Primitive Roots MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Primitive Roots - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 3, 2025
Latest Primitive Roots MCQ Objective Questions
Primitive Roots Question 1:
एक बहुपद p(x) निम्नलिखित को संतुष्ट करता है:
p(-1) = p(0) = p(1) = p(3) = p(4) = 0, p(2) ≠ 0.
इस प्रकार के बहुपद की न्यूनतम घात है:
Answer (Detailed Solution Below)
Primitive Roots Question 1 Detailed Solution
अवधारणा:
n घात के बहुपद में n शून्यक हो सकते हैं
व्याख्या:
बहुपद p(x) निम्नलिखित को संतुष्ट करता है:
p(-1) = p(0) = p(1) = p(3) = p(4) = 0, p(2) ≠ 0
यहाँ हम देख सकते हैं कि p(x) के शून्यक -1, 0, 1, 3, 4 पर हैं
इसलिए p(x) के 5 बिना पुनरावृत्ति वाले शून्यक हैं।
इसलिए, इस प्रकार के बहुपद की न्यूनतम घात 5 है।
अतः (2) सही है।
Primitive Roots Question 2:
बहुपद f(z) = z2 + az + p11 पर विचार करें जहाँ a ∈ ℤ\{0} तथा p ≥ 13 अभाज्य है। यदि a2 ≤ 4p11 है, तब निम्न में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Primitive Roots Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
f(z) = z2 + az + p11, जहाँ a ∈ ℤ\{0} और p ≥ 13 एक अभाज्य संख्या है
f(z) = z2 + az + p11 = 0
⇒ z = \(\frac{-a\pm √{a^2-4p^{11}}}{2}\)
दिया गया है a2 ≤ 4p11
यदि a2 = 4p11 है, तब a = 2p11/2 ∉ ℤ \ {0} इसलिए यह स्थिति संभव नहीं है।
यदि a2 < 4p11 है, तब z के भिन्न काल्पनिक मूल होंगे।
\(\frac{-a+i \sqrt{4p^{11}-a^2}}{2}\), \(\frac{-a-i \sqrt{4p^{11}-a^2}}{2}\)
इसलिए, विकल्प (1) सही नहीं है।
अब, शून्यकों के वास्तविक और काल्पनिक भाग समान होंगे यदि
- a = √(4p11 - a2) ⇒ a2 = (4p11 - a2) ⇒ 2a2 = 4p11 ⇒ a = √2p11/2 ∉ ℤ \ {0}
इसलिए, वास्तविक और काल्पनिक अक्ष समान नहीं हो सकते।
विकल्प (2) सही नहीं है।
यहाँ हमें दो भिन्न काल्पनिक मूल मिलते हैं।
इसलिए, विकल्प (3) सही है और विकल्प (4) सही नहीं है।
Primitive Roots Question 3:
मानें p > 2019 एक अभाज्य संख्या है। बहुलक
f(x) = (x2 - 3) (x2 - 673) (x2 - 2019) पर विचार करें ।
परिमित क्षेत्र \(\mathbb{F}\)p में f के कितने मूल संभव होंगे?
Answer (Detailed Solution Below)
Primitive Roots Question 3 Detailed Solution
Primitive Roots Question 4:
माने कि p अभाज्य संख्या है तथा Np धनात्मक पूर्णांकों (x, y) के युग्मों की संख्या इस तरह है कि
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{{p^4}}}\)
निम्न में से कौन से Np के संभव मान है?
Answer (Detailed Solution Below)
Primitive Roots Question 4 Detailed Solution
व्याख्या:
मान लीजिये \(\rm \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{p^4}\)
⇒ \(\rm \frac{(x+y)}{xy}=\frac{1}{p^4}\)
⇒ p4(x + y) = xy ⇒ p4(x + y) - xy = 0
⇒ xy - (x + y)p4 + p8 - p8 = 0
⇒ (x - p4)(y - p4) = p8 ..........(1)
याद रखें: मान लीजिये n = n1, n2, ....nk
n = p1, p2, ....pk, जहाँ p अभाज्य संख्याएँ हैं,
τ (n) = (n1 + 1)(n2 + 1)....(nk + 1),
यहाँ, τ(n), n के धनात्मक भाजकों की संख्या है।
इसलिए τ(p8) = (8 + 1) = 9
∴ धनात्मक पूर्णांकों (x, y) के युग्मों की संख्या इस प्रकार है कि
(x - p4)(y - p4) = p8 = p8 के धनात्मक भाजक
= τ(p8) = 9
∴ धनात्मक पूर्णांकों (x, y) के युग्मों की संख्या इस प्रकार है कि \(\rm \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{p^4}\) 9 हैं
विकल्प (4) - सत्य
Primitive Roots Question 5:
एक धनात्मक पूर्णांक n जो कि 17 का असहभाज्य है, उसे पूर्वग मूल मॉड्यूलों 17 कहलाता है यदि nk - 1 सभी k के लिए, 1 ≤ k < 16 के साथ 17 से भाज्य नहीं है। माना कि a,b ऐसे विविक्त धनात्मक पूर्णांक है जो 1 तथा 16 के बीच है। निम्न में से कौन से कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Primitive Roots Question 5 Detailed Solution
व्याख्या:
2, 17 के साथ सह-अभाज्य है और 28 - 1 = 256 - 1 = 255 जो 17 से विभाज्य है।
इसलिए 2, मॉड्यूलो 17 का पूर्वग मूल नहीं है।
विकल्प (1) सही नहीं है।
3, मॉड्यूलो 17 का पूर्वग मूल है।
अब 32 = 9, मॉड्यूलो 17 का पूर्वग मूल नहीं है क्योंकि 92 - 1 = 17 जो 17 से विभाज्य है।
यदि a, मॉड्यूलो 17 का पूर्वग मूल है, तो a2 आवश्यक रूप से मॉड्यूलो 17 का पूर्वग मूल नहीं है।
विकल्प (2) सही है।
3 और 6, मॉड्यूलो 17 के पूर्वग मूल हैं, लेकिन गुणनफल 3 x 6 = 18, मॉड्यूलो 17 का पूर्वग मूल नहीं है।
विकल्प (3) सही नहीं है।
और विकल्प (4) भी सही है।
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Primitive Roots Question 6:
बहुपद f(z) = z2 + az + p11 पर विचार करें जहाँ a ∈ ℤ\{0} तथा p ≥ 13 अभाज्य है। यदि a2 ≤ 4p11 है, तब निम्न में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Primitive Roots Question 6 Detailed Solution
व्याख्या:
f(z) = z2 + az + p11, जहाँ a ∈ ℤ\{0} और p ≥ 13 एक अभाज्य संख्या है
f(z) = z2 + az + p11 = 0
⇒ z = \(\frac{-a\pm √{a^2-4p^{11}}}{2}\)
दिया गया है a2 ≤ 4p11
यदि a2 = 4p11 है, तब a = 2p11/2 ∉ ℤ \ {0} इसलिए यह स्थिति संभव नहीं है।
यदि a2 < 4p11 है, तब z के भिन्न काल्पनिक मूल होंगे।
\(\frac{-a+i \sqrt{4p^{11}-a^2}}{2}\), \(\frac{-a-i \sqrt{4p^{11}-a^2}}{2}\)
इसलिए, विकल्प (1) सही नहीं है।
अब, शून्यकों के वास्तविक और काल्पनिक भाग समान होंगे यदि
- a = √(4p11 - a2) ⇒ a2 = (4p11 - a2) ⇒ 2a2 = 4p11 ⇒ a = √2p11/2 ∉ ℤ \ {0}
इसलिए, वास्तविक और काल्पनिक अक्ष समान नहीं हो सकते।
विकल्प (2) सही नहीं है।
यहाँ हमें दो भिन्न काल्पनिक मूल मिलते हैं।
इसलिए, विकल्प (3) सही है और विकल्प (4) सही नहीं है।
Primitive Roots Question 7:
एक धनात्मक पूर्णांक n जो कि 17 का असहभाज्य है, उसे पूर्वग मूल मॉड्यूलों 17 कहलाता है यदि nk - 1 सभी k के लिए, 1 ≤ k < 16 के साथ 17 से भाज्य नहीं है। माना कि a,b ऐसे विविक्त धनात्मक पूर्णांक है जो 1 तथा 16 के बीच है। निम्न में से कौन से कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Primitive Roots Question 7 Detailed Solution
व्याख्या:
2, 17 के साथ सह-अभाज्य है और 28 - 1 = 256 - 1 = 255 जो 17 से विभाज्य है।
इसलिए 2, मॉड्यूलो 17 का पूर्वग मूल नहीं है।
विकल्प (1) सही नहीं है।
3, मॉड्यूलो 17 का पूर्वग मूल है।
अब 32 = 9, मॉड्यूलो 17 का पूर्वग मूल नहीं है क्योंकि 92 - 1 = 17 जो 17 से विभाज्य है।
यदि a, मॉड्यूलो 17 का पूर्वग मूल है, तो a2 आवश्यक रूप से मॉड्यूलो 17 का पूर्वग मूल नहीं है।
विकल्प (2) सही है।
3 और 6, मॉड्यूलो 17 के पूर्वग मूल हैं, लेकिन गुणनफल 3 x 6 = 18, मॉड्यूलो 17 का पूर्वग मूल नहीं है।
विकल्प (3) सही नहीं है।
और विकल्प (4) भी सही है।
Primitive Roots Question 8:
माने कि p अभाज्य संख्या है तथा Np धनात्मक पूर्णांकों (x, y) के युग्मों की संख्या इस तरह है कि
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{{p^4}}}\)
निम्न में से कौन से Np के संभव मान है?
Answer (Detailed Solution Below)
Primitive Roots Question 8 Detailed Solution
व्याख्या:
मान लीजिये \(\rm \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{p^4}\)
⇒ \(\rm \frac{(x+y)}{xy}=\frac{1}{p^4}\)
⇒ p4(x + y) = xy ⇒ p4(x + y) - xy = 0
⇒ xy - (x + y)p4 + p8 - p8 = 0
⇒ (x - p4)(y - p4) = p8 ..........(1)
याद रखें: मान लीजिये n = n1, n2, ....nk
n = p1, p2, ....pk, जहाँ p अभाज्य संख्याएँ हैं,
τ (n) = (n1 + 1)(n2 + 1)....(nk + 1),
यहाँ, τ(n), n के धनात्मक भाजकों की संख्या है।
इसलिए τ(p8) = (8 + 1) = 9
∴ धनात्मक पूर्णांकों (x, y) के युग्मों की संख्या इस प्रकार है कि
(x - p4)(y - p4) = p8 = p8 के धनात्मक भाजक
= τ(p8) = 9
∴ धनात्मक पूर्णांकों (x, y) के युग्मों की संख्या इस प्रकार है कि \(\rm \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{p^4}\) 9 हैं
विकल्प (4) - सत्य
Primitive Roots Question 9:
मानें p > 2019 एक अभाज्य संख्या है। बहुलक
f(x) = (x2 - 3) (x2 - 673) (x2 - 2019) पर विचार करें ।
परिमित क्षेत्र \(\mathbb{F}\)p में f के कितने मूल संभव होंगे?
Answer (Detailed Solution Below)
Primitive Roots Question 9 Detailed Solution
Primitive Roots Question 10:
एक बहुपद p(x) निम्नलिखित को संतुष्ट करता है:
p(-1) = p(0) = p(1) = p(3) = p(4) = 0, p(2) ≠ 0.
इस प्रकार के बहुपद की न्यूनतम घात है:
Answer (Detailed Solution Below)
Primitive Roots Question 10 Detailed Solution
अवधारणा:
n घात के बहुपद में n शून्यक हो सकते हैं
व्याख्या:
बहुपद p(x) निम्नलिखित को संतुष्ट करता है:
p(-1) = p(0) = p(1) = p(3) = p(4) = 0, p(2) ≠ 0
यहाँ हम देख सकते हैं कि p(x) के शून्यक -1, 0, 1, 3, 4 पर हैं
इसलिए p(x) के 5 बिना पुनरावृत्ति वाले शून्यक हैं।
इसलिए, इस प्रकार के बहुपद की न्यूनतम घात 5 है।
अतः (2) सही है।