Homomorphisms MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Homomorphisms - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 4, 2025
Latest Homomorphisms MCQ Objective Questions
Homomorphisms Question 1:
निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए।
I. (ℚ, +) का एक उचित उपसमूह G मौजूद है जिससे ℚ/G एक परिमित समूह है।
II. (ℚ, +) का एक उपसमूह G मौजूद है जिससे ℚ/G, (ℤ, +) के तुल्यकारी है।
निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Homomorphisms Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
कथन I
"(ℚ, +) का एक उचित उपसमूह G मौजूद है जिससे ℚ/G एक परिमित समूह है।"
ℚ/G को एक परिमित समूह बनाने के लिए, G को एक ऐसा उपसमूह होना होगा जो ℚ में केवल परिमित संख्या में सहसमुच्चय "छोड़ता" है।
समूह सिद्धांत में एक प्रसिद्ध तथ्य यह है कि (योग के अंतर्गत) ℚ के किसी भी उचित उपसमूह से परिमित भागफल समूह नहीं बन सकता है।
भागफल ℚ/G या तो अपरिमित है या तुच्छ (जब G = ℚ)।
इसलिए, ऐसा कोई उचित उपसमूह G ⊂ ℚ मौजूद नहीं है जिससे ℚ/G परिमित हो।
निष्कर्ष: कथन I असत्य है।
कथन II
"(ℚ, +) का एक उपसमूह G मौजूद है जिससे ℚ/G, (ℤ, +) के समरूप है।"
इस कथन का तात्पर्य है कि एक ऐसा उपसमूह G ⊂ ℚ मौजूद है जिससे भागफल समूह ℚ/G पूर्णांकों ℤ की तरह व्यवहार करता है।
हालाँकि, समूह ℚ विभाज्य है (प्रत्येक q ∈ ℚ और पूर्णांक n के लिए, कोई r ∈ ℚ मौजूद है जिससे r = q/n)।
ℚ जैसे विभाज्य समूहों का ऐसा भागफल नहीं हो सकता जो ℤ के तुल्यकारी हो, क्योंकि ℤ विभाज्य नहीं है।
इस प्रकार, ऐसा उपसमूह G ज्ञात करना संभव नहीं है जिससे ℚ/G ≅ ℤ हो।
निष्कर्ष: कथन II असत्य है।
इसलिए विकल्प 4) सही है।
Homomorphisms Question 2:
g ∈ Z के लिए, मान लीजिए g̅ ∈ Z₃₇, g का मॉड्यूलो 37 के अनुसार अवशेष वर्ग दर्शाता है। गुणन मॉड्यूलो 37 के संबंध में समूह U₃₇ = {g̅ ∈ Z₃₇ ∶ 1 ≤ g ≤ 37 जहाँ gcd(g, 37) = 1} पर विचार करें। तब निम्नलिखित में से कौन सा गलत है?
Answer (Detailed Solution Below)
Homomorphisms Question 2 Detailed Solution
अवधारणा:
1. \( U_{p^{n}} ≅ \mathbb{Z}_{p^{n}-p^{n-1}} \)
2. तत्समक अवयव स्वयं व्युत्क्रम है।
3. किसी समूह G में किसी अवयव g की कोटि सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक n इस प्रकार है कि \(g^n = e \),
जहाँ e समूह का तत्समक अवयव है।
स्पष्टीकरण:
चूँकि \( U_{p^{n}} ≅ \mathbb{Z}_{p^{n}-p^{n-1}} \)
⇒ \(U_{37^{1}} = \mathbb{Z}_{37^{1} - 37^{0}} \)
⇒ \(U_{37} \cong \mathbb{Z}_{36} \)
अब हम \(\mathbb{Z} \) के लिए आसानी से जाँच कर सकते हैं क्योंकि हम इस समूह से परिचित है।
विकल्प(1): समुच्चय {g̅ ∈ U₃₇ ∶ g̅ = (g̅)⁻¹} में ठीक 2 अवयव हैं।
⇒ इस समुच्चय में वे अवयव हैं जो मॉड्यूलो 37 के अधीन गुणन के अंतर्गत अपने स्वयं के व्युत्क्रम है।
⇒ \(\mathbb{Z_{36}} \) में केवल दो स्वयं व्युत्क्रम अवयव हैं, ये 1 और 36 है।
⇒ विकल्प(1) सत्य है।
विकल्प(2): U37 में अवयव \(\overline{10}\) की कोटि 36 है।
U37 में 10 की कोटि ज्ञात करने के लिए, हमें सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक n इस प्रकार ज्ञात करना होगा :
\(10^n ≡ 1 (mod 37) \)
हम मॉड्यूलो 37 के अनुसार 10 की घातों की गणना कर सकते हैं:
⇒ \(10^1 ≡ 10 (mod 37) \)
⇒ \(10^2 ≡ 100 ≡ 26 (mod 37) \)
⇒ \(10^3 ≡ 260 ≡ 1 (mod 37) \)
इसलिए, 18 से कम कोई धनात्मक पूर्णांक n समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
U37 में 10 की कोटि 18 है, 36 नहीं।
इस प्रकार, विकल्प(2) असत्य है।
विकल्प(3): U37 से (Z, +) तक ठीक एक समूह समाकारिता है।
यदि f, U37 से (Z, +) तक कोई समाकारिता है,
⇒|f(g)| / |g| , सभी g ∈ U37 के लिए,
लेकिन (Z, +) में केवल एक अवयव परिमित कोटि का है जो 0 है
⇒ f(g) = 0
⇒ f एक तुच्छ समाकारिता है।
⇒ विकल्प (3) सत्य है।
विकल्प(4): U37 से (Q, +) तक ठीक एक समूह समाकारिता है।
यदि f, U37 से (Q, +) तक कोई समाकारिता है,
⇒|f(g)| / |g| , सभी g ∈ U37 के लिए,
लेकिन (Q, +) में केवल एक अवयव परिमित कोटि का है जो 0 है
⇒ f(g) = 0
⇒ f एक तुच्छ समाकारिता है।
⇒ विकल्प (4) सत्य है।
इसलिए विकल्प(2) सही उत्तर है।
Homomorphisms Question 3:
ℤ/150ℤ से ℤ/90ℤ तक समूह समाकारिताओं की संख्या है:
Answer (Detailed Solution Below)
Homomorphisms Question 3 Detailed Solution
संप्रत्यय:
यदि \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) और \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \) चक्रीय समूह हैं, तो \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) से \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\) तक समूह समाकारिताओं की संख्या इस प्रकार दी जाती है:
\(\text{Number of homomorphisms} = \gcd(n, m),\) जहाँ \( \gcd(n, m) \) n और m का महत्तम समापवर्तक है।
व्याख्या:
\(\mathbb{Z}/150\mathbb{Z}\) से \(\mathbb{Z}/90\mathbb{Z}\) तक समूह समाकारिताओं की संख्या दो समूहों के क्रमों के महत्तम समापवर्तक (gcd) द्वारा दी जाती है। अर्थात् \(\text{Number of homomorphisms} = \gcd(150, 90)\)
150 का अभाज्य गुणनखंडन: \(150 = 2 \times 3 \times 5^2\)
90 का अभाज्य गुणनखंडन: \(90 = 2 \times 3^2 \times 5\)
अब, 150 और 90 का gcd उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की निम्नतम घातों का गुणनफल है:
\( \gcd(150, 90) = 2 \times 3 \times 5 = 30 \)
\(\mathbb{Z}/150\mathbb{Z}\) से \(\mathbb{Z}/90\mathbb{Z}\) तक समूह समाकारिताओं की संख्या 30 है।
इस प्रकार, विकल्प 1) सही है।
Homomorphisms Question 4:
मान लीजिए कि f : Z → Z2 समूहों का एक समाकारिता है, जो निम्न प्रकार परिभाषित है:
\(\rm f(a)=\left\{\begin{matrix}0,&if \ a\ is \ even\\\ 1,&if\ a\ is\ odd\end{matrix}\right.\)
तब Kerf है:
Answer (Detailed Solution Below)
Homomorphisms Question 4 Detailed Solution
व्याख्या:
किसी समूह समाकारिता का कर्नेल प्रांत में उन सभी अवयवों का समुच्चय होता है, जो सहप्रांत में तत्समक अवयव में प्रतिचित्रित होते हैं।
सहप्रांत Z2 है, जहाँ तत्समक अवयव
कर्नेल में सभी पूर्णांक
की परिभाषा से,
जब
इस प्रकार, कर्नेल सभी सम पूर्णांकों का समुच्चय है।
सभी सम पूर्णांकों का समुच्चय
अतः विकल्प 2 सही है।
Homomorphisms Question 5:
निम्नलिखित कथनों में से कौन सा सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Homomorphisms Question 5 Detailed Solution
अवधारणा:
लैग्रेंज प्रमेय: एक परिमित समूह G के लिए, यदि d, G को विभाजित करता है, तो कोटि d वाला एक उपसमूह H ≤ G मौजूद होता है।
स्पष्टीकरण:
(1): G 1 और G 2 परिमित समूह हैं जैसे कि उनके क्रम |G1| और |G2| सहअभाज्य हैं।
तो, gcd( |G1 |, |G2 | ) = 1
मान लीजिए ϕ: G1 → G2 इस प्रकार है कि x ∈ G1 और y ∈ G2 के लिए ϕ(x) = y
तब |x|, | G2| को विभाजित करता है
⇒ |x|, |a| को विभाजित करता है
⇒ |x|, | G1| को विभाजित करता है
⇒ |x|, gcd( |G 1 |, |G 2 | ) को विभाजित करता है
⇒ |x| = 1
अतः G1 से G2 तक कोई भी समरूपता तुच्छ है।
(1) सही है।
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि (2), (3) सही है।
(4): G एक परिमित एबेलियन समूह है।
तब लैग्रेंज प्रमेय से, हमें G में कम से कम d(|G|) उपसमूह प्राप्त होंगे।
(4) सही है।
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ℤ/150ℤ से ℤ/90ℤ तक समूह समाकारिताओं की संख्या है:
Answer (Detailed Solution Below)
Homomorphisms Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
यदि \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) और \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \) चक्रीय समूह हैं, तो \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) से \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\) तक समूह समाकारिताओं की संख्या इस प्रकार दी जाती है:
\(\text{Number of homomorphisms} = \gcd(n, m),\) जहाँ \( \gcd(n, m) \) n और m का महत्तम समापवर्तक है।
व्याख्या:
\(\mathbb{Z}/150\mathbb{Z}\) से \(\mathbb{Z}/90\mathbb{Z}\) तक समूह समाकारिताओं की संख्या दो समूहों के क्रमों के महत्तम समापवर्तक (gcd) द्वारा दी जाती है। अर्थात् \(\text{Number of homomorphisms} = \gcd(150, 90)\)
150 का अभाज्य गुणनखंडन: \(150 = 2 \times 3 \times 5^2\)
90 का अभाज्य गुणनखंडन: \(90 = 2 \times 3^2 \times 5\)
अब, 150 और 90 का gcd उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की निम्नतम घातों का गुणनफल है:
\( \gcd(150, 90) = 2 \times 3 \times 5 = 30 \)
\(\mathbb{Z}/150\mathbb{Z}\) से \(\mathbb{Z}/90\mathbb{Z}\) तक समूह समाकारिताओं की संख्या 30 है।
इस प्रकार, विकल्प 1) सही है।
Homomorphisms Question 7:
\(\mathbb{Q}_8 \to K_4\) से आच्छादक समरूपता की संख्या है
Answer (Detailed Solution Below)
Homomorphisms Question 7 Detailed Solution
स्पष्टीकरण -
परिणाम -
(i) \(\mathbb{Q}_8 \to K_4\) तक समरूपता की संख्या 16 है।
(ii) \(\mathbb{Q}_8 \to K_4\) आच्छादक समरूपता की संख्या 6 है।
(iii) \(\mathbb{Q}_8 \to K_4\) 1-1 समरूपता की संख्या 0 है।
अतः विकल्प (2) सही है।
Homomorphisms Question 8:
\(\mathbb{Z} \to GL(3, \mathbb{Z}_2)\) से समरूपता की संख्या है
Answer (Detailed Solution Below)
Homomorphisms Question 8 Detailed Solution
स्पष्टीकरण -
सूत्र -
\(\mathbb{Z} \to GL(n, \mathbb{Z}_p)\) से समरूपता की संख्या है
\((p^n-1)(p^n-p)......(p^n-p^{n-1})\)
अब दिए गए प्रश्न के लिए इस सूत्र को लागू कीजिए -
हमें n = 3 और p = 2 प्राप्त है
\(\mathbb{Z} \to GL(3, \mathbb{Z}_2)\) से समरूपता की संख्या = \((2^3-1)(2^3-2)(2^3-2^2) = 7 \times 6 \times 4 =168\)
अतः विकल्प (4) सही है।
Homomorphisms Question 9:
ग़लत कथन चुनें?
Answer (Detailed Solution Below)
Homomorphisms Question 9 Detailed Solution
स्पष्टीकरण -
परिणाम -
यदि फलन \(f: G \to G\) ऐसा है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए \(f(x) = x^n \ \ \forall x \in G\) समरूपता है तो G एबेलियन है।
अतः विकल्प (4) सत्य है।
Homomorphisms Question 10:
\(\mathbb{Z}_{16} \to \mathbb{Z}_{8} \) से एक-एक समरूपता की संख्या है
Answer (Detailed Solution Below)
Homomorphisms Question 10 Detailed Solution
स्पष्टीकरण -
परिणाम -
\(\mathbb{Z}_{m} \to \mathbb{Z}_{n} \) से एक-एक समरूपता की संख्या = k
जहाँ k = \( \mathbb{Z}_{n} \) में क्रम m के अवयवों की संख्या
अब प्रश्न के अनुसार हम \(\mathbb{Z}_{16} \to \mathbb{Z}_{8} \) से एक-एक समरूपता की संख्या की गणना करना चाहते हैं
और हम जानते हैं कि \( \mathbb{Z}_{8} \) में क्रम 16 का कोई अवयव नहीं है
अतः, उत्तर 0 है।
अतः, विकल्प (1) सत्य है।
Homomorphisms Question 11:
मान लीजिए (G, * ) और (G', o) दो समूह हैं और \(f : G \to G'\) एक समरूपता है तो गलत विकल्प चुनें?
Answer (Detailed Solution Below)
Homomorphisms Question 11 Detailed Solution
स्पष्टीकरण -
हम कुछ परिणाम जानते हैं -
मान लीजिए (G, * ) और (G', o) दो समूह हैं और \(f : G \to G'\) एक समरूपता है तो
(i) समरूपता का संबंध एक तुल्यता संबंध है।
(ii) समरूपता के अंतर्गत एबेलियन समूह की छवि एबेलियन है।
(iii) यदि a का क्रम परिमित है तो इसका तात्पर्य यह है कि f(a) का क्रम भी परिमित है। जहां a, G में है.
(iv) यदि f(a) का क्रम परिमित है तो a का क्रम परिमित होने की आवश्यकता नहीं है। जहां a, G में है.
(v) समरूपता के अंतर्गत चक्रीय समूह की छवि चक्रीय है।
अतः विकल्प (4) सत्य है।
Homomorphisms Question 12:
प्रतिचित्रण f: G → G के लिए निम्नलिखित में से कौन सी स्थिति सत्य है, जिसे G का स्वसमाकृतिकता ______________ कहा जाता है।
Answer (Detailed Solution Below)
Homomorphisms Question 12 Detailed Solution
व्याख्या:
प्रतिचित्रण f: G → G के लिए G का स्वसमाकृतिकता होने की सत्य स्थिति है: f एक एकैकी आच्छादन है।
केवल एक एकैकी आच्छादन होने से अधिक, एक समूह का स्वसमाकृतिकता एक एकैकी आच्छादन प्रतिचित्रण f: G → G होता है जो समूह संक्रिया को संरक्षित करता है, जिसका अर्थ है, G में किसी भी तत्व a, b के लिए, हमें f(a*b) = f(a)*f(b) प्राप्त होता है।
अतः जबकि "f एक एकैकी आच्छादन है" f के स्वसमाकृतिकता होने के लिए एक आवश्यक स्थिति है।
Homomorphisms Question 13:
मान लीजिए कि G, T(x) = x2 द्वारा परिभाषित एक गुणात्मक समूह है; तो T निम्नलिखित में से किस गुणधर्म को संतुष्ट करता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Homomorphisms Question 13 Detailed Solution
अवधारणा-
जब (G* ) f(a*b) = f(a) * f(b) को संरक्षित करने वाली संक्रिया है, तो यह समरूपता है।
और जब ( G,* ) समरूपता और एकैकी और आच्छादक धारण करता है, तो यह समरूपता है।
जब समाकृतिकता G से G (स्वयं एक ही समूह) के साथ रहता है, तो यह स्वसमाकृतिकता है।
व्याख्या-
यहाँ, T(x) = \(x^2\)
\(T(x*y) =(x*y)^2= x^2*y^2 = T(x)*T(y)\)
इसलिए, यह एकैकी आच्छादकता को संरक्षित करने वाली संक्रिया नहीं है।
इसलिए, T (x) समरूपता धारण करता है।
इसलिए, सही विकल्प विकल्प 4 है।
Homomorphisms Question 14:
माना कि f: (ℚ, +) → (ℚ, +) एक शून्येतर समाकारिता है, तब कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Homomorphisms Question 14 Detailed Solution
संप्रत्यय :
यदि f: (ℚ, +) → (ℚ, +) एक समूह समाकारिता है, तो किसी \(a\in Q\) के लिए और सभी x के लिए f(x)=ax होता है।
परिकलन :
दिया गया है कि f एक शून्येतर समाकारिता है, इस प्रकार \(a\neq 0\) है।
f(x)=0 का अर्थ ax=0 अर्थात x=0 है।
इस प्रकार f एकैक है।
किसी भी \(y\in Q\) के लिए, एक ऐसे अवयव \(y\over a\) का अस्तित्व इस प्रकार है कि f(x) = ax है।
इस प्रकार f आच्छादक है।
चूँकि f एकैक और आच्छादक है, इस प्रकार f एकैकी आच्छादक है।
इस प्रकार, विकल्प (1), (2) और (3) सत्य हैं।
Homomorphisms Question 15:
आइए हम ℂ* से ℂ* में परिभाषित ϕ : x → x6 पर विचार करते है, तब
Answer (Detailed Solution Below)
Homomorphisms Question 15 Detailed Solution
अवधारणा:
अष्टि : एक समाकारिता ϕ का अष्टि प्रांत में अवयवों का समुच्चय होता है जो तत्समक अवयव पर प्रतिचित्रित किया जाता है।
स्पष्टीकरण:
दिया गया है, ℂ* से ℂ* तक ϕ : x → x6
ϕ(x) = x6
(1): 1, -1 ∈ ℂ* और 1 ≠ -1
ϕ(1) = 16 = 1, ϕ(-1) = (-1)6 = 1
लेकिन ϕ(1) ≠ ϕ(-1)
ϕ एकैकी नहीं है।
विकल्प (1) असत्य है
(2): ϕ का परिसर = ϕ का सहप्रांत
इसलिए, ϕ आच्छादक है
विकल्प (2) असत्य है
(3): \(ϕ(xy) = (xy)^6 = x^6y^6 = ϕ (x) ϕ(y)\)
ϕ एक समाकारिता है।
विकल्प (3) सत्य है
(4): ker(ϕ) = {x ∈ ℂ* | ϕ(x) = 1} = {x ∈ ℂ* | x6 = 1}
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 के लिए ये मूल \(e^{(2πik/6)} \) के द्वारा दिए जाते है
ϕ का अष्टि समुच्चय {1, e(2πi/6), e(4πi/6), e(6πi/6), e(8πi/6), e(10πi/6)} है
इसलिए, ker (ϕ) = {1, cos(30°) + i sin(30°), -1, cos(120°) + i sin(120°)}
विकल्प (4) असत्य है
इसलिए, विकल्प (3) सही विकल्प है।