Divisibility In Z & Euler Function MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Divisibility In Z & Euler Function - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ধারণা:

যেহেতু a + b ≡ 0 (mod a + b) তাই, \(a^{2m-1}+b^{2m-1}≡ 0\) (mod a+b) যেখানে m হল যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

ব্যাখ্যা:

139 + 239 + 339 + ... + 9839

এখানে 1 + 98 ≡ 0 (mod 99), 2 + 97 ≡ 0 (mod 99), 3 + 96 ≡ 0 (mod 99), ....49 + 50 ≡ 0 (mod 99)

সুতরাং, 1³⁹+ 98³⁹ ≡ 0 (mod 99), 239+ 9739 ≡ 0 (mod 99), 339+ 9639 ≡ 0 (mod 99), ...., 4939+ 5039 ≡ 0 (mod 9)

যোগ করে আমরা পাই

139 + 239 + 339 + ... + 9839 ≡ 0 (mod 99)

সুতরাং 139 + 239 + 339 + ... + 9839 ℤ/99ℤ-এ 0-এর সমান

(3) সঠিক

ধারণা:

d(n) = n-এর ধনাত্মক উৎপাদকের সংখ্যা

v(n) = n-এর স্বতন্ত্র মৌলিক উৎপাদকের সংখ্যা

ω(n) = n-এর মৌলিক উৎপাদকের সংখ্যা (গুণনীয়ক সহ গণনা করা হয়)

n = p1r1p2r2........pkrk

তাহলে d(n) = (r1+1)(r2+1)........(rk+k)

ω (n) = r1+ r2+........+ rk

v(n) = k

ব্যাখ্যা:

(1) n = (37)²

তাহলে ω(n) = 2

d(n) = 3

এবং log n = log (37)² = 2log (37) > 3

অতএব, বিকল্প (1) সঠিক নয়।

(2) n = p₁^r₁p₂^r₂........p_k^r_k

d(n) = (r₁+1)(r₂+1)........(r_k+k)

3√ n = 3^{\(p_1^{\frac{r_1}{2}}p_2^{\frac{r_2}{2}}........p_k^{\frac{r_k}{2}}\)}

স্পষ্টতই d(n) ≤ 3√ n ∀ n ∈ N

অতএব, এমন কোনো n ∈ N এর অস্তিত্ব নেই যেখানে d(n) > 3√ n

অতএব, বিকল্প (2) সঠিক নয়।

(3) ধরা যাক n = p1r1p2r2........pkrk

d(n) = (r1+1)(r2+1)........(rk+k)

v(n) = k

ω (n) = r₁+ r₂+........+ r_k

2^v(n) = 2^k, 2^{ω (n)}= 2^{r₁+r₂+.....+r_k}

⇒2^v(n) ≤ d(n) ≤ 2r1+r2+.....+rk

⇒2v(n) ≤ d(n) ≤ 2^ω(n)

অতএব, বিকল্প (3) সঠিক।

(4) n = 9 = 3²

m = 3x7 = 21

ω(n) = ω(m) = 2

d(n) = 3

d(m) = 4

অতএব, d(n) ≠ d(m)

অতএব, বিকল্প (4) সঠিক নয়।

ধারণা:

একটি ম্যাপিং ϕ: \(\mathbb N\) → \(\mathbb N\), যা ϕ(n) = {x ∈ \(\mathbb N\) | 1 ≤ x

ϕ (pⁿ) = pⁿ - p^n-1

ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) যদি gcd(m, n) = 1 হয়
ব্যাখ্যা:

ϕ(n) সারণী:

ϕ(n)-এর সারণী থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, যদি আমরা n কে 3-এর চেয়ে বড় একটি মৌলিক সংখ্যা হিসাবে নিই, তাহলে ϕ(n) > ϕ(n+1) এবং যদি আমরা n + 1 কে 3-এর চেয়ে বড় একটি মৌলিক সংখ্যা হিসাবে নিই, তাহলে ϕ(n) < ϕ(n+1)

∴ বিকল্প (1) এবং (2) সঠিক।

ϕ(n) সারণী:

সুতরাং, যদি আমরা N = 6 নিই, তাহলে সমস্ত n > 6 এর জন্য, আমরা ϕ(N) < ϕ(n) পাই।

সুতরাং বিকল্প (3) সঠিক।

সুতরাং, যে বিকল্পটি সত্য নয় সেটি হল (4)

ব্যাখ্যা:

দেওয়া আছে 1 ≤ n ≤ 999

পূর্ণসংখ্যা n এর সংখ্যা যেমন 1 ≤ n ≤ 999 এবং 3 দ্বারা বিভাজ্য তা হলো \(\left[\frac{999}{3}\right]\) = 333

পূর্ণসংখ্যা n এর সংখ্যা যেমন 1 ≤ n ≤ 999 এবং 37 দ্বারা বিভাজ্য তা হলো

\(\left[\frac{999}{37}\right]\) = 27

3 এবং 37 এর লসাগু = 3 × 37 = 111

সুতরাং পূর্ণসংখ্যা n এর সংখ্যা যেমন 1 ≤ n ≤ 999 এবং 3 ও 37 উভয় দ্বারা বিভাজ্য তা হলো \(\left[\frac{999}{111}\right]\) = 9

সুতরাং S এ থাকা পূর্ণসংখ্যা = 333 + 27 - 9 = 351

অতএব S^c তে থাকা পূর্ণসংখ্যা = 999 - 351 = 648

∴ সেট S^c-এ পূর্ণসংখ্যার সংখ্যা হলো 648।

ধারণা:

একটি ম্যাপিং ϕ: \(\mathbb N\) → \(\mathbb N\), যা ϕ(n) = {x ∈ \(\mathbb N\) | 1 ≤ x

ϕ (pⁿ) = pⁿ - p^n-1

ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) যদি gcd(m, n) = 1 হয়
ব্যাখ্যা:

ϕ(n) সারণী:

ϕ(n)-এর সারণী থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, যদি আমরা n কে 3-এর চেয়ে বড় একটি মৌলিক সংখ্যা হিসাবে নিই, তাহলে ϕ(n) > ϕ(n+1) এবং যদি আমরা n + 1 কে 3-এর চেয়ে বড় একটি মৌলিক সংখ্যা হিসাবে নিই, তাহলে ϕ(n) < ϕ(n+1)

∴ বিকল্প (1) এবং (2) সঠিক।

ϕ(n) সারণী:

সুতরাং, যদি আমরা N = 6 নিই, তাহলে সমস্ত n > 6 এর জন্য, আমরা ϕ(N) < ϕ(n) পাই।

সুতরাং বিকল্প (3) সঠিক।

সুতরাং, যে বিকল্পটি সত্য নয় সেটি হল (4)

ব্যাখ্যা:

দেওয়া আছে 1 ≤ n ≤ 999

পূর্ণসংখ্যা n এর সংখ্যা যেমন 1 ≤ n ≤ 999 এবং 3 দ্বারা বিভাজ্য তা হলো \(\left[\frac{999}{3}\right]\) = 333

পূর্ণসংখ্যা n এর সংখ্যা যেমন 1 ≤ n ≤ 999 এবং 37 দ্বারা বিভাজ্য তা হলো

\(\left[\frac{999}{37}\right]\) = 27

3 এবং 37 এর LCM = 3 x 37 = 111

সুতরাং পূর্ণসংখ্যা n এর সংখ্যা যেমন 1 ≤ n ≤ 999 এবং 3 ও 37 উভয় দ্বারা বিভাজ্য তা হলো \(\left[\frac{999}{111}\right]\) = 9

সুতরাং S এ থাকা পূর্ণসংখ্যা = 333 + 27 - 9 = 351

অতএব S^c তে থাকা পূর্ণসংখ্যা = 999 - 351 = 648

∴ সেট S^c-এ পূর্ণসংখ্যার সংখ্যা হলো 648।

ধারণা:

যেহেতু a + b ≡ 0 (mod a + b) তাই, \(a^{2m-1}+b^{2m-1}≡ 0\) (mod a+b) যেখানে m হল যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

ব্যাখ্যা:

139 + 239 + 339 + ... + 9839

এখানে 1 + 98 ≡ 0 (mod 99), 2 + 97 ≡ 0 (mod 99), 3 + 96 ≡ 0 (mod 99), ....49 + 50 ≡ 0 (mod 99)

সুতরাং, 1³⁹+ 98³⁹ ≡ 0 (mod 99), 239+ 9739 ≡ 0 (mod 99), 339+ 9639 ≡ 0 (mod 99), ...., 4939+ 5039 ≡ 0 (mod 9)

যোগ করে আমরা পাই

139 + 239 + 339 + ... + 9839 ≡ 0 (mod 99)

সুতরাং 139 + 239 + 339 + ... + 9839 ℤ/99ℤ-এ 0-এর সমান

(3) সঠিক

ধারণা:

d(n) = n-এর ধনাত্মক উৎপাদকের সংখ্যা

v(n) = n-এর স্বতন্ত্র মৌলিক উৎপাদকের সংখ্যা

ω(n) = n-এর মৌলিক উৎপাদকের সংখ্যা (গুণনীয়ক সহ গণনা করা হয়)

n = p1r1p2r2........pkrk

তাহলে d(n) = (r1+1)(r2+1)........(rk+k)

ω (n) = r1+ r2+........+ rk

v(n) = k

ব্যাখ্যা:

(1) n = (37)²

তাহলে ω(n) = 2

d(n) = 3

এবং log n = log (37)² = 2log (37) > 3

অতএব, অপশন (1) সঠিক নয়।

(2) n = p₁^r₁p₂^r₂........p_k^r_k

d(n) = (r₁+1)(r₂+1)........(r_k+k)

3√ n = 3^{\(p_1^{\frac{r_1}{2}}p_2^{\frac{r_2}{2}}........p_k^{\frac{r_k}{2}}\)}

স্পষ্টতই d(n) ≤ 3√ n ∀ n ∈ N

অতএব, এমন কোনো n ∈ N এর অস্তিত্ব নেই যেখানে d(n) > 3√ n

অতএব, অপশন (2) সঠিক নয়।

(3) ধরা যাক n = p1r1p2r2........pkrk

d(n) = (r1+1)(r2+1)........(rk+k)

v(n) = k

ω (n) = r₁+ r₂+........+ r_k

2^v(n) = 2^k, 2^{ω (n)}= 2^{r₁+r₂+.....+r_k}

⇒2^v(n) ≤ d(n) ≤ 2r1+r2+.....+rk

⇒2v(n) ≤ d(n) ≤ 2^ω(n)

অতএব, অপশন (3) সঠিক।

(4) n = 9 = 3²

m = 3x7 = 21

ω(n) = ω(m) = 2

d(n) = 3

d(m) = 4

অতএব, d(n) ≠ d(m)

অতএব, অপশন (4) সঠিক নয়।

ধারণা:

একটি ম্যাপিং ϕ: \(\mathbb N\) → \(\mathbb N\), যা ϕ(n) = {x ∈ \(\mathbb N\) | 1 ≤ x

ϕ (pⁿ) = pⁿ - p^n-1

ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) যদি gcd(m, n) = 1 হয়
ব্যাখ্যা:

ϕ(n) সারণী:

ϕ(n)-এর সারণী থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, যদি আমরা n কে 3-এর চেয়ে বড় একটি মৌলিক সংখ্যা হিসাবে নিই, তাহলে ϕ(n) > ϕ(n+1) এবং যদি আমরা n + 1 কে 3-এর চেয়ে বড় একটি মৌলিক সংখ্যা হিসাবে নিই, তাহলে ϕ(n) < ϕ(n+1)

∴ বিকল্প (1) এবং (2) সঠিক।

ϕ(n) সারণী:

সুতরাং, যদি আমরা N = 6 নিই, তাহলে সমস্ত n > 6 এর জন্য, আমরা ϕ(N) < ϕ(n) পাই।

সুতরাং বিকল্প (3) সঠিক।

সুতরাং, যে বিকল্পটি সত্য নয় সেটি হল (4)