Polynomial Rings and Irreducibility Criteria MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Polynomial Rings and Irreducibility Criteria - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 2, 2025
Latest Polynomial Rings and Irreducibility Criteria MCQ Objective Questions
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 1:
मान लीजिए कि f(X) = 2X2 + 2X - 1 और g(X) = 2X2 + X - 3, ℤ[X] में बहुपद हैं। निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
f(X) = 2X2 + 2X - 1 और g(X) = 2X2 + X - 3, ℤ[X] में बहुपद हैं।
(1): p = 3
तब X = 1 के लिए,
f(X) = 2 + 2 -1 = 3
इसलिए, f(X) mod 3 = 0, (ℤ/3ℤ)[X] में अलघुकरणीय नहीं है।
(1) असत्य है।
(2): p = 3
तब X = 1 के लिए,
g(X) = 2 + 1 - 3 = 0
इसलिए, g(X) mod 3 = 0, (ℤ/3ℤ)[X] में अलघुकरणीय नहीं है।
(2) असत्य है।
(3): g(X) = 2X2 + X - 3 = 0 ⇒ (X - 1)(2X + 3) = 0 ⇒ X =1, -3/2
g(X) के मूल ℚ में हैं।
g(X), ℚ[X] में अलघुकरणीय नहीं है।
(3) असत्य है।
(4) सत्य है।
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 2:
यदि n ∈ ℤ हो तो निम्न में से कौन - से सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 2 Detailed Solution
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 3:
मान लीजिए ℤ[X] पूर्णांकों पर बहुपदों की वलय है। तब योगात्मक समूह ℤ[X] है
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 3 Detailed Solution
अवधारणा:
(G, *) से (H, #) तक एक समूह समरूपता G से H तक एक द्विआधारी फलन है।
स्पष्टीकरण:
ℤ[X] पूर्णांकों पर बहुपदों का वलय है।
योगात्मक समूह ℤ[X] गणनीय है।
अतः, विकल्प (3) सत्य है तथा विकल्प (4) असत्य है।
(1): मान लीजिए P(x) ∈ ℤ[X] और P(x) = a0 + a1x + a2 x2 + ... + anxn
आइए एक फलन f: ( ℤ[X], + ) → ( ℚ+, .) पर विचार करें जैसे कि
f(P(x)) = \(1^{a_0}2^{a_1}3^{a_3}...n^{a_n}\)
मान लीजिए P(x), Q(x) ∈ ℤ[X] इस प्रकार कि
f(P(x)) ≠ f(Q(x))
⇒ P(x) ≠ Q(x)
इसलिए f एकैक है।
f(x) का सहप्रांत और परिसर ℚ+ है।
इसलिए, f आच्छादक है।
मान लीजिए P(x) = a0 + a1x + a2 x2 + ... + anxn, R(x) = b0 + b1x + b2 x2 + ... + bnxn ∈ ℤ[X]
P(x) + Q(x) = a0 + b0+ (a1+ b1)x + (a2+ b2) x2 + ... + (an+ bn)xn
अब, f(P(x) + R(x)) = \(1^{a_0+b_0}2^{a_1+a_1}3^{a_3+a_3}...n^{a_n+b_n}\) = \(1^{a_0}2^{a_1}3^{a_3}...n^{a_n}\) \(1^{b_0}2^{b_1}3^{b_3}...n^{b_n}\) = f(P(x)) +f(Q(x))
इसलिए, f समरूपता है।
अतः, f द्विआवेशनीय और समाकारिता है।
अर्थात्, ℤ[X] धनात्मक परिमेय संख्याओं के गुणन समूह ℚ + के समरूप है।
अतः, विकल्प (1) सत्य है तथा विकल्प (2) असत्य है।
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 4:
मान लीजिए \(f(X) = X^2 + X + 1\) और \(g(X) = X^2 + X - 2\) बहुपद हैं ℤ [X] निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 4 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
\(f(X) = X^2 + X + 1\) और \(g(X) = X^2 + X - 2\), ℤ [X] में बहुपद है।
(1): p = 3
तो X = 1 के लिए,
f(X) = 1 + 1 + 1 = 3
इसलिए \(f(X) mod 3 = 0, (ℤ/3ℤ) [X]\) में अपरिवर्तनीय नहीं है।
(1) गलत है
(2): p = 3
तो X = 1 के लिए,
g(X) = 1 + 1 - 2 = 0
इसलिए \(g(X) mod 3 = 0, (ℤ/3ℤ) [X]\) में अपरिवर्तनीय नहीं है।
(2) गलत है
(3): \(g(X) = X^2 + X - 2 = 0 ⇒ (X + 2)(X - 1) = 0 ⇒ X =1, -2\)
g(X) का मूल ℚ में है,
g(X) ℚ[X] में अपरिवर्तनीय नहीं है।
(3) गलत है।
(4) सही है।
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 5:
बहुपद x4 + 15x3 + 7 है:
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 5 Detailed Solution
अवधारणा -
आइसेनस्टाइन मानदंड कहता है कि एक बहुपद अखंडनीय होता है यदि कोई अभाज्य संख्या p मौजूद है जिसके लिए:
(i) p बहुपद के सभी गुणांकों को छोड़कर प्रमुख गुणांक को विभाजित करता है।
(ii) p² बहुपद के स्थिरांक पद को विभाजित नहीं करता है।
(iii) p बहुपद के प्रमुख गुणांक को विभाजित नहीं करता है।
व्याख्या -
दिया गया बहुपद, f(x) = x⁴ + 15x³ + 7, घात 4 का बहुपद है। यह जाँचने के लिए कि क्या यह बहुपद परिमेय संख्याओं Q के क्षेत्र पर अखंडनीय है, हम आइसेनस्टाइन मानदंड का उपयोग करेंगे।
दिए गए बहुपद x⁴+15x³+7 के लिए, कोई भी अभाज्य संख्या नहीं है जो 15 और 7 को एक साथ विभाजित करती है और 1 (प्रमुख गुणांक) को विभाजित नहीं करती है, और न ही कोई अभाज्य संख्या वर्ग 7 को विभाजित करता है। इसलिए, हम यह सिद्ध करने के लिए सीधे आइसेनस्टाइन मानदंड लागू नहीं कर सकते कि यह Q पर अखंडनीय है।
यहाँ अखंडनीयता की जाँच करने का एकमात्र अन्य तरीका सभी संभावित मूलों (इस स्थिति में परिमेय मूल, परिमेय मूल प्रमेय के कारण) का पता लगाना प्रतीत होता है।
परिमेय मूल प्रमेय कहता है कि यदि किसी बहुपद का एक परिमेय मूल r = p/q है, तो p स्थिरांक पद का एक गुणनखंड है और q प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है। आपके बहुपद के लिए, स्थिरांक पद 7 के एकमात्र पूर्णांक गुणनखंड ±1 और ±7 हैं, और प्रमुख गुणांक 1 का एकमात्र पूर्णांक गुणनखंड केवल ±1 है।
इसलिए, परिमेय मूल प्रमेय के अनुसार, यदि आपके बहुपद के कोई परिमेय मूल हैं, तो वे ±1 और ±7 में से होने चाहिए। हालाँकि, आप आसानी से जाँच सकते हैं कि न तो 1, -1, 7, -7 बहुपद के मूल हैं।
इसके अलावा, घात चार का एक बहुपद या तो दो द्विघात बहुपदों में गुणनखंड करता है या यह एक रैखिक और एक घनीय बहुपद में गुणनखंड करता है। रैखिक और घनीय के मामले में, रैखिक कारक एक परिमेय मूल प्रदान करेगा, लेकिन हम पहले ही यह निर्धारित कर चुके हैं कि कोई परिमेय मूल नहीं हैं।
दो द्विघात के मामले के लिए, यदि बहुपद को परिमेय गुणांकों वाले दो द्विघातों में गुणनखंड करना था, तो उन द्विघातों के मूलों का गुणनफल 7 और योग 15 होना चाहिए, जो परिमेय संख्याओं के साथ असंभव है। गॉस के लेम्मा से, इसका यह भी अर्थ है कि बहुपद पूर्णांक गुणांकों वाले दो द्विघातों में गुणनखंड नहीं करता है।
इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बहुपद f(x) = x⁴ + 15x³ + 7, Q पर अखंडनीय है।
इसलिए, विकल्प (ii) सही है।
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Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 6:
[n] = {1, 2, ..., n} के क्रमचय σ को अलघुकरणीय कहते हैं यदि प्रतिबंध σ|[k] किसी भी 1 ≤ k < n के लिए [k] का क्रमचय नहीं है। यदि an संख्या हो [n] के अलघुकरणीय क्रमचयों की, तब a1 = 1, a2 = 1 तथा a3 = 3। ऐसे में a4 का मान होगा
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 6 Detailed Solution
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 7:
मानें कि f = a0 + a1X + ... anXn बहुपद है जिसके लिए ai ∈ ℤ for 0 ≤ i ≤ n के लिए। मानें कि p अभाज्य है इस प्रकार से कि सभी 1 < i ≤ n के लिए p|ai तथा an को p2 भाजित नहीं करता। निम्न वक्तव्यों में से कौन से सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 7 Detailed Solution
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 8:
मान लीजिए कि f(X) = 2X2 + 2X - 1 और g(X) = 2X2 + X - 3, ℤ[X] में बहुपद हैं। निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 8 Detailed Solution
व्याख्या:
f(X) = 2X2 + 2X - 1 और g(X) = 2X2 + X - 3, ℤ[X] में बहुपद हैं।
(1): p = 3
तब X = 1 के लिए,
f(X) = 2 + 2 -1 = 3
इसलिए, f(X) mod 3 = 0, (ℤ/3ℤ)[X] में अलघुकरणीय नहीं है।
(1) असत्य है।
(2): p = 3
तब X = 1 के लिए,
g(X) = 2 + 1 - 3 = 0
इसलिए, g(X) mod 3 = 0, (ℤ/3ℤ)[X] में अलघुकरणीय नहीं है।
(2) असत्य है।
(3): g(X) = 2X2 + X - 3 = 0 ⇒ (X - 1)(2X + 3) = 0 ⇒ X =1, -3/2
g(X) के मूल ℚ में हैं।
g(X), ℚ[X] में अलघुकरणीय नहीं है।
(3) असत्य है।
(4) सत्य है।
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 9:
बहुपद x4 + 15x3 + 7 है:
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 9 Detailed Solution
अवधारणा -
आइसेनस्टाइन मानदंड कहता है कि एक बहुपद अखंडनीय होता है यदि कोई अभाज्य संख्या p मौजूद है जिसके लिए:
(i) p बहुपद के सभी गुणांकों को छोड़कर प्रमुख गुणांक को विभाजित करता है।
(ii) p² बहुपद के स्थिरांक पद को विभाजित नहीं करता है।
(iii) p बहुपद के प्रमुख गुणांक को विभाजित नहीं करता है।
व्याख्या -
दिया गया बहुपद, f(x) = x⁴ + 15x³ + 7, घात 4 का बहुपद है। यह जाँचने के लिए कि क्या यह बहुपद परिमेय संख्याओं Q के क्षेत्र पर अखंडनीय है, हम आइसेनस्टाइन मानदंड का उपयोग करेंगे।
दिए गए बहुपद x⁴+15x³+7 के लिए, कोई भी अभाज्य संख्या नहीं है जो 15 और 7 को एक साथ विभाजित करती है और 1 (प्रमुख गुणांक) को विभाजित नहीं करती है, और न ही कोई अभाज्य संख्या वर्ग 7 को विभाजित करता है। इसलिए, हम यह सिद्ध करने के लिए सीधे आइसेनस्टाइन मानदंड लागू नहीं कर सकते कि यह Q पर अखंडनीय है।
यहाँ अखंडनीयता की जाँच करने का एकमात्र अन्य तरीका सभी संभावित मूलों (इस स्थिति में परिमेय मूल, परिमेय मूल प्रमेय के कारण) का पता लगाना प्रतीत होता है।
परिमेय मूल प्रमेय कहता है कि यदि किसी बहुपद का एक परिमेय मूल r = p/q है, तो p स्थिरांक पद का एक गुणनखंड है और q प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है। आपके बहुपद के लिए, स्थिरांक पद 7 के एकमात्र पूर्णांक गुणनखंड ±1 और ±7 हैं, और प्रमुख गुणांक 1 का एकमात्र पूर्णांक गुणनखंड केवल ±1 है।
इसलिए, परिमेय मूल प्रमेय के अनुसार, यदि आपके बहुपद के कोई परिमेय मूल हैं, तो वे ±1 और ±7 में से होने चाहिए। हालाँकि, आप आसानी से जाँच सकते हैं कि न तो 1, -1, 7, -7 बहुपद के मूल हैं।
इसके अलावा, घात चार का एक बहुपद या तो दो द्विघात बहुपदों में गुणनखंड करता है या यह एक रैखिक और एक घनीय बहुपद में गुणनखंड करता है। रैखिक और घनीय के मामले में, रैखिक कारक एक परिमेय मूल प्रदान करेगा, लेकिन हम पहले ही यह निर्धारित कर चुके हैं कि कोई परिमेय मूल नहीं हैं।
दो द्विघात के मामले के लिए, यदि बहुपद को परिमेय गुणांकों वाले दो द्विघातों में गुणनखंड करना था, तो उन द्विघातों के मूलों का गुणनफल 7 और योग 15 होना चाहिए, जो परिमेय संख्याओं के साथ असंभव है। गॉस के लेम्मा से, इसका यह भी अर्थ है कि बहुपद पूर्णांक गुणांकों वाले दो द्विघातों में गुणनखंड नहीं करता है।
इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बहुपद f(x) = x⁴ + 15x³ + 7, Q पर अखंडनीय है।
इसलिए, विकल्प (ii) सही है।
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 10:
निम्नलिखित में से कौन सा बहुपद वलय नहीं है?
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 10 Detailed Solution
स्पष्टीकरण -
"R[x] - Z[x]" एक बहुपद वलय नहीं बनाता है। R[x] और Z[x] जैसे दो वलयों के बीच घटाव, संक्षेप बीजगणित के क्षेत्र में एक मानक संक्रिया नहीं है। इस प्रकार, यह व्यंजक एक सुपरिभाषित बहुपद वलय नहीं है।
अन्य सभी बहुपद वलय हैं।
अतः विकल्प (iv) सही है।
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 11:
बहुपद f(x) = x2 + 3x - 1 पर विचार करें। निम्न में से कौन से कथन सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 11 Detailed Solution
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 12:
यदि n ∈ ℤ हो तो निम्न में से कौन - से सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 12 Detailed Solution
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 13:
Z [X] को पूर्णांकों पर बहुपदों का वलय मानें। तब योज्य समूह Z[X] होगा
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 13 Detailed Solution
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 14:
मान लीजिए \(f(X) = X^2 + X + 1\) और \(g(X) = X^2 + X - 2\) बहुपद हैं ℤ [X] निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 14 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
\(f(X) = X^2 + X + 1\) और \(g(X) = X^2 + X - 2\), ℤ [X] में बहुपद है।
(1): p = 3
तो X = 1 के लिए,
f(X) = 1 + 1 + 1 = 3
इसलिए \(f(X) mod 3 = 0, (ℤ/3ℤ) [X]\) में अपरिवर्तनीय नहीं है।
(1) गलत है
(2): p = 3
तो X = 1 के लिए,
g(X) = 1 + 1 - 2 = 0
इसलिए \(g(X) mod 3 = 0, (ℤ/3ℤ) [X]\) में अपरिवर्तनीय नहीं है।
(2) गलत है
(3): \(g(X) = X^2 + X - 2 = 0 ⇒ (X + 2)(X - 1) = 0 ⇒ X =1, -2\)
g(X) का मूल ℚ में है,
g(X) ℚ[X] में अपरिवर्तनीय नहीं है।
(3) गलत है।
(4) सही है।
Polynomial Rings and Irreducibility Criteria Question 15:
f(x) ∈ ℤ[x] को n कोटि (डिग्री) का एकगुणांकी बहुपद मानें। तब निम्न में से कौन से सत्य हैं?