Probability Inequalities MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Probability Inequalities - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 1, 2025
Latest Probability Inequalities MCQ Objective Questions
Probability Inequalities Question 1:
माना कि A₁, A₂, A₃ ऐसी घटनाएँ हैं जो 0 < P(Aᵢ) < 1 को संतुष्ट करती है, जहाँ i = 1, 2, 3 है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Inequalities Question 1 Detailed Solution
अवधारणा:
सशर्त प्रायिकता:
दो घटनाओं A और B के लिए, B के घटित होने पर A के घटित होने की सप्रतिबंधित प्रायिकता को इस प्रकार दर्शाया जाता है
\(P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\), बशर्ते कि P(B) > 0.
विकल्प 1:
प्रति उदाहरण:
मान लीजिए, \( P(A_1) = 0.8\)
\(P(A_2) = 0.4\) , \(P(A_3) = 0.3\)
\(P(A_1 \cap A_2) = 0.25\) , \(P(A_2 \cap A_3) = 0.2\) और \(P(A_1 \cap A_3) = 0.05\)
\( P(A_1 | A_2) = \frac{0.25}{0.4} = 0.625 \) , \(P(A_2 | A_3) = \frac{0.2}{0.3} = 0.6667\) और
\(P(A_1 | A_3) = \frac{0.05}{0.3} = 0.1667\)
वाम हस्त पक्ष: \(0.625 \times 0.6667 = 0.4167\)
दक्षिण हस्त पक्ष: 0.1667
यहाँ, वाम हस्त पक्ष 0.4167, दक्षिण हस्त पक्ष 0.1667 से अधिक है, जो असमिका का उल्लंघन करता है।
इस प्रकार, यह एक विपरीत उदाहरण प्रस्तुत करता है जहाँ
\(P(A_1 | A_2) P(A_2 | A_3) > P(A_1 | A_3)\)
अतः विकल्प 1) गलत है।
विकल्प 2:
आइए हम एक प्रायिकता स्थान में तीन घटनाओं \(A_1, A_2, A_3\) को निम्नलिखित प्रायिकताओं के साथ परिभाषित करें:
\(P(A_1) = 0.5 \) , \(P(A_2) = 0.6\)
\(P(A_3) = 0.4\)
\(P(A_1 \cap A_2) = 0.3\) , \(P(A_3 \cap A_2) = 0.25 \)
\(P(A_1 \cap A_3 \cap A_2) = 0.2\)
\(P(A_1 | A_2) = \frac{P(A_1 \cap A_2)}{P(A_2)} = \frac{0.3}{0.6} = 0.5\)
\(P(A_3 | A_2) = \frac{P(A_3 \cap A_2)}{P(A_2)} = \frac{0.25}{0.6} \approx 0.4167\)
\(P(A_1 \cap A_3 | A_2) = \frac{P(A_1 \cap A_3 \cap A_2)}{P(A_2)} = \frac{0.2}{0.6} \approx 0.3333 \)
वाम हस्त पक्ष: \(P(A_1 | A_2) P(A_3 | A_2) = 0.5 \times 0.4167 = 0.2083\)
दक्षिण हस्त पक्ष: \( P(A_1 \cap A_3 | A_2) = 0.3333\)
इसलिए, \(P(A_1 | A_2) P(A_3 | A_2) < P(A_1 \cap A_3 | A_2)\)
अतः विकल्प 2) गलत है।
विकल्प 3:
यह कथन प्रशंसनीय लगता है क्योंकि दो घटनाओं के सम्मिलन की प्रायिकता आम तौर पर व्यक्तिगत प्रायिकताओं के योग से कम या उसके बराबर होती है। इससे सप्रतिबंधित प्रायिकताओं का गुणनफल सम्मिलन प्रायिकता से अधिक या उसके बराबर हो सकता है। इसलिए, यह विकल्प सत्य है।
विकल्प 4:
\(P(A_1) = 0.6\)
\(P(A_2) = 0.5\)
\(P(A_3) = 0.4\)
\(P(A_1 \cap A_2) = 0.3\)
\(P(A_2 \cap A_3) = 0.2\)
\(P(A_1 \cap A_3) = 0.1\)
\(P(A_1 | A_2) = \frac{P(A_1 \cap A_2)}{P(A_2)} = \frac{0.3}{0.5}= 0.6\)
\(P(A_2 | A_3) = \frac{P(A_2 \cap A_3)}{P(A_3)} = \frac{0.2}{0.4} = 0.5\)
\(P(A_1 | A_3) = \frac{P(A_1 \cap A_3)}{P(A_3)} = \frac{0.1}{0.4} = 0.25\)
वाम हस्त पक्ष: \(P(A_1 | A_2) + P(A_2 | A_3) = 0.6 + 0.5 = 1.1\)
दक्षिण हस्त पक्ष: \(P(A_1 | A_3) = 0.25\)
सही उत्तर विकल्प 3) है।
Probability Inequalities Question 2:
एक डाकघर में ग्राहकों के आने की स्थिति पर विचार करें जहाँ ग्राहक प्रति घंटे 5 की दर से पॉइसन वितरण का पालन करते हैं। प्रत्येक ग्राहक के लिए सेवा का समय घातीय रूप से वितरित होता है और केवल उपलब्ध डाकघर टेलर प्रत्येक ग्राहक की सेवा करने में औसतन 10 मिनट लेता है। यह मानते हुए कि ग्राहक सेवा प्राप्त करने के तुरंत बाद बाहर निकल जाते हैं, η को लाइन में 3 या अधिक ग्राहकों की प्रायिकता और λ कतार में ग्राहकों की औसत संख्या दर्शाते हैं।
तो निम्नलिखित में से कौन सा/से सत्य है/हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Inequalities Question 2 Detailed Solution
व्याख्या -
विकल्प (1) - यह सत्य है।
यदि टेलर प्रत्येक ग्राहक की सेवा करने में कम समय लेता है, तो इससे कतार में बिताया गया समय कम हो जाएगा, जिससे लाइन में 3 या अधिक ग्राहक होने की प्रायिकता कम हो जाएगी।
विकल्प (2) - यह असत्य है।
जितनी तेज़ी से टेलर ग्राहकों की सेवा करने में सक्षम होता है, औसतन उतने ही कम ग्राहक लाइन में प्रतीक्षा करेंगे।
इसलिए, सेवा की गति कतार में ग्राहकों की औसत संख्या (λ) को प्रभावित करती है।
विकल्प (3) - यह सत्य है।
यदि प्रति घंटे कम ग्राहक आते हैं, तो सेवा करने के लिए कम ग्राहक होंगे और इस प्रकार लाइन में कम ग्राहक होंगे।
यह लाइन में 3 या अधिक ग्राहक होने की प्रायिकता और कतार में ग्राहकों की औसत संख्या दोनों को कम कर देगा।
विकल्प (4) - यह सत्य है।
प्रत्येक ग्राहक को जितना अधिक प्रसंस्करण समय चाहिए, उतने ही अधिक ग्राहक कतार में लगेंगे।
इसलिए, औसत सेवा समय में वृद्धि से η (लाइन में 3 या अधिक ग्राहकों की प्रायिकता) और λ (कतार में ग्राहकों की औसत संख्या) दोनों में वृद्धि होगी।
इसलिए, सही विकल्प 1, 3 और 4 हैं।
Probability Inequalities Question 3:
एक ऐसे मामले पर विचार करें जहाँ ग्राहक एक बैंक में प्रति घंटे 10 की दर से प्वासों बंटन का पालन करते हुए आते हैं। प्रत्येक सेवा में लगने वाला समय एक घातीय बंटन का पालन करता है, और उपलब्ध बैंक क्लर्क प्रत्येक ग्राहक की सेवा करने में औसतन 5 मिनट लेता है। यह मानते हुए कि ग्राहक सेवा के तुरंत बाद चले जाते हैं। आइए β को उस प्रायिकता के रूप में दर्शाते हैं कि एक यादृच्छिक रूप से आने वाले ग्राहक को इंतजार करना होगा, और η प्रणाली में ग्राहकों की औसत संख्या को दर्शाता है जिसमें प्रतीक्षा करने वाले और सेवा प्राप्त करने वाले दोनों शामिल हैं।
निम्नलिखित में से कौन से कथन सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Inequalities Question 3 Detailed Solution
व्याख्या -
ग्राहक आगमन दर प्रति घंटे 10 है, और औसत सेवा दर प्रति घंटे 12 ग्राहक है (चूँकि 1 ग्राहक को हर 5 मिनट में सेवा दी जाती है)।
यातायात तीव्रता ρ (आगमन दर)/(सेवा दर) = 10/12 = 5/6 द्वारा दी गई है।
प्रणाली में n ग्राहक होने की प्रायिकता P(n), \((1-ρ) * ρ^n.\) द्वारा दी गई है।
विकल्प (1) के लिए - β, जिसकी प्रायिकता है कि एक यादृच्छिक रूप से आने वाले ग्राहक को इंतजार करना होगा, यातायात तीव्रता ρ के बराबर है, जो 5/6 है।
इसलिए यह 0.5 से कम नहीं है, इसलिए विकल्प (1) गलत है।
विकल्प (2) के लिए - η, प्रणाली में ग्राहकों की अपेक्षित संख्या, \(\frac{ρ}{(1-ρ)} = \frac{5}{6} \times 6= 5.\) के बराबर है।
इसलिए, दूसरा विकल्प गलत है।
विकल्प (3) के लिए - चूँकि यातायात तीव्रता ρ 1 से कम है, अर्थात् आगमन दर सेवा दर से कम है, प्रणाली वास्तव में स्थिर संतुलन की स्थिति में है।
इसलिए, तीसरा विकल्प सही है।
विकल्प (4) के लिए - प्रणाली में ठीक तीन ग्राहक होने की प्रायिकता \( (1-ρ) * ρ^3.\) द्वारा दी गई है।
इसलिए, \(P(3) = (1/6) * (5/6)^3\), जो β = 5/6 से कम है। इसलिए, चौथा विकल्प सही है।
इसलिए, सही कथन 3, 4 हैं।
Probability Inequalities Question 4:
मान लीजिए E और F एक असतत प्रायिकता समष्टि में दो घटनाएँ हैं। मान लें कि ℙ(E) > 0, ℙ(F) > 0 और E और F स्वतंत्र हैं। निम्नलिखित में से कौन से कथन आवश्यक रूप से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Inequalities Question 4 Detailed Solution
व्याख्या -
(i) दो घटनाओं के बीच स्वतंत्रता की परिभाषा के अनुसार, E और F के सर्वनिष्ठ की प्रायिकता E और F की प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होती है।
इसलिए, ℙ(E ∩ F) = ℙ(E) × ℙ(F).
(ii) इस कथन को दो घटनाओं के लिए समावेश-अपवर्जन सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। यह सही है चाहे घटनाएँ E और F स्वतंत्र हों या नहीं।
स्वतंत्र घटनाओं के लिए, यह इस रूप में सरल हो जाता है क्योंकि ℙ(E ∩ F) = ℙ(E) × ℙ(F).
(iii) यह कथन सामान्य तौर पर सत्य है, लेकिन इस समस्या कथन में, यह दिया गया है कि E और F स्वतंत्र हैं। इसलिए, यह लागू नहीं होता है। ध्यान दें: यदि दो घटनाएँ परतंत्र होतीं, तो घटनाओं की सप्रतिबंध प्रायिकता उनकी सीमांत प्रायिकताओं से भिन्न हो सकती है, जो इस कथन को मान्य कर सकती है। हालाँकि, हमारे मामले में, यह स्वतंत्रता की दी गई जानकारी का खंडन करता है।
(iv) यह कथन असत्य है। वास्तव में, यदि ℙ(E | F) = ℙ(E), तो E और F स्वतंत्र हैं। यह स्वतंत्रता की परिभाषा पर आधारित है, जहाँ किसी घटना की किसी अन्य घटना को दिए जाने पर सप्रतिबंध प्रायिकता केवल घटना की प्रायिकता ही होती है।
सही विकल्प (i) और (ii) हैं।
Probability Inequalities Question 5:
मानें कि X का [0, 100] पर एकसमान बंटन है। मानें कि Y दर्शाता है सबसे बड़ा पूर्णांक जो X के बराबर या उससे छोटा हो। निम्न में से कौन-सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Inequalities Question 5 Detailed Solution
P(Y ≤ 25) = 26/100
विकल्प (2) सही है
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माना कि A₁, A₂, A₃ ऐसी घटनाएँ हैं जो 0 < P(Aᵢ) < 1 को संतुष्ट करती है, जहाँ i = 1, 2, 3 है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Inequalities Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
सशर्त प्रायिकता:
दो घटनाओं A और B के लिए, B के घटित होने पर A के घटित होने की सप्रतिबंधित प्रायिकता को इस प्रकार दर्शाया जाता है
\(P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\), बशर्ते कि P(B) > 0.
विकल्प 1:
प्रति उदाहरण:
मान लीजिए, \( P(A_1) = 0.8\)
\(P(A_2) = 0.4\) , \(P(A_3) = 0.3\)
\(P(A_1 \cap A_2) = 0.25\) , \(P(A_2 \cap A_3) = 0.2\) और \(P(A_1 \cap A_3) = 0.05\)
\( P(A_1 | A_2) = \frac{0.25}{0.4} = 0.625 \) , \(P(A_2 | A_3) = \frac{0.2}{0.3} = 0.6667\) और
\(P(A_1 | A_3) = \frac{0.05}{0.3} = 0.1667\)
वाम हस्त पक्ष: \(0.625 \times 0.6667 = 0.4167\)
दक्षिण हस्त पक्ष: 0.1667
यहाँ, वाम हस्त पक्ष 0.4167, दक्षिण हस्त पक्ष 0.1667 से अधिक है, जो असमिका का उल्लंघन करता है।
इस प्रकार, यह एक विपरीत उदाहरण प्रस्तुत करता है जहाँ
\(P(A_1 | A_2) P(A_2 | A_3) > P(A_1 | A_3)\)
अतः विकल्प 1) गलत है।
विकल्प 2:
आइए हम एक प्रायिकता स्थान में तीन घटनाओं \(A_1, A_2, A_3\) को निम्नलिखित प्रायिकताओं के साथ परिभाषित करें:
\(P(A_1) = 0.5 \) , \(P(A_2) = 0.6\)
\(P(A_3) = 0.4\)
\(P(A_1 \cap A_2) = 0.3\) , \(P(A_3 \cap A_2) = 0.25 \)
\(P(A_1 \cap A_3 \cap A_2) = 0.2\)
\(P(A_1 | A_2) = \frac{P(A_1 \cap A_2)}{P(A_2)} = \frac{0.3}{0.6} = 0.5\)
\(P(A_3 | A_2) = \frac{P(A_3 \cap A_2)}{P(A_2)} = \frac{0.25}{0.6} \approx 0.4167\)
\(P(A_1 \cap A_3 | A_2) = \frac{P(A_1 \cap A_3 \cap A_2)}{P(A_2)} = \frac{0.2}{0.6} \approx 0.3333 \)
वाम हस्त पक्ष: \(P(A_1 | A_2) P(A_3 | A_2) = 0.5 \times 0.4167 = 0.2083\)
दक्षिण हस्त पक्ष: \( P(A_1 \cap A_3 | A_2) = 0.3333\)
इसलिए, \(P(A_1 | A_2) P(A_3 | A_2) < P(A_1 \cap A_3 | A_2)\)
अतः विकल्प 2) गलत है।
विकल्प 3:
यह कथन प्रशंसनीय लगता है क्योंकि दो घटनाओं के सम्मिलन की प्रायिकता आम तौर पर व्यक्तिगत प्रायिकताओं के योग से कम या उसके बराबर होती है। इससे सप्रतिबंधित प्रायिकताओं का गुणनफल सम्मिलन प्रायिकता से अधिक या उसके बराबर हो सकता है। इसलिए, यह विकल्प सत्य है।
विकल्प 4:
\(P(A_1) = 0.6\)
\(P(A_2) = 0.5\)
\(P(A_3) = 0.4\)
\(P(A_1 \cap A_2) = 0.3\)
\(P(A_2 \cap A_3) = 0.2\)
\(P(A_1 \cap A_3) = 0.1\)
\(P(A_1 | A_2) = \frac{P(A_1 \cap A_2)}{P(A_2)} = \frac{0.3}{0.5}= 0.6\)
\(P(A_2 | A_3) = \frac{P(A_2 \cap A_3)}{P(A_3)} = \frac{0.2}{0.4} = 0.5\)
\(P(A_1 | A_3) = \frac{P(A_1 \cap A_3)}{P(A_3)} = \frac{0.1}{0.4} = 0.25\)
वाम हस्त पक्ष: \(P(A_1 | A_2) + P(A_2 | A_3) = 0.6 + 0.5 = 1.1\)
दक्षिण हस्त पक्ष: \(P(A_1 | A_3) = 0.25\)
सही उत्तर विकल्प 3) है।
मानें कि X का [0, 100] पर एकसमान बंटन है। मानें कि Y दर्शाता है सबसे बड़ा पूर्णांक जो X के बराबर या उससे छोटा हो। निम्न में से कौन-सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Inequalities Question 7 Detailed Solution
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P(Y ≤ 25) = 26/100
विकल्प (2) सही है
Probability Inequalities Question 8:
मान लीजिए E और F एक असतत प्रायिकता समष्टि में दो घटनाएँ हैं। मान लें कि ℙ(E) > 0, ℙ(F) > 0 और E और F स्वतंत्र हैं। निम्नलिखित में से कौन से कथन आवश्यक रूप से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Inequalities Question 8 Detailed Solution
व्याख्या -
(i) दो घटनाओं के बीच स्वतंत्रता की परिभाषा के अनुसार, E और F के सर्वनिष्ठ की प्रायिकता E और F की प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होती है।
इसलिए, ℙ(E ∩ F) = ℙ(E) × ℙ(F).
(ii) इस कथन को दो घटनाओं के लिए समावेश-अपवर्जन सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। यह सही है चाहे घटनाएँ E और F स्वतंत्र हों या नहीं।
स्वतंत्र घटनाओं के लिए, यह इस रूप में सरल हो जाता है क्योंकि ℙ(E ∩ F) = ℙ(E) × ℙ(F).
(iii) यह कथन सामान्य तौर पर सत्य है, लेकिन इस समस्या कथन में, यह दिया गया है कि E और F स्वतंत्र हैं। इसलिए, यह लागू नहीं होता है। ध्यान दें: यदि दो घटनाएँ परतंत्र होतीं, तो घटनाओं की सप्रतिबंध प्रायिकता उनकी सीमांत प्रायिकताओं से भिन्न हो सकती है, जो इस कथन को मान्य कर सकती है। हालाँकि, हमारे मामले में, यह स्वतंत्रता की दी गई जानकारी का खंडन करता है।
(iv) यह कथन असत्य है। वास्तव में, यदि ℙ(E | F) = ℙ(E), तो E और F स्वतंत्र हैं। यह स्वतंत्रता की परिभाषा पर आधारित है, जहाँ किसी घटना की किसी अन्य घटना को दिए जाने पर सप्रतिबंध प्रायिकता केवल घटना की प्रायिकता ही होती है।
सही विकल्प (i) और (ii) हैं।
Probability Inequalities Question 9:
माना कि A₁, A₂, A₃ ऐसी घटनाएँ हैं जो 0 < P(Aᵢ) < 1 को संतुष्ट करती है, जहाँ i = 1, 2, 3 है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Inequalities Question 9 Detailed Solution
अवधारणा:
सशर्त प्रायिकता:
दो घटनाओं A और B के लिए, B के घटित होने पर A के घटित होने की सप्रतिबंधित प्रायिकता को इस प्रकार दर्शाया जाता है
\(P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\), बशर्ते कि P(B) > 0.
विकल्प 1:
प्रति उदाहरण:
मान लीजिए, \( P(A_1) = 0.8\)
\(P(A_2) = 0.4\) , \(P(A_3) = 0.3\)
\(P(A_1 \cap A_2) = 0.25\) , \(P(A_2 \cap A_3) = 0.2\) और \(P(A_1 \cap A_3) = 0.05\)
\( P(A_1 | A_2) = \frac{0.25}{0.4} = 0.625 \) , \(P(A_2 | A_3) = \frac{0.2}{0.3} = 0.6667\) और
\(P(A_1 | A_3) = \frac{0.05}{0.3} = 0.1667\)
वाम हस्त पक्ष: \(0.625 \times 0.6667 = 0.4167\)
दक्षिण हस्त पक्ष: 0.1667
यहाँ, वाम हस्त पक्ष 0.4167, दक्षिण हस्त पक्ष 0.1667 से अधिक है, जो असमिका का उल्लंघन करता है।
इस प्रकार, यह एक विपरीत उदाहरण प्रस्तुत करता है जहाँ
\(P(A_1 | A_2) P(A_2 | A_3) > P(A_1 | A_3)\)
अतः विकल्प 1) गलत है।
विकल्प 2:
आइए हम एक प्रायिकता स्थान में तीन घटनाओं \(A_1, A_2, A_3\) को निम्नलिखित प्रायिकताओं के साथ परिभाषित करें:
\(P(A_1) = 0.5 \) , \(P(A_2) = 0.6\)
\(P(A_3) = 0.4\)
\(P(A_1 \cap A_2) = 0.3\) , \(P(A_3 \cap A_2) = 0.25 \)
\(P(A_1 \cap A_3 \cap A_2) = 0.2\)
\(P(A_1 | A_2) = \frac{P(A_1 \cap A_2)}{P(A_2)} = \frac{0.3}{0.6} = 0.5\)
\(P(A_3 | A_2) = \frac{P(A_3 \cap A_2)}{P(A_2)} = \frac{0.25}{0.6} \approx 0.4167\)
\(P(A_1 \cap A_3 | A_2) = \frac{P(A_1 \cap A_3 \cap A_2)}{P(A_2)} = \frac{0.2}{0.6} \approx 0.3333 \)
वाम हस्त पक्ष: \(P(A_1 | A_2) P(A_3 | A_2) = 0.5 \times 0.4167 = 0.2083\)
दक्षिण हस्त पक्ष: \( P(A_1 \cap A_3 | A_2) = 0.3333\)
इसलिए, \(P(A_1 | A_2) P(A_3 | A_2) < P(A_1 \cap A_3 | A_2)\)
अतः विकल्प 2) गलत है।
विकल्प 3:
यह कथन प्रशंसनीय लगता है क्योंकि दो घटनाओं के सम्मिलन की प्रायिकता आम तौर पर व्यक्तिगत प्रायिकताओं के योग से कम या उसके बराबर होती है। इससे सप्रतिबंधित प्रायिकताओं का गुणनफल सम्मिलन प्रायिकता से अधिक या उसके बराबर हो सकता है। इसलिए, यह विकल्प सत्य है।
विकल्प 4:
\(P(A_1) = 0.6\)
\(P(A_2) = 0.5\)
\(P(A_3) = 0.4\)
\(P(A_1 \cap A_2) = 0.3\)
\(P(A_2 \cap A_3) = 0.2\)
\(P(A_1 \cap A_3) = 0.1\)
\(P(A_1 | A_2) = \frac{P(A_1 \cap A_2)}{P(A_2)} = \frac{0.3}{0.5}= 0.6\)
\(P(A_2 | A_3) = \frac{P(A_2 \cap A_3)}{P(A_3)} = \frac{0.2}{0.4} = 0.5\)
\(P(A_1 | A_3) = \frac{P(A_1 \cap A_3)}{P(A_3)} = \frac{0.1}{0.4} = 0.25\)
वाम हस्त पक्ष: \(P(A_1 | A_2) + P(A_2 | A_3) = 0.6 + 0.5 = 1.1\)
दक्षिण हस्त पक्ष: \(P(A_1 | A_3) = 0.25\)
सही उत्तर विकल्प 3) है।
Probability Inequalities Question 10:
मानें कि X का [0, 100] पर एकसमान बंटन है। मानें कि Y दर्शाता है सबसे बड़ा पूर्णांक जो X के बराबर या उससे छोटा हो। निम्न में से कौन-सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Inequalities Question 10 Detailed Solution
P(Y ≤ 25) = 26/100
विकल्प (2) सही है
Probability Inequalities Question 11:
एक डाकघर में ग्राहकों के आने की स्थिति पर विचार करें जहाँ ग्राहक प्रति घंटे 5 की दर से पॉइसन वितरण का पालन करते हैं। प्रत्येक ग्राहक के लिए सेवा का समय घातीय रूप से वितरित होता है और केवल उपलब्ध डाकघर टेलर प्रत्येक ग्राहक की सेवा करने में औसतन 10 मिनट लेता है। यह मानते हुए कि ग्राहक सेवा प्राप्त करने के तुरंत बाद बाहर निकल जाते हैं, η को लाइन में 3 या अधिक ग्राहकों की प्रायिकता और λ कतार में ग्राहकों की औसत संख्या दर्शाते हैं।
तो निम्नलिखित में से कौन सा/से सत्य है/हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Inequalities Question 11 Detailed Solution
व्याख्या -
विकल्प (1) - यह सत्य है।
यदि टेलर प्रत्येक ग्राहक की सेवा करने में कम समय लेता है, तो इससे कतार में बिताया गया समय कम हो जाएगा, जिससे लाइन में 3 या अधिक ग्राहक होने की प्रायिकता कम हो जाएगी।
विकल्प (2) - यह असत्य है।
जितनी तेज़ी से टेलर ग्राहकों की सेवा करने में सक्षम होता है, औसतन उतने ही कम ग्राहक लाइन में प्रतीक्षा करेंगे।
इसलिए, सेवा की गति कतार में ग्राहकों की औसत संख्या (λ) को प्रभावित करती है।
विकल्प (3) - यह सत्य है।
यदि प्रति घंटे कम ग्राहक आते हैं, तो सेवा करने के लिए कम ग्राहक होंगे और इस प्रकार लाइन में कम ग्राहक होंगे।
यह लाइन में 3 या अधिक ग्राहक होने की प्रायिकता और कतार में ग्राहकों की औसत संख्या दोनों को कम कर देगा।
विकल्प (4) - यह सत्य है।
प्रत्येक ग्राहक को जितना अधिक प्रसंस्करण समय चाहिए, उतने ही अधिक ग्राहक कतार में लगेंगे।
इसलिए, औसत सेवा समय में वृद्धि से η (लाइन में 3 या अधिक ग्राहकों की प्रायिकता) और λ (कतार में ग्राहकों की औसत संख्या) दोनों में वृद्धि होगी।
इसलिए, सही विकल्प 1, 3 और 4 हैं।
Probability Inequalities Question 12:
एक ऐसे मामले पर विचार करें जहाँ ग्राहक एक बैंक में प्रति घंटे 10 की दर से प्वासों बंटन का पालन करते हुए आते हैं। प्रत्येक सेवा में लगने वाला समय एक घातीय बंटन का पालन करता है, और उपलब्ध बैंक क्लर्क प्रत्येक ग्राहक की सेवा करने में औसतन 5 मिनट लेता है। यह मानते हुए कि ग्राहक सेवा के तुरंत बाद चले जाते हैं। आइए β को उस प्रायिकता के रूप में दर्शाते हैं कि एक यादृच्छिक रूप से आने वाले ग्राहक को इंतजार करना होगा, और η प्रणाली में ग्राहकों की औसत संख्या को दर्शाता है जिसमें प्रतीक्षा करने वाले और सेवा प्राप्त करने वाले दोनों शामिल हैं।
निम्नलिखित में से कौन से कथन सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Inequalities Question 12 Detailed Solution
व्याख्या -
ग्राहक आगमन दर प्रति घंटे 10 है, और औसत सेवा दर प्रति घंटे 12 ग्राहक है (चूँकि 1 ग्राहक को हर 5 मिनट में सेवा दी जाती है)।
यातायात तीव्रता ρ (आगमन दर)/(सेवा दर) = 10/12 = 5/6 द्वारा दी गई है।
प्रणाली में n ग्राहक होने की प्रायिकता P(n), \((1-ρ) * ρ^n.\) द्वारा दी गई है।
विकल्प (1) के लिए - β, जिसकी प्रायिकता है कि एक यादृच्छिक रूप से आने वाले ग्राहक को इंतजार करना होगा, यातायात तीव्रता ρ के बराबर है, जो 5/6 है।
इसलिए यह 0.5 से कम नहीं है, इसलिए विकल्प (1) गलत है।
विकल्प (2) के लिए - η, प्रणाली में ग्राहकों की अपेक्षित संख्या, \(\frac{ρ}{(1-ρ)} = \frac{5}{6} \times 6= 5.\) के बराबर है।
इसलिए, दूसरा विकल्प गलत है।
विकल्प (3) के लिए - चूँकि यातायात तीव्रता ρ 1 से कम है, अर्थात् आगमन दर सेवा दर से कम है, प्रणाली वास्तव में स्थिर संतुलन की स्थिति में है।
इसलिए, तीसरा विकल्प सही है।
विकल्प (4) के लिए - प्रणाली में ठीक तीन ग्राहक होने की प्रायिकता \( (1-ρ) * ρ^3.\) द्वारा दी गई है।
इसलिए, \(P(3) = (1/6) * (5/6)^3\), जो β = 5/6 से कम है। इसलिए, चौथा विकल्प सही है।
इसलिए, सही कथन 3, 4 हैं।