट करेंगे।
Independent Random Variables Question 13:
माना कि X तथा Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं जहाँ
X ~ Uniform [0, θ + 3], Y~ Uniform[-θ - 5, 0], जहाँ 6 ≥ - 3 है। तब θ का (X, Y ) पर आधारित अधिकतम संभाविता आकलक है:
Answer (Detailed Solution Below)
Independent Random Variables Question 13 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 1 है।
हम जल्द ही समाधान अपडेट करेंगे।
Independent Random Variables Question 14:
मानें कि X ~ Binomial (10, \(\frac{1}{2}\)), Y ~ Binomial (11, \(\frac{1}{2}\)), जहाँ X तथा Y स्वतंत्र है। तब P(X < Y) है
Answer (Detailed Solution Below)
Independent Random Variables Question 14 Detailed Solution
Independent Random Variables Question 15:
मान लीजिये \(X_0, X_1, \ldots, X_p ( p \geq 2 )\) स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं जिनका माध्य 0 और प्रसरण 1 है। \(Y_i = X_0 + X_i \) को i = 1, ...., p के लिए परिभाषित करें। \(Y = (Y_1, \ldots, Y_p)^T\) के सहप्रसरण आव्यूह को Σ से दर्शाया गया है। Σ पर आधारित पहला मुख्य घटक क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Independent Random Variables Question 15 Detailed Solution
हल:
हम सहप्रसरण संरचना का विश्लेषण करते हैं और सबसे बड़े आइगेनवैल्यू के संगत आइगेनवेक्टर निर्धारित करते हैं।
चरण 1: Y का सहप्रसरण आव्यूह
Yi और Yj के बीच सहप्रसरण है:
\(\text{Cov}(Y_i, Y_j) = \text{Var}(X_0) + \delta_{ij} \text{Var}(X_i)\),
जहाँ \(\delta_{ij}\) क्रोनकर डेल्टा है। इस प्रकार:
i = j के लिए : \(\text{Cov}(Y_i, Y_j) = 1 + 1 = 2\) ,
i ≠ j के लिए : \(\text{Cov}(Y_i, Y_j) = 1\) .
सहप्रसरण आव्यूह Σ में सभी विकर्ण प्रविष्टियाँ 2 के बराबर हैं और विकर्ण से बाहर की प्रविष्टियाँ 1 के बराबर हैं।
चरण 2: Σ का आइगेनवेक्टर
Σ के सबसे बड़े आइगेनवैल्यू से जुड़े आइगेनवेक्टर के अनुरूप पहला मुख्य घटक है।
आइगेनवेक्टर \(\mathbf{v} = \frac{1}{\sqrt{p}}(1, 1, \ldots, 1)^T \) के समानुपाती है।
चरण 3: पहला मुख्य घटक
पहला मुख्य घटक है:
\(Z_1 = \mathbf{v}^T Y = \frac{1}{\sqrt{p}} \sum_{i=1}^p Y_i\).
इसलिए सही विकल्प (3) है।