Theorems of Complex analysis MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Theorems of Complex analysis - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

तत्समक प्रमेय: माना कि f(z) और g(z) एक प्रांत D में वैश्लेषिक फलन हैं और S, D का कोई उपसमुच्चय है जिसका एक सीमा बिंदु D में है। यदि सभी z ∈ S के लिए f(z) = g(z) है, तो सभी z ∈ D के लिए f(z) = g(z) है। 

व्याख्या:

(1): f:ℂ → ℂ एक वैश्लेषिक फलन है

z = (1 + k/n) + i

सीमा बिंदु i है जो ℂ के अंदर स्थित है।

इसलिए, तत्समक प्रमेय से, सभी z ∈ ℂ के लिए f(z) = i है।

(1) असत्य है।

(2): यदि S पर कहीं भी f(z) ≠ 0, तो f अचर नहीं हो सकता क्योंकि एक अचर फलन g(z) = c में सभी z के लिए g'(z) = 0 होता है।

चूँकि Im(f'(z)) > 0 है, इसलिए f'(z) ≠ 0 है, इसलिए f अचर नहीं है।

(2) सत्य है।

(3): पूर्णांक ℤ, ℂ का एक गणनीय उपसमुच्चय बनाते हैं और ℂ में सघन नहीं हैं।

तत्समता प्रमेय से, ℂ के एक असघन उपसमुच्चय पर अचर एक विश्लेषणात्मक फलन सर्वत्र अचर होना आवश्यक नहीं है।

(3) और (4) सत्य हैं।

अवधारणा:

सर्वसमिका प्रमेय: माना f और g एक प्रांत D में दो विश्लेषणात्मक फलन हैं और माना S = {z ∈ D: f(z) = g(z)} का D में एक सीमांत बिंदु है। तब, f(z) = g(z) ∀ z ∈ D

व्याख्या:

दिया गया है: f ∶ ℂ → ℂ सर्वत्र वैश्लेषिक फलन है, जहाँ सभी n ∈ ℕ के लिए, 

 है।  

इसलिए, माना  = z

इसलिए, f(z) = z⁴ = g(z)

अतः सभी n ∈ ℕ के लिए,  

अब, {} का सीमा बिंदु 0 है जोकि ℂ में हैं। 

इसलिए सर्वसमिका प्रमेय से, सभी z ∈ ℂ के लिए, f(z) = z4  

अतः सही उत्तर विकल्प (3) है। 

संप्रत्यय:

ल्यूवेल प्रमेय कहता है कि यदि कोई सर्वत्र फलन परिबद्ध है, तो फलन अचर होना चाहिए।

व्याख्या:

विकल्प 1: यह सुझाव देता है कि f(z) अचर फलन 2024 है। हालाँकि यह सत्य हो सकता है,

यह आवश्यक रूप से सत्य नहीं है, क्योंकि f(z) कोई अन्य अचर हो सकता है जिसका मापांक 2024 से अधिक या उसके बराबर है (जैसे, f(z) = 3000)। 

असत्य है।

विकल्प 2: न्यूनतम मापांक सिद्धांत से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि f(z) अचर होना चाहिए क्योंकि फलन सर्वत्र है और इसका मापांक 2024 से नीचे परिबद्ध है। इसलिए, f आवश्यक रूप से अचर है।

सत्य है।

विकल्प 3: f(z) के एकैकी होने के लिए, इसे भिन्न निवेशों को भिन्न उत्पादों में प्रतिचित्रित करना होगा। चूँकि f एक अचर फलन है (जैसा कि हमने विकल्प 2 में स्थापित किया है),

यह एकैकी नहीं हो सकता (एक अचर फलन एकैकी नहीं होता है)।

असत्य है।

विकल्प 4: एक अचर फलन द्विगुण नहीं होता है, क्योंकि यह एकैकी या आच्छादक नहीं होता है (यह सभी पर प्रतिचित्रित नहीं करता है)।

असत्य है।

सही उत्तर विकल्प 2) है।

संप्रत्यय:

अवशेष प्रमेय:

सम्मिश्र समतल में एक बंद कंटूर के चारों ओर एक फलन का समाकलन गुना कंटूर के अंदर फलन के अवशेषों का योग होता है। इसलिए, इस बात पर निर्भर करेगा कि और/या द्वारा परिभाषित कंटूर के अंदर स्थित हैं या नहीं।

व्याख्या: कंटूर मूलबिंदु पर केंद्रित r त्रिज्या का एक वृत्त है, और समाकल्य में विचित्रताएँ (ध्रुव) और पर हैं।

समाकल्य के अनंतक :

फलन के दो अनंतक हैं

पर और पर

, जहाँ के लिए और वास्तविक संख्याएँ हैं जहाँ   है। 

फलन के अनंतक कंटूर के अंदर हैं, जो मूलबिंदु पर केंद्रित r त्रिज्या का एक वृत्त है।

फलन के अनंतक  और पर हैं। चूँकि और 0\) , इसलिए दो अनंतक मूलबिंदु के विपरीत दिशाओं में स्थित हैं।

त्रिज्या r के आधार पर, कंटूर एक या दोनों अनंतकों को परिबद्ध सकता है या परिबद्ध नहीं भी सकता है।

के लिए शर्तें:

यदि त्रिज्या r, |a| (a के निरपेक्ष मान) से छोटी है, तो कंटूर किसी भी ध्रुव को परिबद्ध नहीं करता है, इसलिए कौशी समाकल प्रमेय द्वारा, = 0 है। 

यदि त्रिज्या r, से बड़ी है, तो कंटूर दोनों अनंतकों को परिबद्ध करता है, और अवशेष प्रमेय द्वारा, शून्येतर होगा।

यदि r, |a| और b के बीच है, तो कंटूर ठीक एक अनंतक को परिबद्ध करता है, जो को शून्येतर भी बना देगा।

विकल्प 3: यदि r > max {|a|, b} और |a| = b हो, Ir = 0

यह स्थिति सत्य है क्योंकि यदि r > , तो कंटूर दोनों अनंतकों को परिबद्ध करता है, जिससे ऐसी स्थिति बनती है। 

जहाँ समाकलन दोनों अनंतकों पर अवशेषों का योग करता है, संभावित रूप से एक-दूसरे को निरस्त करता है।

इसके अतिरिक्त, यदि , तो दोनों अनंतक सममित रूप से स्थित होते हैं, जो निरसन को और मजबूत करते हैं।

इस प्रकार, विकल्प 3) सही उत्तर है।

संप्रत्यय:

ल्यूवेल प्रमेय द्वारा, कोई भी सर्वत्र फलन (एक ऐसा फलन जो पूरे सम्मिश्र समतल पर होलोमोर्फिक है) जो परिबद्ध है, वह अचर होना चाहिए।

व्याख्या:

विकल्प 1:

यदि के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग परिबद्ध हैं, तो सर्वत्र फलन स्वयं परिबद्ध है।

ल्यूवेल के प्रमेय द्वारा, अचर होना चाहिए।

यह कथन सत्य है।

विकल्प 2:

यदि परिबद्ध है, तो f अचर है।

चरघातांकी फलन बहुत तेज़ी से बढ़ता है। यदि वास्तविक और काल्पनिक भागों के निरपेक्ष मानों के योग का चरघातांक परिबद्ध है, तो के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग बहुत ही प्रतिबंधित (वास्तव में, अचर) होने चाहिए। इसलिए, अचर होना चाहिए।

यह कथन सत्य है।

विकल्प 3:

यदि योग और गुणनफल परिबद्ध हैं, तो f अचर है।

और के योग और गुणनफल दोनों के परिबद्ध होने से के व्यवहार पर महत्वपूर्ण प्रतिबंध लगाते हैं। यदि ये दोनों राशियाँ परिबद्ध हैं, तो अचर होना चाहिए।

यह कथन सत्य है।

विकल्प 4:

यदि परिबद्ध है, तो f अचर है।

ज्या फलन स्वाभाविक रूप से परिबद्ध है (चूँकि [-1, 1] किसी भी वास्तविक के लिए, इसलिए  की परिबद्धता यह आवश्यक रूप से निहित नहीं करता है कि अचर है। यह प्रतिबंध का उल्लंघन किए बिना फलन अभी भी परिवर्तित हो सकता है।

यह कथन असत्य है।

इसलिए, हमारा उत्तर विकल्प 4) है।

संप्रत्यय:

एक फलन f(z) को एक डोमेन D में होलोमोर्फिक कहा जाता है यदि f(z) में D में कोई विलक्षणता नहीं है।

व्याख्या:

g'(z) = z ∈ \{0}

⇒ g'(z) =

⇒ g'(z) =

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है

g(z) =

इसलिए g(z) होलोमोर्फिक नहीं हो सकता है यदि p, 2, 3 और 4 का गुणज है।

∴ विकल्प (1), (3) और (4) सही नहीं हैं।

इसलिए विकल्प (2) सही है

संप्रत्यय:

ल्यूवेल प्रमेय द्वारा, कोई भी सर्वत्र फलन (एक ऐसा फलन जो पूरे सम्मिश्र समतल पर होलोमोर्फिक है) जो परिबद्ध है, वह अचर होना चाहिए।

व्याख्या:

विकल्प 1:

यदि के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग परिबद्ध हैं, तो सर्वत्र फलन स्वयं परिबद्ध है।

ल्यूवेल के प्रमेय द्वारा, अचर होना चाहिए।

यह कथन सत्य है।

विकल्प 2:

यदि परिबद्ध है, तो f अचर है।

चरघातांकी फलन बहुत तेज़ी से बढ़ता है। यदि वास्तविक और काल्पनिक भागों के निरपेक्ष मानों के योग का चरघातांक परिबद्ध है, तो के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग बहुत ही प्रतिबंधित (वास्तव में, अचर) होने चाहिए। इसलिए, अचर होना चाहिए।

यह कथन सत्य है।

विकल्प 3:

यदि योग और गुणनफल परिबद्ध हैं, तो f अचर है।

और के योग और गुणनफल दोनों के परिबद्ध होने से के व्यवहार पर महत्वपूर्ण प्रतिबंध लगाते हैं। यदि ये दोनों राशियाँ परिबद्ध हैं, तो अचर होना चाहिए।

यह कथन सत्य है।

विकल्प 4:

यदि परिबद्ध है, तो f अचर है।

ज्या फलन स्वाभाविक रूप से परिबद्ध है (चूँकि [-1, 1] किसी भी वास्तविक के लिए, इसलिए  की परिबद्धता यह आवश्यक रूप से निहित नहीं करता है कि अचर है। यह प्रतिबंध का उल्लंघन किए बिना फलन अभी भी परिवर्तित हो सकता है।

यह कथन असत्य है।

इसलिए, हमारा उत्तर विकल्प 4) है।

संप्रत्यय:

अवशेष प्रमेय:

सम्मिश्र समतल में एक बंद कंटूर के चारों ओर एक फलन का समाकलन गुना कंटूर के अंदर फलन के अवशेषों का योग होता है। इसलिए, इस बात पर निर्भर करेगा कि और/या द्वारा परिभाषित कंटूर के अंदर स्थित हैं या नहीं।

व्याख्या: कंटूर मूलबिंदु पर केंद्रित r त्रिज्या का एक वृत्त है, और समाकल्य में विचित्रताएँ (ध्रुव) और पर हैं।

समाकल्य के अनंतक :

फलन के दो अनंतक हैं

पर और पर

, जहाँ के लिए और वास्तविक संख्याएँ हैं जहाँ   है। 

फलन के अनंतक कंटूर के अंदर हैं, जो मूलबिंदु पर केंद्रित r त्रिज्या का एक वृत्त है।

फलन के अनंतक  और पर हैं। चूँकि और 0\) , इसलिए दो अनंतक मूलबिंदु के विपरीत दिशाओं में स्थित हैं।

त्रिज्या r के आधार पर, कंटूर एक या दोनों अनंतकों को परिबद्ध सकता है या परिबद्ध नहीं भी सकता है।

के लिए शर्तें:

यदि त्रिज्या r, |a| (a के निरपेक्ष मान) से छोटी है, तो कंटूर किसी भी ध्रुव को परिबद्ध नहीं करता है, इसलिए कौशी समाकल प्रमेय द्वारा, = 0 है। 

यदि त्रिज्या r, से बड़ी है, तो कंटूर दोनों अनंतकों को परिबद्ध करता है, और अवशेष प्रमेय द्वारा, शून्येतर होगा।

यदि r, |a| और b के बीच है, तो कंटूर ठीक एक अनंतक को परिबद्ध करता है, जो को शून्येतर भी बना देगा।

विकल्प 3: यदि r > max {|a|, b} और |a| = b हो, Ir = 0

यह स्थिति सत्य है क्योंकि यदि r > , तो कंटूर दोनों अनंतकों को परिबद्ध करता है, जिससे ऐसी स्थिति बनती है। 

जहाँ समाकलन दोनों अनंतकों पर अवशेषों का योग करता है, संभावित रूप से एक-दूसरे को निरस्त करता है।

इसके अतिरिक्त, यदि , तो दोनों अनंतक सममित रूप से स्थित होते हैं, जो निरसन को और मजबूत करते हैं।

इस प्रकार, विकल्प 3) सही उत्तर है।

संप्रत्यय:

एक फलन f(z) को एक डोमेन D में होलोमोर्फिक कहा जाता है यदि f(z) में D में कोई विलक्षणता नहीं है।

व्याख्या:

g'(z) = z ∈ \{0}

⇒ g'(z) =

⇒ g'(z) =

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है

g(z) =

इसलिए g(z) होलोमोर्फिक नहीं हो सकता है यदि p, 2, 3 और 4 का गुणज है।

∴ विकल्प (1), (3) और (4) सही नहीं हैं।

इसलिए विकल्प (2) सही है

संप्रत्यय:

ल्यूवेल प्रमेय द्वारा, कोई भी सर्वत्र फलन (एक ऐसा फलन जो पूरे सम्मिश्र समतल पर होलोमोर्फिक है) जो परिबद्ध है, वह अचर होना चाहिए।

व्याख्या:

विकल्प 1:

यदि के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग परिबद्ध हैं, तो सर्वत्र फलन स्वयं परिबद्ध है।

ल्यूवेल के प्रमेय द्वारा, अचर होना चाहिए।

यह कथन सत्य है।

विकल्प 2:

यदि परिबद्ध है, तो f अचर है।

चरघातांकी फलन बहुत तेज़ी से बढ़ता है। यदि वास्तविक और काल्पनिक भागों के निरपेक्ष मानों के योग का चरघातांक परिबद्ध है, तो के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग बहुत ही प्रतिबंधित (वास्तव में, अचर) होने चाहिए। इसलिए, अचर होना चाहिए।

यह कथन सत्य है।

विकल्प 3:

यदि योग और गुणनफल परिबद्ध हैं, तो f अचर है।

और के योग और गुणनफल दोनों के परिबद्ध होने से के व्यवहार पर महत्वपूर्ण प्रतिबंध लगाते हैं। यदि ये दोनों राशियाँ परिबद्ध हैं, तो अचर होना चाहिए।

यह कथन सत्य है।

विकल्प 4:

यदि परिबद्ध है, तो f अचर है।

ज्या फलन स्वाभाविक रूप से परिबद्ध है (चूँकि [-1, 1] किसी भी वास्तविक के लिए, इसलिए  की परिबद्धता यह आवश्यक रूप से निहित नहीं करता है कि अचर है। यह प्रतिबंध का उल्लंघन किए बिना फलन अभी भी परिवर्तित हो सकता है।

यह कथन असत्य है।

इसलिए, हमारा उत्तर विकल्प 4) है।

संकल्पना:

यदि किसी फलन f(z) एक बिंदु "z = a" पर विलगित अव्युत्क्रमणीयता रखता है तो यह बिंदु "z = a" के निकट परिबद्ध नहीं है।

स्पष्टीकरण: 

प्रत्यक्ष परिणाम से हम कह सकते हैं कि विकल्प (1) सत्य है।

संकल्पना:

रूश की प्रमेय: यदि f(z) और g(z) एक सरल बंद वक्र C के भीतर और उस पर दो वैश्लेषिक फलन इस प्रकार हैं कि |f(z)|

स्पष्टीकरण:

z100 - 50z30 + 40z10 + 6z + 1 तथा विवृत बिंब {z ∈ ℂ : |z|

माना f(z) = z100 +  40z10 + 6z + 1 और g(z) = - 50z30 

तब |f(z)| = |z100 +  40z10 + 6z + 1| ≤ |z100|+  40|z10| + 6|z| + 1

और |g(z)| = | - 50z30| = 50|z30|

अतः {z ∈ ℂ : |z|

फिर रुश की प्रमेय द्वारा,

f(z)+g(z) और g(z) के {z ∈ ℂ : |z|

अब, g(z) = - 50z30 के {z ∈ ℂ : |z|

इसलिए z100 - 50z30 + 40z10 + 6z + 1 के {z ∈ ℂ : |z| 30 मूल हैं

(3) सही है

अवधारणा:

लिउविले का प्रमेय: एक परिबद्ध संपूर्ण फलन एक स्थिर फलन है।

लिउविले के प्रमेय के परिणाम:
(i) एक संपूर्ण फलन परिबद्ध नहीं है।

(ii) यदि f एक अचरेतर संपूर्ण फलन है, तो w-प्रतिचित्र यदि f समिश्र तल ℂ में संहत है।

विवृत प्रतिचित्रण प्रमेय: यदि U समिश्र तल C का एक प्रांत है और f: U →  ℂ एक अचरेतर होलोमोर्फिक फलन है, तो f एक विवृत प्रतिचित्र है अर्थात यह U के विवृत उपसमुच्चय को ℂ के विवृत उपसमुच्चय में भेजता है।

न्यूनतम मापांक प्रमेय: यदि f एक परिबद्ध प्रांत D पर होलोमोर्फिक और अचरेतर है, तो |f| या तो f के शून्य पर या सीमा पर अपना न्यूनतम प्राप्त करता है।

स्पष्टीकरण:

दिया गया है, f एक अचरेतर विश्लेषणात्मक फलन है, जिसे ℂ पर परिभाषित किया गया है

यानी, f एक अचरेतर संपूर्ण फलन है, फिर उपफल (i) द्वारा, f अपरिबद्ध है और उपफल (ii) द्वारा, f का प्रतिचित्र ℂ में सघन है। 

(1), (4) सही हैं। 

विवृत प्रतिचित्रण प्रमेय के अनुसार, (2) सही है। 

अधिकतम मॉड्यूलो प्रमेय के अनुसार, (3) गलत है। 

अवधारणा:

लाइविल प्रमेय का विस्तारण: यदि f(z) एक पूर्ण फलन है और |f(z)| ≤ λ|z|^α ∀ z ∈ तब f(z) = c_[α]z^[α]

व्याख्या:

मान लीजिये g(z) = z f(z) - 1 + ez

इसलिए, सभी z ∈ ℂ के लिए |g(z)| = |z f(z) - 1 + ez| ≤ 1 + |z| ≤ |z| 

चूँकि, f(z) एक पूर्ण फलन है इसलिए g(z) भी एक पूर्ण फलन है।

इसलिए लाइविल प्रमेय के विस्तार से, g(z) अधिकतम एक घात का बहुपद है।

मान लीजिये g(z) = a + bz

⇒ zf(z) - 1 + ez = a + bz

⇒ zf(z) - 1 + ez - a - bz = 0

अवकलन करने पर

f(z) + zf'(z) + ez - b = 0....(i)

पुनः, अवकलन करने पर

f'(z) + f'(z) + zf''(z) + ez = 0

⇒ 2f'(z) + zf''(z) + ez = 0....(ii)

पुनः, अवकलन करने पर

2f''(z) + f''(z) + zf'''(z) + ez = 0

⇒ 3f''(z) + zf'''(z) + ez = 0 .....(iii)

समीकरण (ii) में z = 0 रखने पर

2f'(0) + 0 + 1 = 0 ⇒ 2f'(0) = -1 ⇒ f'(0) = -1/2

विकल्प (2) सही है

समीकरण (iii) में z = 0 रखने पर

3f''(0) + 0 + 1 = 0 ⇒ 3f''(0) = -1 ⇒ f''(0) = -1/3

विकल्प (3) सही है

संप्रत्यय:

रूशे प्रमेय: यदि f(z) और g(z) दो ऐसे विश्लेषणात्मक फलन हैं जो एक सरल बंद वक्र C के अंदर और उस पर हैं, जहाँ प्रत्येक बिंदु पर C पर |f(z)|

व्याख्या:

z90 + 80z40 - 40z20 + 8z10 + 10 और खुली डिस्क {z ∈ ℂ : |z|

मान लीजिए f(z) = z90 - 40z20 + 8z10 + 10 और g(z) = 80z40

तब |f(z)| = |z90 - 40z20 + 8z10 + 10 | ≤ |z90| + 40|z20| + 8|z¹⁰| + 10

और |g(z)| = | 80z⁴0| = 80|z40|

इसलिए, |f(z)|

फिर रूशे प्रमेय से,

f(z)+g(z) और g(z) के {z ∈ ℂ : |z|

अब, g(z) = 80z40 के {z ∈ ℂ : |z|

इसलिए, z90 + 80z40 - 40z20 + 8z10 + 10 के {z ∈ ℂ : |z|

(4) सही है।