Projection of Vector on a line or direction MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Projection of Vector on a line or direction - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना

दिया गया है:

शीर्ष: \(A(1, 2, 0)\), \(B(2, 0, 1)\), \(C(-3, 0, 2)\)

1) AB और AC की लंबाई ज्ञात कीजिए:

\(AB = \sqrt{(2-1)^2 + (0-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}\)

\(AC = \sqrt{(-3-1)^2 + (0-2)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\)

2) मान लीजिए D वह बिंदु है जहाँ \(\angle BAC\) का कोण द्विभाजक BC को प्रतिच्छेद करता है।

कोण द्विभाजक प्रमेय द्वारा, \(\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{6}} = \frac{1}{2}\)

3) अनुभाग सूत्र का उपयोग करके D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए:

\(D = \left( \frac{1(-3) + 2(2)}{1+2}, \frac{1(0) + 2(0)}{1+2}, \frac{1(2) + 2(1)}{1+2} \right) = \left( \frac{-3+4}{3}, \frac{0}{3}, \frac{2+2}{3} \right) = \left( \frac{1}{3}, 0, \frac{4}{3} \right)\)

4) AD की लंबाई ज्ञात कीजिए:

\(AD = \sqrt{\left( \frac{1}{3} - 1 \right)^2 + (0 - 2)^2 + \left( \frac{4}{3} - 0 \right)^2}\)

⇒ \(AD = \sqrt{\left( -\frac{2}{3} \right)^2 + (-2)^2 + \left( \frac{4}{3} \right)^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + 4 + \frac{16}{9}}\)

⇒ \(AD = \sqrt{\frac{4 + 36 + 16}{9}} = \sqrt{\frac{56}{9}} = \frac{\sqrt{56}}{3} = \frac{2\sqrt{14}}{3}\)

∴ \(\angle BAC\) के आंतरिक द्विभाजक की लंबाई \(\frac{2\sqrt{14}}{3}\) है।

इसलिए विकल्प 2 सही है

व्याख्या:

सदिश pi + 2j - 3k का योज्य प्रतिलोम सदिश -pi - 2j + 3k है। 

इसलिए, \(\rm (\sqrt{ab}i+\sqrt b j+\sqrt pk)\) = -pi - 2j + 3k

दोनों पक्षों की तुलना करने पर,

\(\sqrt{ab}=-p,\sqrt b =-2, \sqrt p=3\)

इसलिए, p = 9, b = 4

\(\sqrt{ab}=-p\) में मान रखने पर हमें प्राप्त होता है

\(\sqrt{4b}=-9\)

अर्थात, 4b = 81

अर्थात, b = 81/4

इस प्रकार, p = 9, b = 4, a = 81/4

विकल्प (2) सही है।

गणना:

मान लीजि: \(\overrightarrow { v } =\lambda \overrightarrow { a } +\mu \overrightarrow { b }\)

\(\Rightarrow\overrightarrow { v } =(\lambda +\mu )\hat { i } +(\lambda -\mu )\hat { j } +(\lambda +\mu )\hat { k }\)

\(\vec{c}\) पर \(\overrightarrow { v }\) का प्रक्षेप \(=\dfrac { \overrightarrow { v } .\overrightarrow { c } }{ \left| \overrightarrow { c } \right| } = \dfrac { 1 }{ \sqrt { 3 } }\)

\(\Rightarrow\dfrac { (\lambda +\mu )-(\lambda -\mu )-(\lambda +\mu ) }{ \sqrt { 3 } } =\dfrac { 1 }{ \sqrt { 3 } }\)

\(\Rightarrow\mu -\lambda =1\)

\(\Rightarrow\overrightarrow { v } =(2\lambda +1)\hat { i } -\hat { j } +(2\lambda +1)\hat { k }\)

\(\lambda =1\) के लिए \(\Rightarrow\overrightarrow { v }=3\hat { i } -\hat { j }+3\hat { k }\)

अतः विकल्प 3 सही है। 

गणना:

दिया गया है:

त्रिभुज ABC जहाँ A(1, 2, 3), B(-2, 8, 0) और C(3, 6, 7)

D, BC को \( | \vec{ A B} | : | \vec{A C}|\) के अनुपात में विभाजित करता है।

⇒ \(\vec{A B} = − 3 \hat i + 5 \hat j − 2 \hat k \)

⇒ \(\vec{ A C} = 2 \hat i + 3 \hat j + 5 \hat k\)

⇒ \( | \vec{ A B} | = \sqrt{38}\)

⇒ \(| \vec{ A C} | = \sqrt{38}\)

⇒ \(\frac{BD}{ DC} = \frac{\sqrt{38} }{\sqrt{38}} = 1\)

∴ D मध्य बिंदु है। 

D के निर्देशांक ( \(\frac{1}{2} , 7 , \frac{7}{2} \))

⇒ \(\vec{ A D} = \frac{1}{2} \hat i + 5 \hat j + \frac{1}{2} \hat k\)

\(\vec{ A D}\) का \(\vec{A C}\) पर प्रक्षेपण = \(\frac{\vec{ A D} ⋅ \vec{ A C}}{ |\vec{ A C|}}\)= \(\frac{1 + 15 + \frac{5}{2}} {\sqrt{38}}\) = \(\frac{37}{2\sqrt{38}}\)

अतः विकल्प 1 सही है। 

संकल्पना:

माना कि \(\vec{u}~and~\vec{v}\) दो सदिश हैं। तो सदिश \(\vec{u}~on~\vec{v}\) के सदिश घटक को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

 \(\frac{\vec{u}\cdot ~\vec{v}}{\left| {\vec{v}} \right|}(\hat v) = \frac{\vec{u}\cdot ~\vec{v}}{\left| {\vec{v}} \right|^2}( \vec v)\)

गणना:

दिया गया है:

\(\vec a = 4\hat i + 6 \hat j\) और \(\vec b = 3 \hat j + 4 \hat k\)

\(\vec a . \vec b=(4, 6, 0). (0, 3, 4)\)

\(\vec a . \vec b= 18\)

|\(\vec a\)| = √52 

\(|\vec b| = 5\) 

सदिश b के साथ a का घटक \(\frac{{18}}{{25}}(3j + 4k)\) है।

Mistake Points

हमें 'B' के साथ 'A' के सदिश घटक को प्राप्त करने के लिए कहा जाता है। यदि अदिश घटक पूछा जाता, तो भाजक में केवल 5 होते।

संकल्पना:

 \(\rm \vec{b}\) की दिशा में \(\rm \vec{a}\) का प्रक्षेपण = \(\rm\dfrac {1}{|\vec b|}(\vec a.\vec b)\)

गणना:

दिया गया है,  \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण  \(\rm \vec{a} \ and \ \vec{b} \ is \ \dfrac{2\pi}{3}\) है और \(\vec{b}\)की दिशा में \(\vec{a}\)का प्रक्षेपण -2 है। 

हम जानते हैं कि,

 \(\rm \vec{b}\) की दिशा में \(\vec{a}\) का प्रक्षेपण = \(\rm\dfrac {1}{|\vec b|}(\vec a.\vec b)\)

⇒ - 2 = \(\rm\dfrac {1}{|\vec b|}(|\vec a||\vec b|\;cos\;\dfrac {2\pi}{3})\)

⇒ - 2 = \(\rm |\vec a|\;cos\;\dfrac {2\pi}{3}\)

⇒ - 2 = \(\rm |\vec a|\;(\dfrac {-1}{2})\)

⇒  \(\rm |\vec a| = 4\)

अतः यदि \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण \(\rm \vec{a} \ and \ \vec{b} \ is \ \dfrac{2\pi}{3}\)  है और \(\vec{b}\) की दिशा में \(\vec{a}\) का प्रक्षेपण -2 है, तो \(|\vec{a}|=\) 4 है। 

संकल्पना:

 \(\vec{b}\)  के साथ \(\vec{a}\) के पूरक का सदिश रूप =  \(\rm \left(\dfrac {\vec a. \vec b}{|\vec b|^2}\right)\vec b\)  है।

गणना:

दिया गया है, \(\vec{a} = 4\hat{j}\) और \(\vec{b} = 3\hat{j} + 4\hat{k}\)

⇒ \(\rm \vec a . \vec b = (4\vec j).(3\vec j + 4 \vec k)\)

⇒ \(\rm \vec a . \vec b = 12\)

और \(\rm |\vec b| = 5 \)

 \(\vec{b}\)  के साथ \(\vec{a}\) के पूरक का सदिश रूप = \(\rm \left(\dfrac {\vec a. \vec b}{|\vec b|^2}\right)\vec b\)

= \(\rm \dfrac {12}{25}(3\vec j + 4 \vec k)\)

अतः यदि \(\vec{a} = 4\hat{j}\) और \(\vec{b} = 3\hat{j} + 4\hat{k}\) है, तो \(\vec{b}\) के साथ \(\vec{a}\) के पूरक का सदिश रूप  \(\rm \dfrac {12}{25}(3\vec j + 4 \vec k)\) है।

संकल्पना:

सदिश \(\rm \vec y\) पर किसी सदिश \(\rm \vec x\) का प्रक्षेपण निम्न है:

P = \(\rm \vec x⋅\widehat y\)

जहाँ \(\rm \widehat y\) सदिश \(\rm \vec y\) की दिशा में इकाई सदिश है। 

\(\rm \widehat y\) = \(\rm \vec y\over|\vec y|\)

गणना:

दिया गया है \(\rm \vec a\) = i + 2j + k और \(\rm \vec b\) = -i + j - 3k

 \(\rm \vec b\) पर (माना कि P है।) \(\rm \vec a\) का प्रक्षेपण = \(\rm \vec a⋅\widehat b\)

अब, सदिश \(\rm \vec b\) की दिशा में इकाई सदिश \(\rm \widehat b ={\vec b\over|\vec b|}\) है। 

\(\rm \widehat b ={-i + j - 3k\over\sqrt{(-1)^2+1^2+(-3)^2}}\)

\(\rm \widehat b ={1\over\sqrt{11}}\)(-i + j - 3k)

अब P = (i + 2j + k) ⋅ \(\rm 1\over\sqrt{11}\)(-i + j - 3k)

P = \(\rm 1\over\sqrt{11}\)(-1 + 2 - 3)

P = \(\boldsymbol{\rm -2\over\sqrt{11}}\)

संकल्पना:

माना कि \(\vec{u}~and~\vec{v}\) दो सदिश हैं। तो सदिश \(\vec{u}~on~\vec{v}\) के सदिश घटक को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

 \(\frac{\vec{u}\cdot ~\vec{v}}{\left| {\vec{v}} \right|}(\hat v) = \frac{\vec{u}\cdot ~\vec{v}}{\left| {\vec{v}} \right|^2}( \vec v)\)

गणना:

दिया गया है:

\(\vec a = 4\hat i + 6 \hat j\) और \(\vec b = 3 \hat j + 4 \hat k\)

\(\vec a . \vec b=(4, 6, 0). (0, 3, 4)\)

\(\vec a . \vec b= 18\)

|\(\vec a\)| = √52 

\(|\vec b| = 5\) 

सदिश b के साथ a का घटक \(\frac{{18}}{{25}}(3j + 4k)\) है।

Mistake Points

हमें 'B' के साथ 'A' के सदिश घटक को प्राप्त करने के लिए कहा जाता है। यदि अदिश घटक पूछा जाता, तो भाजक में केवल 5 होते।

संकल्पना:

 \(\rm \vec{b}\) की दिशा में \(\rm \vec{a}\) का प्रक्षेपण = \(\rm\dfrac {1}{|\vec b|}(\vec a.\vec b)\)

गणना:

दिया गया है,  \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण  \(\rm \vec{a} \ and \ \vec{b} \ is \ \dfrac{2\pi}{3}\) है और \(\vec{b}\)की दिशा में \(\vec{a}\)का प्रक्षेपण -2 है। 

हम जानते हैं कि,

 \(\rm \vec{b}\) की दिशा में \(\vec{a}\) का प्रक्षेपण = \(\rm\dfrac {1}{|\vec b|}(\vec a.\vec b)\)

⇒ - 2 = \(\rm\dfrac {1}{|\vec b|}(|\vec a||\vec b|\;cos\;\dfrac {2\pi}{3})\)

⇒ - 2 = \(\rm |\vec a|\;cos\;\dfrac {2\pi}{3}\)

⇒ - 2 = \(\rm |\vec a|\;(\dfrac {-1}{2})\)

⇒  \(\rm |\vec a| = 4\)

अतः यदि \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण \(\rm \vec{a} \ and \ \vec{b} \ is \ \dfrac{2\pi}{3}\)  है और \(\vec{b}\) की दिशा में \(\vec{a}\) का प्रक्षेपण -2 है, तो \(|\vec{a}|=\) 4 है। 

संकल्पना:

इस दिए गए डेटा के लिए आरेख का उल्लेख करते हुए \(\overrightarrow {AB} \) पर \(\overrightarrow {PQ} \)  के प्रक्षेपण की गणना निम्नानुसार की जा सकती है

= \(\left| {\frac{{\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}}} \right|\)

गणना:

दिया गया है:

P(1, -1, 3), Q(2, -4, 11), A(-1, 2, 3), B(3, -2, 10) 

\(= \left| {\frac{{\left( {\hat i - 3\hat j + 8\hat k} \right).\left( {4\hat i - 4\hat j + 7\hat k} \right)}}{9}} \right| \).

 = 8

तो,सही उत्तर विकल्प 3 है। 

संकल्पना:

यदि सदिश v = ai + bj + ck, तो सदिश v का परिमाण \( √ {a^2+b^2+c^2}\) है।

 \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{a} \) और \(\overrightarrow{b} \) के तल में एक सदिश \(\overrightarrow{v} \) है

गणना:

\(\overrightarrow{a} \) और \(\overrightarrow{b} \) के तल में एक सदिश \(\overrightarrow{v} \) है

\(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}\)

⇒ \(\overrightarrow{v} = (\hat i + \hat j + \hat k)+\lambda(\hat i-\hat j + \hat k)\)

⇒ \(\overrightarrow{v} \) = \({(1+\lambda)\hat i+(1-\lambda)\hat j+(1+\lambda)\hat k}\)

 \(\overrightarrow{c} \) पर \(\overrightarrow{v} \)  का प्रक्षेपण \( = \frac{1}{√3}\)(दिया गया है)

⇒ \(\frac{\overrightarrow{v}.\overrightarrow{c}}{\mid\overrightarrow{c}\mid} = \frac{1}{√3}\)

⇒ \(\frac{(1+\lambda)-(1-\lambda)-(1+\lambda)}{√3}=\frac{1}{√3}\)            [\( ​​​​\mid \overrightarrow{c}\mid =\sqrt{{1^2+1^2+1^2}}\) = √3]

⇒ \((1+\lambda)-(1-\lambda)-(1+\lambda)=1 \)

⇒ \(\lambda=2 \)

 \(\overrightarrow{v}=3\hat i -\hat j +3 \hat k\)

∴ सदिश \(\overrightarrow{v}=3\hat i -\hat j +3 \hat k\)

संकल्पना:

माना कि \(\vec{u}~and~\vec{v}\) दो सदिश है। तो सदिश \(\vec{u}~on~\vec{v}\) के अदिश प्रक्षेपण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\frac{\vec{u}\cdot ~\vec{v}}{\left| {\vec{v}} \right|}\)

गणना:

\(\overrightarrow {\left| a \right|} = 8,\overrightarrow {\left| b \right|} = 7,\overrightarrow {\left| c \right|} = 10,\)

अब, कोसाइन सूत्र का प्रयोग करने पर,

\(\cos \theta = \frac{{{{\left| {\vec b} \right|}^2} + {{\left| {\vec c} \right|}^2} - {{\left| {\vec a} \right|}^2}}}{{2\left| {\vec b} \right|\left| {\vec c} \right|}} = \frac{{17}}{{28}}\)

\({\vec b}\)  पर \({\vec c}\) का प्रक्षेपण,

\(\left| {\vec c} \right|\,\cos \theta = 10 \times \frac{{17}}{{28}} = \frac{{85}}{{14}}.\)

संकल्पना:

 \(\vec{b}\)  के साथ \(\vec{a}\) के पूरक का सदिश रूप =  \(\rm \left(\dfrac {\vec a. \vec b}{|\vec b|^2}\right)\vec b\)  है।

गणना:

दिया गया है, \(\vec{a} = 4\hat{j}\) और \(\vec{b} = 3\hat{j} + 4\hat{k}\)

⇒ \(\rm \vec a . \vec b = (4\vec j).(3\vec j + 4 \vec k)\)

⇒ \(\rm \vec a . \vec b = 12\)

और \(\rm |\vec b| = 5 \)

 \(\vec{b}\)  के साथ \(\vec{a}\) के पूरक का सदिश रूप = \(\rm \left(\dfrac {\vec a. \vec b}{|\vec b|^2}\right)\vec b\)

= \(\rm \dfrac {12}{25}(3\vec j + 4 \vec k)\)

अतः यदि \(\vec{a} = 4\hat{j}\) और \(\vec{b} = 3\hat{j} + 4\hat{k}\) है, तो \(\vec{b}\) के साथ \(\vec{a}\) के पूरक का सदिश रूप  \(\rm \dfrac {12}{25}(3\vec j + 4 \vec k)\) है।

व्याख्या:

माना \(\vec{a}\)  और \(\vec{b}\) दो सदिश है तो \(\vec{b}\) पर \(\vec{a}\) का अदिश प्रक्षेपण = \(\frac{\vec a⋅\vec b}{|\vec b|}\)

माना \(\vec{a}\) = 3î - ĵ - 2k̂ और \(\vec{b}\) = î + 2ĵ - 3k̂  

\(\vec{a}⋅ ~\vec{b}\)  = (3î - ĵ - 2k̂) × ( î + 2ĵ - 3k̂ )

\(\vec a⋅\vec b\) = 3 - 2 + 6 = 7

⇒  \( \left| {\vec{b}} \right| =\sqrt{1^2+2^2+(-3)^2} =\sqrt{14}\) 

∴ सदिश î + 2ĵ - 3k̂ पर सदिश 3î - ĵ - 2k̂ का अदिश प्रक्षेपण = \(\frac{\vec a⋅\vec b}{|\vec b|}=\frac{7}{\sqrt{14}}\)  

सही उत्तर विकल्प (1) है।